Leĝo de Stefan-Boltzmann

Leĝo de Stefan-Boltzmann priskribas tutan povumon de termoradiado de nigra korpo en fiksa temperaturo. Ĝi estis prilaborata en 1879 de Jožef Stefan kaj de Ludwig Boltzmann.

${\displaystyle \Phi =\sigma T^{4}\,}$

kaj:

${\displaystyle \Phi }$ - Flukso de energio kiu estas elradiadata en orta direkto al surfaco de korpo (objekto) [${\displaystyle W/m^{2}}$]

${\displaystyle \sigma }$ - konstanto de Stefan-Boltzmann

${\displaystyle T}$ - temperaturo en Kelvino

Leĝo de Stefan-Boltzmann povas elkondukiĝi uzante statistikon de Bose-Einstein pri fotonoj, kiuj estas enfermataj en ujo je volumeno V.

Meza energio de fotonoj en fiksa temperaturo T estas:

${\displaystyle \langle E\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }\hbar \omega \rho (\omega ){\frac {1}{\exp({\frac {\hbar \omega }{K_{B}T}})-1}}d\omega }$

kaj:

${\displaystyle \omega }$ - frekvenco de fotonoj

${\displaystyle \rho (\omega )}$ - denseco de statoj por fotonoj

${\displaystyle \hbar }$ - konstanto de Planck

${\displaystyle K_{B}}$ - konstanto de Boltzmann

Se ni pliproksimiĝis de frekvenco de fotonoj per

${\displaystyle \rho (\omega )={\frac {V\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}}$

ni obtenis:

${\displaystyle \langle E\rangle ={\frac {V\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}\int \limits _{0}^{\infty }\omega ^{3}{\frac {1}{\exp({\frac {\hbar \omega }{K_{B}T}})-1}}d\omega }$

Valoro de superan integralon estas:

${\displaystyle \langle E\rangle ={\frac {6V\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}\left({\frac {K_{B}T}{\hbar }}\right)^{4}\zeta (4)}$

kaj:

${\displaystyle \zeta (4)}$ - valoro de funkcio zeto de Riemann

Supra rezultado estas homologa kun leĝo de Stefan-Boltzmann.