Hodgkin-Huxley-Modell

 

Beim Hodgkin-Huxley-Modell werden die spannungsabhängigen Membranwiderstände für die Ionenströme innerhalb einer Membran mit Memristoren modelliert. Die elektrische Membrankapazität C wird durch einen Kondensator simuliert. Der Gesamtmembranstrom ist die Summe der Kalium-, Natrium- und Leck-Ströme I_K, I_Na und I_L und des externen Stroms I (z. B. ein durch eine externe Elektrode applizierter Strom), der die Membran auflädt. Das Membranpotential U gehorcht dann der Differentialgleichung

${\displaystyle C\cdot {\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}=I-I_{K}-I_{Na}-I_{L}}$ .

Die Ströme I_K, I_Na und I_L ergeben sich als Produkt aus der Differenz der Membranspannung zum jeweiligen Gleichgewichtspotential U_x und der dazugehörigen Leitfähigkeit g_x:

${\displaystyle I_{K}=g_{K}\cdot (U-U_{K})}$ ,

${\displaystyle I_{Na}=g_{Na}\cdot (U-U_{Na})}$  und

${\displaystyle I_{L}=g_{L}\cdot (U-U_{L})}$ .

Als Absolutwerte für die Gleichgewichtspotentiale wurden für Tintenfischneuronen die Werte U_K=-77mV, U_Na=50mV und U_L=-54mV gefunden.

Per Definition ist ein externer Strom (z. B. durch eine Elektrode) als positiver Einwärtsstrom definiert, während ein Membranstrom als positiver Auswärtsstrom gilt. Dies erklärt die Wahl der Vorzeichen.

Die Leitfähigkeiten g_K und g_Na sind zeitabhängig und somit für die Entstehung eines Aktionspotentiales verantwortlich, während die Leck-Leitfähigkeit g_L konstant bleibt, da sich der Widerstand der Membran als unveränderlich annehmen lässt.

Hodgkin und Huxley postulierten Gatingvariablen (engl. Gate: Tor), welche die (probabilistischen) Dynamiken der Ionenkanäle nachbilden. Diese Variablen geben den Anteil der gerade geöffneten Kanäle an. Experimentelle Befunde ließen die Forscher auf drei Gatingvariablen schließen, die sie n, m und h nannten. Zusammen mit der maximalen Leitfähigkeit ${\displaystyle {\hat {g}}_{x}}$  für die Ionensorte ${\displaystyle x}$  pro Einheitsfläche der Membran beschreiben die Gatingvariablen den gerade durch die Einheitsfläche der Membran fließenden Strom:

${\displaystyle I_{K}={\hat {g}}_{K}\cdot n^{4}\cdot (U-U_{K})}$  und

${\displaystyle I_{Na}={\hat {g}}_{Na}\cdot m^{3}\cdot h\cdot (U-U_{Na})}$ 

Die drei Gatingvariablen sind folgenden Dynamiken unterworfen:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} t}}=\alpha _{n}(U)\cdot (1-n)-\beta _{n}(U)\cdot n}$  ,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=\alpha _{m}(U)\cdot (1-m)-\beta _{m}(U)\cdot m}$  ,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} t}}=\alpha _{h}(U)\cdot (1-h)-\beta _{h}(U)\cdot h}$  .

Die Funktionen ${\displaystyle \alpha _{n}(U),\alpha _{m}(U),\alpha _{h}(U),\beta _{n}(U),\beta _{m}(U),\beta _{h}(U)}$  sind jeweils exponentielle Funktionen, deren Parameter wiederum durch Experimente justiert wurden. Das sich ergebende gekoppelte, nichtlineare Differentialgleichungssystem lässt sich im Allgemeinen nicht analytisch, sondern nur durch numerische Näherungsverfahren lösen.

Die postulierten Gatingvariablen haben sich später als echte Struktureigenschaft der spannungsabhängigen Ionenkanäle herausgestellt. Der Natriumkanal hat drei verschiedene Zustände, von denen nur einer Natriumionen hindurchlässt. Er unterliegt einer Aktivierung, die mit der Gatingvariablen m beschrieben wird und einer zeitlich versetzten Inaktivierung, die durch h beschrieben wird. Der Kanal kann sich in drei Zuständen befinden: geschlossen (inaktiv), geschlossen (aktiv), offen (aktiv).

• A. L. Hodgkin, A. F. Huxley: A Quantitative Description of Membrane Current and its Application to Conduction and Excitation in Nerve. In: The Journal of Physiology. Band 117, 1952, S. 500–544, PMID 12991237 (englisch). 

• Simulation des Hodgkin-Huxley Modells in Python