Kranzprodukt

Sind ${\displaystyle G}$  und ${\displaystyle J}$  Gruppen und operiert ${\displaystyle J}$  auf einer Menge ${\displaystyle Y}$ , so wird dadurch eine Operation von ${\displaystyle J}$  auf ${\displaystyle G^{Y}}$  (der Gruppe aller Abbildungen von ${\displaystyle Y}$  nach ${\displaystyle G}$  mit punktweiser Verknüpfung) induziert durch:

${\displaystyle \forall j\in J,f\in G^{Y}:(^{j}f)(y)=f(^{j^{-1}}y)}$ 

Jedes ${\displaystyle j\in J}$  definiert auf diese Weise einen Automorphismus von ${\displaystyle G^{Y}}$ .

Somit kann das Kranzprodukt ${\displaystyle G\wr _{Y}J}$  als das semidirekte Produkt aus ${\displaystyle G^{Y}}$  und ${\displaystyle J}$  bezüglich ebendieser Operation definiert werden. Manchmal betrachtet man auch das eingeschränkte Kranzprodukt. Dieses erhält man, indem man statt der Gruppe aller Abbildungen von ${\displaystyle Y}$  nach ${\displaystyle G}$  nur die Untergruppe der Abbildungen betrachtet, die fast überall verschwinden.

Aus der Definition lässt sich sofort die Kardinalität von Kranzprodukten ableiten: ${\displaystyle \left|G\wr _{Y}J\right|=\left|G\right|^{\left|Y\right|}\cdot \left|J\right|}$ 

Da jede Gruppe auf sich selbst durch Linksmultiplikation operiert, ist es auch oft so, dass nur das entsprechende Kranzprodukt ${\displaystyle G\wr _{J}J}$  definiert wird. Ebenso üblich ist es, Y als endliche Menge ${\displaystyle \{1,...,n\}}$  festzusetzen und für J nur Untergruppen von Sym(n) mit der kanonischen Operation auf Y zuzulassen.

Operiert G auf einer Menge X, so wird dadurch und durch die Operation von J auf Y eine Operation von ${\displaystyle G\wr _{Y}J}$  auf ${\displaystyle X\times Y}$  induziert:

${\displaystyle \forall (x,y)\in X\times Y,(f,j)\in G\wr _{Y}J:^{(f,j)}(x,y):=(^{f(^{j}y)}x,^{j}y)}$ 

Diese Operation ist genau dann treu/transitiv, wenn die Operationen von G auf X und J auf Y treu/transitiv sind.

Ist H eine Erweiterung von N durch Q, so lässt sich H als eine Untergruppe eines Kranzprodukts aus N und Q darstellen. Dies ist vielleicht eine der wichtigsten Eigenschaften von Kranzprodukten, da jede endliche Gruppe durch Erweiterungen einfacher endlicher Gruppen darstellbar ist.

Gegeben ist also eine exakte Sequenz

${\displaystyle 1\longrightarrow N\longrightarrow ^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iota }\ \,H\longrightarrow ^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\pi }\ \,Q\longrightarrow 1}$ 

Außerdem sei eine Abbildung ${\displaystyle q\colon H\to H}$  gegeben, die ${\displaystyle \forall g\in H:q(g)\iota (N)=g\iota (N)}$  erfüllt und jedem Element einen festen Repräsentanten seiner jeweiligen Nebenklasse zuordnet. Weiterhin muss gelten ${\displaystyle \forall g\in H:q(g^{-1})=q(g)^{-1}}$ . (Ist N unendlich, so ist eine solche Funktion möglicherweise nur mit dem Auswahlaxiom zu finden)

Die Einbettung ${\displaystyle \phi \colon H\hookrightarrow N\wr _{Q}Q}$  (Q operiert auf sich selbst durch Linksmultiplikation) ist dann gegeben durch:

${\displaystyle \phi (h):=(\sigma _{h},\pi (h))\,}$ 

Hierbei ist ${\displaystyle \sigma _{h}\colon Q\to N}$  wie folgt definiert:

${\displaystyle \sigma _{h}(yN):=\iota ^{-1}(q(y^{-1})\cdot h\cdot q(h^{-1}y))}$ 

Diese Einbettung geht zurück auf L. Kaloujnine und M. Krasner.^[1]

Die p-Sylow-Gruppen der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$  lassen sich als iterierte Kranzprodukte zyklischer Gruppen darstellen.

Dazu definiert man rekursiv eine Folge von Gruppen durch ${\displaystyle W_{p,0}:=\{1\}}$  und ${\displaystyle W_{p,n+1}:=W_{p,n}\wr _{\mathbb {Z} _{p}}\mathbb {Z} _{p}}$ , wobei die Operation von ${\displaystyle J=\mathbb {Z} _{p}}$  auf ${\displaystyle Y=\mathbb {Z} _{p}}$  durch Linksmultiplikation gegeben ist.

Stellt man n zur Basis p dar, d. h. als Summe ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{c_{i}p^{i}}}$  mit ${\displaystyle c_{i}\in \{0,...,p-1\}}$ , so sind die p-Sylow-Gruppen von ${\displaystyle S_{n}}$  dann isomorph zu ${\displaystyle \prod _{i=0}^{k}{W_{p,i}^{c_{i}}}}$ 

Die senkrechte Tilde, die für das Kranzprodukt verwendet wird, befindet sich im Unicode-Block Mathematische Operatoren auf Position U+2240^[2], in TeX und LaTeX kann es mit \wreath bzw. \wr dargestellt werden.

• John D. P. Meldrum: Wreath Products of Groups and Semigroups. Chapman & Hall/CRC, 1995, ISBN 978-0-582-02693-3. 

1. ↑ "Produit complet des groupes de permutations et probleme d’extension de groupes", L. Kaloujnine, M. Krasner - I, Acta Sci. Math. Szeged, 1950
2. ↑ Unicode Character 'WREATH PRODUCT' (U+2240), fileformat.info