Pseudobetrag

Sei ${\displaystyle R}$  ein unitärer Ring. Eine Abbildung ${\displaystyle |\cdot |\colon R\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$  in die nichtnegativen reellen Zahlen wird Pseudobetrag genannt, wenn für alle ${\displaystyle a,b\in R}$  folgende Eigenschaften gelten:

(1) ${\displaystyle |a|=0\;\Leftrightarrow \;a=0}$  (Definitheit)

(2) ${\displaystyle |a-b|\leq |a|+|b|}$ 

(3) ${\displaystyle |a\cdot b|\leq |a|\cdot |b|}$  (Submultiplikativität)

Wird (3) verschärft zu

(3a) ${\displaystyle |a\cdot b|=|a|\cdot |b|}$  (Multiplikativität),

so ist ${\displaystyle |\cdot |}$  ein Betrag.

Der Pseudobetrag ${\displaystyle |\cdot |}$  heißt nicht-archimedisch, wenn

(4) ${\displaystyle |a+b|\leq \max(|a|,|b|)}$ 

gilt.

• Für einen Pseudobetrag gelten stets

${\displaystyle |{-a}|=|a|}$ 

und

${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$  (Dreiecksungleichung).

• Für einen Pseudobetrag gilt stets ${\displaystyle |1|\geq 1}$ , für einen Betrag gilt sogar ${\displaystyle |1|=1}$ .
• Jeder unitäre Ring mit Betrag ist notwendigerweise bereits ein Integritätsring (durch die Multiplikativität vererbt sich die Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen auf den Ring).
• Die Funktion

${\displaystyle {\begin{array}{llll}d\;\colon &R\times R&\to \mathbb {R} _{\geq 0}\\&d(a,b)&\mapsto |a-b|\end{array}}}$ 

definiert die vom Pseudobetrag ${\displaystyle |\cdot |}$  induzierte Metrik. Sie ist eine Ultrametrik, wenn jener nicht-archimedisch ist.

Sei ${\displaystyle (R,|\cdot |)}$  ein unitärer Ring mit Pseudobetrag.

Dann sind die Polynomalgebren ${\displaystyle R[X]}$  in einer bzw. ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$  in mehreren Veränderlichen selbst wiederum unitäre Ringe (mit der Polynommultiplikation). Die 1-Pseudonorm ist auf diesen Polynomringen ein Pseudobetrag.

Analog sind die Matrizenalgebren ${\displaystyle R^{n\times n}}$  wiederum unitäre Ringe (hier mit der Matrizenmultiplikation). Hier ist sogar die p-Pseudonorm für jedes reelle p mit ${\displaystyle 1\leq p\leq 2}$  ein Pseudobetrag auf dem Matrizenring.