Spinorbündel

Sei ${\displaystyle (M,g)}$  eine riemannsche Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle \pi _{E}\colon E\to M}$  ein orientiertes hermitesches Vektorbündel der Dimension ${\displaystyle n}$ . Mit ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$  wird die Spin-Gruppe von ${\displaystyle C\ell _{n}}$  bezeichnet. Sie kann als eine zweiblättrige Überlagerung ${\displaystyle \tau _{0}\colon \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$  der orthogonalen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$  aufgefasst werden. Eine Spinstruktur auf ${\displaystyle E}$  ist ein ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ -Hauptfaserbündel ${\displaystyle P_{\operatorname {Spin} }(E)\to E}$  zusammen mit einer zweiblättrigen Überlagerung

${\displaystyle \tau \colon P_{\operatorname {Spin} }(E)\to P_{\operatorname {SO} }(E)}$ 

des ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ -Hauptfaserbündels ${\displaystyle P_{\operatorname {SO} }(E)}$ , so dass ${\displaystyle \tau (pg)=\tau (p)\tau _{0}(g)}$  für alle ${\displaystyle p\in P_{\operatorname {Spin} }(E)}$  und alle ${\displaystyle g\in \operatorname {Spin} (n)}$  gilt.^[3]

Eine Spin-Mannigfaltigkeit ist eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit, die eine Spinstruktur auf ihrem Tangentialbündel erlaubt.^[4]

Da die Stiefel-Whitney-Klasse einer Mannigfaltigkeit definiert ist als die Stiefel-Whitney-Klasse ihres Tangentialbündels ist, bedeutet das, dass eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit genau dann eine Spinstruktur zulässt, wenn ${\displaystyle \omega _{\text{2}}(X)=0}$  gilt. Dann werden die verschiedenen Spinstrukturen von den Elementen von ${\displaystyle H^{1}(X;\mathbb {Z} _{\text{2}})}$  bestimmt.^[5]

Sei ${\displaystyle (M,g)}$  eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit gerader Dimension und einer Spinstruktur ${\displaystyle \pi \colon P_{\operatorname {Spin} }(M)\to TM}$  auf dem Tangentialbündel ${\displaystyle TM}$ , also kurz eine Spin-Mannigfaltigkeit mit gerader Dimension. Sei ${\displaystyle S}$  die Darstellung der komplexen Clifford-Algebra ${\displaystyle \mathbb {C} l(n)}$  (auch Spinor-Modul genannt). Die ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ -Gruppe hat als Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {C} l(n)}$  ebenfalls eine Darstellung ${\displaystyle \rho \colon \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {End} (S)}$ .

Das Spinorbündel ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$  über der Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$  ist definiert als das assoziierte komplexe Vektorbündel^[6]

${\displaystyle {\mathcal {S}}:=P_{\operatorname {Spin} }(M)\times _{\operatorname {Spin} (n)}S\,.}$ 

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \times _{\operatorname {Spin} (n)}}$  das Faserprodukt von ${\displaystyle P_{\operatorname {Spin} }(M)}$  mit ${\displaystyle S}$  über ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ . In diesem konkreten Fall bedeutet dies

${\displaystyle P_{\operatorname {Spin} }(M)\times _{\operatorname {Spin} (n)}S=P_{\operatorname {Spin} }(M)\times S/\{(p\cdot g,f)\sim (p,\rho (g)f\}}$ 

für ${\displaystyle p\in P_{\operatorname {Spin} }(M)}$ , ${\displaystyle g\in \operatorname {Spin} (n)}$  und ${\displaystyle f\in S}$ .

• Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Mit einem Ausblick auf die Seiberg-Witten-Theorie. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1997, ISBN 3-528-06926-0. 

1. ↑ Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Mit einem Ausblick auf die Seiberg-Witten-Theorie. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1997. ISBN 3-528-06926-0, S. 467–468.
2. ↑ spin geometry. In: nlab. Abgerufen am 31. März 2021 (englisch). 
3. ↑ H. B. Lawson, M. Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0-691-08542-5, S. 80.
4. ↑ H. B. Lawson, M. Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0-691-08542-5, S. 96.
5. ↑ H. B. Lawson, M. Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0-691-08542-5, S. 96–97.
6. ↑ Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 111.