Teilraumtopologie

Es sei ${\displaystyle X}$  die Grundmenge eines topologischen Raums ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)}$  und ${\displaystyle Y\subseteq X}$  eine Teilmenge. Dann ist die Teilraumtopologie auf ${\displaystyle Y}$  die Topologie

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{Y}=\{O\cap Y\mid O\in {\mathcal {T}}\}.}$ 

Die offenen Teilmengen von ${\displaystyle Y}$  sind also genau die Schnitte der offenen Teilmengen ${\displaystyle O}$  von ${\displaystyle X}$  mit ${\displaystyle Y}$ .

• Die Teilraumtopologie auf einer Teilmenge ${\displaystyle Y\subseteq X}$  eines topologischen Raumes ${\displaystyle X}$  ist die gröbste Topologie, für die die Inklusionsabbildung

${\displaystyle Y\to X,\quad y\mapsto y}$ 

stetig ist.

• Ist ${\displaystyle Y}$  eine offene Teilmenge eines topologischen Raumes ${\displaystyle X}$ , so ist eine Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq Y}$  genau dann offen in der Teilraumtopologie von ${\displaystyle Y}$ , wenn ${\displaystyle U}$  als Teilmenge von ${\displaystyle X}$  offen ist.
• Ist ${\displaystyle Y}$  eine abgeschlossene Teilmenge eines topologischen Raumes ${\displaystyle X}$ , so ist eine Teilmenge ${\displaystyle Z\subseteq Y}$  genau dann abgeschlossen in der Teilraumtopologie von ${\displaystyle Y}$ , wenn ${\displaystyle Z}$  als Teilmenge von ${\displaystyle X}$  abgeschlossen ist.

• Man stelle sich ein Blatt Papier ohne Rand als zweidimensionales Objekt vor. Im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$  ist dies keine offene Menge. Betrachtet man aber die Topologie bezüglich der Ebene, in der sich das Blatt befindet, so liegt eine offene Menge vor.
• Die Teilraumtopologie auf ${\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {R} }$  ist die diskrete Topologie, d. h. alle Teilmengen von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  sind offen als Teilmengen des topologischen Raumes ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ . Beispielsweise ist die Menge ${\displaystyle \{0\}}$  eine offene Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , weil sie Schnitt der offenen Teilmenge ${\displaystyle \left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)}$  von ${\displaystyle \mathbb {R} }$  mit ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  ist.

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.