Zylinderspule

Zylinderspulen haben neben der einfachen Berechenbarkeit folgende Merkmale:

• besonders für hohe Frequenzen geeignet und hohe Eigenresonanzfrequenz wegen der geringen kapazitiven Kopplung zwischen den Windungen und Anschlüssen im Vergleich zu mehrlagigen Spulen oder Toroidspulen
• für hohe Spannungen besser geeignet wegen der entfallenden Lagenisolation
• größere Abmessungen, jedoch bessere Abführung der Verlustwärme als mehrlagige Spulen gleicher Induktivität

Ausgehend von diesen Eigenschaften werden Zylinderspulen als Hochfrequenzdrossel („UKW-Drossel“) und allgemein zur Herstellung von Induktivitäten bei hohen Frequenzen eingesetzt.

Zylinderspulen lassen sich abgleichen, indem ihre Windungen auseinandergebogen oder -gezogen werden. Wird ein Aluminium- oder Ferrit- bzw. Eisenpulverkern eingeschoben (siehe auch Variometer), ist der damit erreichbare Variationsbereich höher als bei einer kurzen, mehrlagigen Spule.

Übereinander, jeweils als Zylinderspule ausgebildete Wicklungen von Transformatoren sind durch eine geringe Selbstinduktion (Streuinduktivität) geprägt und sind nicht vom Proximity-Effekt betroffen.

Der Teilchendetektor Compact Muon Solenoid (CMS) am CERN ist ein Beispiel für eine besonders große Zylinderspule.

 

 

 

Das Magnetfeld B einer idealen Zylinderspule kann durch Integration des Biot-Savart-Gesetzes berechnet werden. Die Spule habe die Windungszahl N, Stromstärke I, Länge l und Radius R. Wir bezeichnen die Zylinderachse durch den Einheitsvektor ${\displaystyle {\hat {z}}}$ , wobei z vom Mittelpunkt der Spule in Richtung der Korkenzieherregel gemessen wird. Der Abstand zur Zylinderachse sei ρ mit entsprechendem Einheitsvektor ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$  (Zylinderkoordinaten). Dann besitzt das erzeugte Feld nur eine axiale und radiale, aber keine azimutale Komponente:

${\displaystyle {\vec {B}}(\rho \,{\hat {\rho }}+z\,{\hat {z}})=B_{\rho }(\rho ,z)\,{\hat {\rho }}+B_{z}(\rho ,z)\,{\hat {z}}}$ 

Die Feldkomponenten betragen: ^{[1][2][3][4][5][6]}

${\displaystyle B_{\rho }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {NI}{l}}{\frac {1}{\rho }}\left[{\sqrt {(\rho +R)^{2}+\zeta ^{2}}}{\Bigl (}(2-m)\,K(m)-2\,E(m){\Bigr )}\right]_{\zeta =z+l/2}^{\zeta =z-l/2}}$ 

${\displaystyle B_{z}={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}{\frac {NI}{l}}\left[{\frac {\zeta }{\sqrt {(\rho +R)^{2}+\zeta ^{2}}}}\left({\frac {\rho -R}{\rho +R}}\,\Pi (n,m)-K(m)\right)\right]_{\zeta =z+l/2}^{\zeta =z-l/2}}$ 

Der Inhalt der eckigen Klammern wird subtrahiert gemäß ${\displaystyle [f(x)]_{x=a}^{x=b}=f(b)-f(a)}$ . Hierbei wurde die magnetische Feldkonstante μ₀, die Substitutionen

${\displaystyle m=4R\rho /\left((\rho +R)^{2}+\zeta ^{2}\right)}$ ,     ${\displaystyle n=4R\rho /(\rho +R)^{2}}$ 

sowie die vollständigen elliptischen Integrale erster (K), zweiter (E) und dritter Art (Π) verwendet:

${\displaystyle K(m)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}\,\mathrm {d} \varphi }$ 

${\displaystyle E(m)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}\,\mathrm {d} \varphi }$ 

${\displaystyle \Pi (n,m)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{(1-n\sin ^{2}\varphi ){\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}}\,\mathrm {d} \varphi }$ 

Neben der Darstellung durch die klassischen elliptischen Integrale existieren auch alternative Ausdrücke mit verbesserter numerischer Stabilität und effizienter Berechenbarkeit, beispielsweise mit Carlson-Formen.^[7]

Entlang der Zylinderachse vereinfacht sich das Feld:

${\displaystyle {\vec {B}}(z\,{\hat {z}})={\hat {z}}\,\mu _{0}{\frac {NI}{2l}}\left({\frac {z+l/2}{\sqrt {R^{2}+(z+l/2)^{2}}}}-{\frac {z-l/2}{\sqrt {R^{2}+(z-l/2)^{2}}}}\right)}$ 

Im Zentrum der Spule beträgt das Feld exakt:

${\displaystyle {\vec {B}}(0)={\hat {z}}\,\mu _{0}{\frac {NI}{\sqrt {(2R)^{2}+l^{2}}}}}$ 

Für lange Spulen ${\displaystyle l\gg 2R}$  beträgt das Feld überall im Inneren, außer nahe den Enden

${\displaystyle {\vec {B}}\approx {\hat {z}}\,\mu _{0}{\frac {NI}{l}}}$ 

und sinkt und außerhalb weit weg von den Spulenenden schnell auf Null ab. Für große Abstände ${\displaystyle \rho ^{2}+z^{2}\gg R^{2}+(l/2)^{2}}$  nähert sich das Feld einem Dipolfeld mit magnetischem Moment ${\displaystyle {\vec {m}}=NIR^{2}\pi \,{\hat {z}}}$  an:^[7]

${\displaystyle {\vec {B}}(\rho \,{\hat {\rho }}+z\,{\hat {z}})\approx {\frac {\mu _{0}}{4}}NIR^{2}{\frac {3\rho z\,{\hat {\rho }}+(2z^{2}-\rho ^{2}){\hat {z}}}{{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}^{5}}}}$ 

Das Magnetfeld der Zylinderspule entspricht exakt dem eines homogen magnetisierten zylinderförmigen Stabmagneten mit Magnetisierung ${\displaystyle M}$ , wobei ${\displaystyle NI\;{\widehat {=}}\;Ml}$ .^[7]

Die Induktivität einer Zylinderspule im Vakuum beträgt^[7]

${\displaystyle L={\frac {8\mu _{0}N^{2}R^{2}}{3\,l}}\left({\frac {1}{2k}}\operatorname {cel} \left(k,1,1,2k^{2}\right)-{\frac {R}{l}}\right),\quad k={\frac {l/2}{\sqrt {R^{2}+(l/2)^{2}}}}}$ .

Hierbei ist cel das elliptische Bulirsch-Integral und ${\displaystyle \mu _{0}}$  ist die Magnetische Feldkonstante. Für konkrete Aspektverhältnisse ist dies:

${\displaystyle l/R}$	0,01	0,1	0,5	1	2	5	10	100	∞
${\displaystyle L{\bigg /}{\frac {\mu _{0}N^{2}R^{2}\pi }{l}}}$	0,0197	0,124	0,365	0,526	0,688	0,850	0,920	0,9916	1

Eine einfache Näherungsformel für nicht zu kurze Spulen ist

${\displaystyle L\approx {\frac {\mu _{0}N^{2}R^{2}\pi }{l+0{,}9\cdot R}}}$ .

Diese Formel hat für ${\displaystyle l>0{,}8R}$  weniger als 1 % Fehler.^[8]

Im Fall einer sehr langen Zylinderspule (${\displaystyle l\gg R}$ ) mit Querschnittsfläche ${\displaystyle A=R^{2}\pi }$  lässt sich die Näherung noch weiter vereinfachen:

${\displaystyle L\approx {\frac {\mu _{0}N^{2}A}{l}}}$ .

Bei Spulen mit ferromagnetischem Kern ist die Formel nicht mehr anwendbar, da der äußere Teil des Feldes nun relevant wird. Handelt es sich jedoch um einen geschlossenen magnetischen Kreis in der Form eines hochpermeablen Rahmens, auf den die Spule gewickelt ist, kann statt der Spulenlänge dessen mittlerer Umfang – das ist die mittlere magnetische Weglänge – und statt des Spulenquerschnittes sein mittlerer Querschnitt eingesetzt werden. Die Induktivitätsberechnung erfordert dann noch die Multiplikation mit der Permeabilitätszahl ${\displaystyle \mu _{r}}$  des Kernmaterials.

1. ↑ J. C. Maxwell: Electricity and Magnetism. Clarendon Press, Oxford, England 1873 (archive.org). 
2. ↑ Karl Friedrich Müller: Berechnung der Induktivität von Spulen. In: Archiv für Elektrotechnik. 17. Jahrgang, Nr. 3, 1. Mai 1926, ISSN 1432-0487, S. 336–353, doi:10.1007/BF01655986 (springer.com). 
3. ↑ Kuno Foelsch: Magnetfeld und Induktivität einer zylindrischen Spule. In: Archiv für Elektrotechnik. 30. Jahrgang, Nr. 3, 3. März 1936, ISSN 1432-0487, S. 139–157, doi:10.1007/BF01657310 (springer.com). 
4. ↑ E. E. Callaghan, S. H. Maslen: The Magnetic Field of a Finite Solenoid. In: NASA Technical Reports. NASA-TN-D-465, E-900, 1. Oktober 1960 (nasa.gov). 
5. ↑ M. W. Garrett: Calculation of Fields, Forces, and Mutual Inductances of Current Systems by Elliptic Integrals. In: Journal of Applied Physics. 34. Jahrgang, Nr. 9, September 1963, S. 2567–2573, doi:10.1063/1.1729771. 
6. ↑ Herleitung: Finite length Solenoid potential and field (Memento vom 19. Juli 2021 im Internet Archive; PDF), abgerufen am 10. Juli 2021.
7. ↑ ^{a b c d} Norman Derby, Stanislaw Olbert: Cylindrical magnets and ideal solenoids. In: American Journal of Physics. 78. Jahrgang, Nr. 3, 2010, ISSN 0002-9505, S. 229–235, doi:10.1119/1.3256157, arxiv:0909.3880. 
8. ↑ H. A. Wheeler: Simple Inductance Formulas for Radio Coils. In: Proceedings of the Institute of Radio Engineers. Band 16, Nr. 10, 1928, S. 1398–1400, doi:10.1109/JRPROC.1928.221309.