Finia aro

En matematiko, aron A oni nomas finia, se por iu natura nombro n ekzistas dissurĵeto de la aro {1, ..., n} sur la aron A. Mallonge oni skribas ${\displaystyle {\bar {n}}=\left\{1,...,n\right\}}$.

Ekzemple la aro ${\displaystyle A=\left\{e,\pi ,e^{\pi }\right\}}$ estas finia ĉar la funkcio ${\displaystyle f:\left\{1,2,3\right\}\rightarrow A}$ difinita per

${\displaystyle 1\mapsto e,\ 2\mapsto \pi ,\ 3\mapsto e^{\pi }}$

estas dissurĵeto de ${\displaystyle {\bar {3}}}$ sur ${\displaystyle A}$.

Por matematike difini, kio estas la nombro de elementoj de finia aro, oni pruvas la sekvan aserton: se A estas finia aro kaj ekzistas naturaj nombroj n, m kaj dissurĵetoj ${\displaystyle f:{\bar {n}}\rightarrow A,\ g:{\bar {m}}\rightarrow A}$, tiam n=m.

Tiu fakto ebligas difini la nombron de elementoj de finia aro A kiel la unikan naturan n tian, ke ekzistas dissurĵeto de ${\displaystyle {\bar {n}}}$ sur ${\displaystyle A}$ (n certe ekzistas laŭ la difino mem de finia aro, kaj estas unika laŭ la ĵus citita aserto).

Tiun nombron oni simbole indikas per ${\displaystyle \#A}$ aŭ per ${\displaystyle |A|}$ kaj iam nomas povo de aro aŭ "kardinaleco" de ${\displaystyle A}$. Nun oni povas, laŭlogike, aserti ke la aro ${\displaystyle A=\left\{e,\pi ,e^{\pi }\right\}}$ el la ĉi-supra ekzemplo havas ${\displaystyle 3}$ elementojn, t.e. ${\displaystyle \#A=3}$. Aliaj ekzemploj: ${\displaystyle \#\left\{7,-12,18,\pi \right\}=4,\ \#\left\{1,2,1,1\right\}=2}$; krome, oni aparte difinas, ke ${\displaystyle \#\emptyset =0}$ (kie ${\displaystyle \emptyset }$ estas la malplena aro).

Oni nomas aron nefinia, se ĝi ne estas finia. Ekzistas aliaj difinoj de nefinia aro ekvivalentaj al ĉi tiu.

• Senfineco
• Nefinia aro
• Aroteorio