Harmona serio

Harmona serio – nombra serio kiu havas aspekton:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\dots }$

Nomo devenas de sekvaj duontonoj de oscilanta kordo, kiuj estas proporcia al 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . Ĉiuj elemento de serio estas harmona meznombro de du antaŭaj nombroj.

Harmona serio estas malkonverĝa - suba pruvo de tiu fakto devenas de Nikolao de Oresme kaj estas unu el gravaj sukcesoj de mezepoka matematiko.

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+\dots =1+{\frac {1}{2}}+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right)+\dots >}$

${\displaystyle >1+{\frac {1}{2}}+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\dots =1+{\frac {1}{2}}+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}\right)+\dots }$

Ĉar sumo de nombroj en ĉiu krampo de la lasta formulado estas = 1/2, vico de partaj sumoj de la serio ne havas limeson.

Tiel nomata ĝenerala harmona serio

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{an+b}}}$

estas malkonverĝa kiam ${\displaystyle a\neq 0,b\in \mathbb {R} }$

Oni povas pruvi^{[noto 1]}, ke makkonverĝa estas ankaŭ serio de inversoj de primoj.

Sekvaj partaj sumoj de harmona serio

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$

tiel nomataj harmonaj nombroj, kreskas malrapide, ĉar ekzistas ekvacio:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{n}-\ln(n)=\gamma }$

kaj γ estas tiel nomata konstanto de Euler. Tio signifas, ke harmona serio kreskas same rapide kiel natura logaritmo.

Harmona serio kun grado α havas aspekton:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}=1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{\frac {1}{3^{\alpha }}}+{\frac {1}{4^{\alpha }}}+\dots }$

La serio estas konverĝa por α>1 kaj malkonverĝa alikaze. Se α povus esti kompleksa nombro kaj por ĉiu α kiam serio estas korverĝa kunigos ĝia sumo, tiel verkata funkcio estas funkcio ς de Riemann:

${\displaystyle \zeta (\alpha )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}}$

Tiu funkcio estas grava en teorio de nombroj. Kaj kunigas kun ĝi fama hipotezo de Riemann.

Ankaŭ Alterna harmona serio estas ankaŭ konverĝa, sed nur kondiĉe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2.}$

Tiu rezultas ekzemple el disvolvo de funkcio natura logaritmo en serio de Taylor.

1. ↑ pruvis Euler