Egaleco (matematiko)
Ĉi tiu artikolo temas pri matematiko. Por aliaj signifoj vidu la artikolon socia egaleco.Egaleco estas ekzemplo de la pli ĝenerala koncepto de ekvivalentrilato sur aro.
Ekvacio estas simple aserto ke du esprimoj estas rilatantaj per egaleco.
Tamen la simbolo "=" estas iam uzata por la aliaj rilatoj. Ekzemple, la frazo S(x)=O(x3) signifas ke S(x) kreskas je la samo ordo kiel x3, kaj iuj propraĵoj de egaleco ĉi tie ne veras. Ĉi tio estas nerigora notacio, vidu pli detale en granda O.
Logikaj formulaĵoj
[redakti | redakti fonton]La egaleca rilato estas ĉiam difinita tia ke aĵoj kiuj estas egala havi ĉiujn kaj nur la samajn propraĵojn. Iu popolo difini egaleco kiel kongrueco. Ofte egaleco estas difinita kiel idento.
Pli forta senso de egaleco estas ricevita se iu formo de leĝo de Leibniz estas alprenata kiel aksiomo. La aksiomo ŝtatas ke du aĵoj estas egalaj se ili havi ĉiujn kaj nur la samajn propraĵojn:
- Por ĉiuj donitaj x kaj y, x=y se, por ĉiu donita predikato P, P(x) se kaj nur se P(y).
En ĉi tiu leĝo, la ligilo "se kaj nur se" povas esti malfortigita al "se"; la modifita leĝo estas ekvivalenta al la originala.
Anstataŭ konsidero de leĝo de Leibniz kiel aksiomo, ĝi povas ankaŭ esti prenita kiel la difino de egaleco. La propraĵo de estante ekvivalentrilato, kaj ankaŭ la propraĵoj donita pli sube, povas tiam esti pruvita: ili iĝi (teoremoj, teoremas).
Propraĵoj
[redakti | redakti fonton]La anstataŭiga propraĵo estas:
- Por ĉiuj a kaj b kaj ĉiu esprimo F(x), se a=b, do F(a)=F(b) (se ĉiu flanko havas senson).
La refleksiva propraĵo estas:
- Por ĉiu a, a=a.
La simetria propraĵo estas:
- Por ĉiuj a kaj b, se a=b, do b=a.
La transitiva propraĵo estas:
- Por ĉiuja, b, c, se a=b kaj b=c, do a=c.
Iuj ekzemploj de anstataŭiga propraĵo estas:
- Por ĉiuj reelaj nombroj a, b, c, se a=b, do a+c=b+c (ĉi tie F(x) estas x+c);
- Por ĉiuj reelaj nombroj a, b, c, se a=b, do a-c=b-c (ĉi tie F(x) estas x-c);
- Por ĉiuj reelaj nombroj a, b, c, se a=b, do ac=bc (ĉi tie F(x) estas xc);
- Por ĉiuj reelaj nombroj a, b, c, se a=b kaj c ne estas nulo, do a/c=b/c (ĉi tie F(x) estas x/c).
La duargumenta rilato "estas proksimume egala" inter reelaj nombroj aŭ aliaj aĵoj, eĉ se pli detale difinita, estas ne transitiva, ĉar multaj malgrandaj diferencoj povas adiciiĝi en ion grandan). Tamen, egaleco preskaŭ ĉie estas transitiva.
Kvankam la simetria kaj transitiva propraĵoj estas ofte vidita kiel fundamentaj, ili povas esti pruvita, se la anstataŭa kaj refleksiva propraĵoj estas alprenitaj aksiome.
Egaleco estas antisimetria rilato.