Torsion (Algebra)

In der einfachsten Form ist ein Torsionselement ein Element endlicher Ordnung in einer Gruppe oder einem Monoid, also ein Element ${\displaystyle g}$ , für das es eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$  gibt, so dass ${\displaystyle g^{n}=1}$  (bzw. ${\displaystyle n\cdot g=0}$  in additiver Schreibweise) gilt.

Für den Torsionsbegriff der kommutativen Algebra sei ${\displaystyle R}$  ein (kommutativer) Ring (mit Einselement) und ${\displaystyle M}$  ein ${\displaystyle R}$ -Modul.

• Die Torsion oder der Torsionsuntermodul von ${\displaystyle M}$  ist der Untermodul derjenigen Elemente ${\displaystyle m}$ , für die der Kern der Abbildung ${\displaystyle R\to M}$ , ${\displaystyle r\mapsto rm}$ , nicht nur Nullteiler enthält. In diesem Fall heißt ${\displaystyle m}$  Torsionselement.
• Äquivalent dazu kann man den Torsionsuntermodul auch als den Kern des Homomorphismus

${\displaystyle M\to M\otimes Q}$ 

definieren, wenn ${\displaystyle Q}$  den Totalquotientenring von ${\displaystyle R}$  bezeichnet.

• ${\displaystyle M}$  heißt torsionsfrei, wenn der Torsionsuntermodul Null ist.
• ${\displaystyle M}$  ist ein Torsionsmodul, wenn der Torsionsuntermodul gleich ${\displaystyle M}$  ist. Man sagt dann auch manchmal kurz: ${\displaystyle M}$  „ist Torsion“.

Ist ${\displaystyle M}$  eine abelsche Gruppe (also ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -Modul), so stimmen die beiden Definitionen von Torsionselementen überein. Man spricht dann analog von Torsions(unter)gruppen.

• Ist ${\displaystyle T}$  der Torsionsuntermodul von ${\displaystyle M}$ , so ist ${\displaystyle M/T}$  torsionsfrei. Es gibt also einen kanonischen Torsionsuntermodul und einen kanonischen torsionsfreien Quotienten, jedoch nicht umgekehrt.
• Das Bilden des Torsionsuntermoduls ist ein Funktor, d. h. ist ${\displaystyle f\colon M\to N}$  ein Modulhomomorphismus, so bildet ${\displaystyle f}$  den Torsionsuntermodul von ${\displaystyle M}$  in den Torsionsuntermodul von ${\displaystyle N}$  ab. Auch im Fall von Gruppen bildet ein Homomorphismus Torsionselemente stets auf Torsionselemente ab.
• Aus der alternativen Beschreibung des Torsionsuntermoduls als Kern einer Lokalisierung folgt unmittelbar, dass das Bilden des Torsionsuntermoduls ein linksexakter Funktor ist.

• Torsionselemente der Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$  sind unter anderem ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$  und ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}}}$ , ihr Produkt ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$  hat dagegen unendliche Ordnung. In nicht abelschen Gruppen bilden die Torsionselemente also nicht notwendigerweise eine Untergruppe.
• Ein anderes Beispiel für diese Tatsache ist die unendliche Diedergruppe

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{2}=1\rangle }$ ,

in der die Erzeuger Torsionselemente sind, aber beispielsweise ${\displaystyle xy}$  nicht.

• ${\displaystyle R}$  selbst, oder allgemeiner ein freier ${\displaystyle R}$ -Modul, ist torsionsfrei. Ist insbesondere ${\displaystyle R}$  ein Körper, so sind alle ${\displaystyle R}$ -Moduln torsionsfrei.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$  ist ein Torsionsmodul (über ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ) für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ . Allgemein ist für einen Ring ${\displaystyle R}$  und ein Ideal ${\displaystyle J}$  von ${\displaystyle R}$ , das nicht nur aus Nullteilern besteht, der Modul ${\displaystyle R/J}$  ein Torsionsmodul.
• Ist ${\displaystyle K}$  ein Körper, so ist der Torsionsuntermodul von ${\displaystyle K^{\times }}$ , aufgefasst als abelsche Gruppe bzw. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -Modul, gleich der Gruppe der Einheitswurzeln in ${\displaystyle K}$ .
• Torsionselemente in elliptischen Kurven und allgemeiner abelschen Varietäten werden als Torsionspunkte bezeichnet.

• Eine abelsche Torsionsgruppe ist genau dann endlich erzeugt, wenn sie endlich ist.
• Eine abelsche Torsionsgruppe ist die direkte Summe ihrer ${\displaystyle p}$ -primären Untergruppen für jede Primzahl ${\displaystyle p}$ , d. h. der Untergruppen der Elemente, deren Ordnung eine Potenz von ${\displaystyle p}$  ist. Die ${\displaystyle p}$ -primäre Untergruppe ist eine ${\displaystyle p}$ -Gruppe.
• Wie das Beispiel der Faktorgruppe ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$  zeigt, sind die Ordnungen der Elemente im Allgemeinen nicht beschränkt; auch die ${\displaystyle p}$ -primäre Untergruppe ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}}$  hat bereits diese Eigenschaft.
• Ist die Ordnung der Elemente beschränkt, so bedeutet das nicht, dass die Gruppe endlich erzeugt (und damit endlich) ist: In einem unendlichen direkten Produkt zyklischer Gruppen der Ordnung 2 hat jedes Element (außer dem neutralen Element) Ordnung 2.

• Eine abelsche Gruppe ist genau dann torsionsfrei, wenn eine totale Ordnung existiert, die kompatibel mit der Gruppenstruktur ist.^[1]

• Ist ein endlich erzeugter Modul über einem Hauptidealring torsionsfrei, so ist er frei. Dies gilt insbesondere für abelsche Gruppen.
• Ist ein endlich erzeugter Modul über einem Dedekindring torsionsfrei, so ist er projektiv.
• Flache Moduln sind torsionsfrei.^[2] Über Dedekindringen (insbesondere also über Hauptidealringen) stimmen die Begriffe „flach“ und „torsionsfrei“ sogar überein.^[3]

Das folgende Diagramm fasst diese Implikationen für einen Modul ${\displaystyle M}$  über einem kommutativen Integritätsring ${\displaystyle A}$  zusammen:

Es seien ${\displaystyle A}$  ein kommutativer Ring mit Einselement und ${\displaystyle M}$  ein ${\displaystyle A}$ -Modul. Im einfachsten Fall ist ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$ ; ${\displaystyle M}$  ist dann lediglich eine abelsche Gruppe.

Für ein Ringelement ${\displaystyle a\in A}$  ist

${\displaystyle M[a]=\{m\in M\mid am=0\}\cong \mathrm {Hom} _{A}(A/Aa,M)}$ 

ein Untermodul, der als die ${\displaystyle a}$ -Torsion von ${\displaystyle M}$  bezeichnet wird. (Die Verwechslungsgefahr mit der Notation ${\displaystyle M[f^{-1}]}$  für Lokalisierungen ist gering.) Auch die Notation ${\displaystyle {}_{a}M}$  ist üblich.

Der Modul

${\displaystyle M[a^{\infty }]=\bigcup _{n\geq 1}M[a^{n}]=\{m\in M\mid \exists n\colon a^{n}m=0\}=\ker(M\to M\otimes A_{a})}$ 

wird als ${\displaystyle a^{\infty }}$ -Torsion bezeichnet.

• ${\displaystyle M[a]}$  ist auf natürliche Weise ein ${\displaystyle A/a}$ -Modul.
• Der Funktor ${\displaystyle M\mapsto M[a]}$  ist linksexakt (als darstellbarer Funktor vertauscht sogar mit beliebigen Limites); genauer gilt: ist

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$ 

eine exakte Folge von ${\displaystyle A}$ -Moduln, so ist

${\displaystyle 0\to M'[a]\to M[a]\to M''[a]\to M'/aM'\to M/aM\to M''/aM''\to 0}$ 

exakt, wie unmittelbar aus dem Schlangenlemma folgt.

• Der Torsionsuntermodul von ${\displaystyle M}$  ist die Vereinigung der ${\displaystyle M[a]}$  für alle Nichtnullteiler ${\displaystyle a\in A}$ .
• Für Ringelemente ${\displaystyle a,b}$  ist ${\displaystyle b\cdot M[ab]=(bM)[a]\subseteq M[a]}$ .
• Für eine abelsche Gruppe ${\displaystyle M}$  und eine Primzahl ${\displaystyle p}$  ist ${\displaystyle M[p^{\infty }]}$  der ${\displaystyle p}$ -primäre Anteil der Torsion von ${\displaystyle M}$ .

Ist ${\displaystyle M}$  eine abelsche Gruppe und ${\displaystyle \ell }$  eine Primzahl, so ist der projektive Limes

${\displaystyle T_{\ell }(M)=\varprojlim _{n}M[\ell ^{n}]}$ 

(die Übergangsabbildungen sind durch die Multiplikation mit ${\displaystyle \ell }$  gegeben) ein ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\ell }}$ -Modul (ganze ${\displaystyle \ell }$ -adische Zahlen), der als ${\displaystyle \ell }$ -adischer Tate-Modul von ${\displaystyle M}$  (nach John Tate) bezeichnet wird. Durch den Übergang zu

${\displaystyle V_{\ell }(M)=T_{\ell }(M)\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }}$ 

erhält man einen Vektorraum über einem Körper der Charakteristik 0; dies ist insbesondere für darstellungstheoretische Betrachtungen vorteilhaft.

Das wichtigste Beispiel für diese Konstruktion ist der Tate-Modul zu einer elliptischen Kurve ${\displaystyle E}$  über einem nicht algebraisch abgeschlossenen Körper, dessen Charakteristik nicht ${\displaystyle \ell }$  ist. Der Tate-Modul ${\displaystyle T_{\ell }(E)}$  ist als ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\ell }}$ -Modul isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\ell }^{2}}$  und trägt eine natürliche Operation der Galoisgruppe. Im Fall der multiplikativen Gruppe ${\displaystyle \mathbb {G} _{\mathrm {m} }}$  ist der zugehörige Tate-Modul vom Rang 1. Er wird mit ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\ell }(1)}$  bezeichnet, die Operation der Galoisgruppe erfolgt durch den zyklotomischen Charakter.

Für ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -Moduln ist der Torsionsuntermodul eines Moduls ${\displaystyle M}$  gleich ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ,M)}$ . Die Funktoren Tor können also als Verallgemeinerung des Begriffes des Torsionsuntermoduls angesehen werden.

• David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer-Verlag, New York 1995. ISBN 0-387-94269-6.
• Qing Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. Oxford University Press, Oxford 2006. ISBN 0-19-920249-4.

1. ↑ Nicolas Bourbaki: Algèbre (= Éléments de mathématique). Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-33849-7, Kap. 2, S. 172. 
2. ↑ David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer-Verlag, New York 1995. ISBN 0-387-94269-6.
3. ↑ Qing Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. Oxford University Press, Oxford 2006. ISBN 0-19-920249-4.