Jarque-Bera-Test

Die Teststatistik JB des Jarque-Bera-Tests ist definiert als

${\displaystyle {\mathit {JB}}={\frac {n}{6}}\left(S^{2}+{\frac {(K-3)^{2}}{4}}\right).}$ 

Dabei ist ${\displaystyle n}$  Anzahl der Beobachtungen ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ; mit ${\displaystyle S}$  wird die Schiefe und mit ${\displaystyle K}$  die Kurtosis bezeichnet.

Die Schiefe ${\displaystyle S}$  in den Daten ist wie folgt definiert:

${\displaystyle S={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\mu _{3}}{\left(\sigma ^{2}\right)^{3/2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{3}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}}$ 

Bei symmetrischen Verteilungen wie der Normalverteilung ist der theoretische Wert der Schiefe null.

Die Kurtosis ${\displaystyle K}$ , ein Maß für die Wölbung einer Verteilung, hat bei Normalverteilung einen Wert von drei. Werte, die darüber liegen, zeigen an, dass die Verteilung fette Verteilungsenden (siehe Verteilung mit schweren Rändern) hat, d. h., dass die Dichte einer Verteilung an den Rändern, zum Beispiel außerhalb der üblichen ±2σ-Schranken, größer und dafür in den mittleren Bereichen geringer ist als bei der Normalverteilung. Dies gilt zum Beispiel für die t-Verteilung. Die Kurtosis ist wie folgt definiert:

${\displaystyle K={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}={\frac {\mu _{4}}{\left(\sigma ^{2}\right)^{2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{4}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{2}}},}$ 

wobei ${\displaystyle \mu _{3}}$  und ${\displaystyle \mu _{4}}$  das dritte und das vierte zentrale Moment darstellen, ${\displaystyle {\bar {x}}}$  der Mittelwert der Stichprobe ist und ${\displaystyle \sigma ^{2}}$  das zweite Moment, also die Varianz, symbolisiert.

Es gilt ${\displaystyle {\mathit {JB}}\sim \chi _{2}^{2}}$ , d. h., die Teststatistik ${\displaystyle {\mathit {JB}}}$  ist asymptotisch Chi-Quadrat-verteilt mit zwei Freiheitsgraden.

Das Hypothesenpaar lautet:

${\displaystyle H_{0}\colon }$  Die Stichprobe ist normalverteilt.

${\displaystyle H_{1}\colon }$  Die Stichprobe ist nicht normalverteilt.

Bei einem Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha =0{,}10}$  gilt: Für Werte der Teststatistik über 4,6 wird die Hypothese der Normalverteilung verworfen; für die Signifikanzniveaus ${\displaystyle \alpha =0{,}05}$ , ${\displaystyle \alpha =0{,}02}$  und ${\displaystyle \alpha =0{,}01}$  ergeben sich die Schranken 6, 7,8 und 9,2.

• Anil K. Bera, Carlos M. Jarque: Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals. In: Economics Letters. 6. Jahrgang, Nr. 3, 1980, S. 255–259, doi:10.1016/0165-1765(80)90024-5. 
• Anil K. Bera, Carlos M. Jarque: Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals: Monte Carlo evidence. In: Economics Letters. 7. Jahrgang, Nr. 4, 1981, S. 313–318, doi:10.1016/0165-1765(81)90035-5. 
• George Judge, et al.: Introduction and the Theory and Practice of Econometrics. 3rd edn. Auflage. 1988, S. 890–892. 

• Shapiro-Wilk-Test
• Kolmogorow-Smirnow-Test
• statistischer Test