Satz von Picard

• In beiden Sätzen ist die eventuelle „Ausnahme eines Punktes“ offenbar nötig. Zum Beispiel bildet ${\displaystyle z\mapsto e^{z}}$  nicht auf ${\displaystyle 0}$  ab, ebenso ist ${\displaystyle 0}$  nicht im Bild von ${\displaystyle z\mapsto e^{1/z}}$  einer jeden punktierten Umgebung von ${\displaystyle 0}$  enthalten.
• Der Kleine Satz folgt sofort aus dem Großen Satz, denn eine ganze Funktion ist entweder ein Polynom oder sie hat eine wesentliche Singularität in ${\displaystyle \infty }$ .
• Der Große Satz verallgemeinert den Satz von Weierstraß-Casorati.
• Eine Vermutung von B. Elsner^[2] ist mit dem Großen Satz von Picard verwandt: Seien ${\displaystyle U_{1},U_{2},\dots ,U_{n}}$  offene zusammenhängende Teilmengen von ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , deren Vereinigung die punktierte offene Einheitskreisscheibe ${\displaystyle \mathbb {E} \setminus \{0\}}$  ist. Auf jedem ${\displaystyle U_{j}}$  sei eine schlichte (d. h. injektive holomorphe) Funktion ${\displaystyle f_{j}}$  gegeben, so dass ${\displaystyle \mathrm {d} f_{j}=\mathrm {d} f_{k}}$  auf jeder Schnittmenge ${\displaystyle U_{j}\cap U_{k}}$ . Dann verschmelzen die Differentiale zu einer meromorphen 1-Form auf der Einheitskreisscheibe ${\displaystyle \mathbb {E} }$ . (Im Fall, dass das Residuum verschwindet, folgt die Vermutung aus dem Großen Satz.)

Mit Hilfe der Theorie der j-Funktion kann ein kurzer Beweis des kleinen Satzes von Picard gegeben werden. Unter der Annahme, ${\displaystyle f}$  sei ganz und lasse die beiden Werte ${\displaystyle a\not =b}$  aus, ist die Funktion

${\displaystyle g(z)={\frac {f(z)-a}{b-a}}}$ 

ganz und lässt die Werte 0 und 1 aus. Die j-Funktion bildet nun die mit Spitzen vereinigte obere Halbebene ${\displaystyle \mathbb {H} \cup \mathbb {Q} \cup \{\infty \}}$  auf eine Riemannsche Fläche mit unendlich vielen Blättern und Verzweigungspunkten an den Bildpunkten ${\displaystyle 0,1}$  und ${\displaystyle \infty }$  ab. Es folgt, dass ihre Inverse ${\displaystyle j^{-1}}$  diese Riemannsche Fläche (ohne Einschränkung) auf den Abschluss des Standardfundamentalbereichs ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  abbildet. Da ${\displaystyle j'(\tau )\not =0}$  für alle ${\displaystyle \rho \not =\tau \not =i}$  und ${\displaystyle j'(i)=j'(\rho )=0}$  und ${\displaystyle j(i)=0}$ , ${\displaystyle j(\rho )=1}$  bzw. ${\displaystyle j(\infty )=\infty }$ , ist ${\displaystyle j^{-1}}$  lokal analytisch für alle komplexen Werte außer 0 und 1. Daraus folgt, dass die Komposition

${\displaystyle h(z)=j^{-1}(g(z))}$ 

in jedem Punkt lokal analytisch ist, da ${\displaystyle g}$  gerade 0 und 1 auslässt. Damit lässt sich ${\displaystyle h}$  zu einer ganzen Funktion ausdehnen, für welche allerdings ${\displaystyle |e^{ih(z)}|<1}$  für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$  gelten muss, da ${\displaystyle \mathrm {Im} \,h(z)>0}$ . Daraus folgt mit dem Satz von Liouville, dass ${\displaystyle h}$  und folglich auch ${\displaystyle f}$  konstant ist.

• Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1965. 

1. ↑ Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1965, S. 490. 
2. ↑ Bernhard Elsner: Hyperelliptic action integral. In: Annales de l’institut Fourier. Band 49, Nr. 1, 1999, ISSN 1777-5310, S. 303–331, hier S. 330 (englisch, numdam.org [PDF; 2,0 MB; abgerufen am 9. September 2010]).