Diskussion:Differenzierbarkeit

Es reicht doch wenn das unter dem Lemma Differentialrechnung steht oder? alles andere sind auch redirects http://de.wikipedia.org/w/wiki.phtml?title=Spezial:Whatlinkshere&target=Differentialrechnung --03:53, 13. Sep 2004 (CEST)

Ich bin nicht der Meinung, dass dies lediglich unter einen Oberbegriff Differenzialrechnung zusammengefasst werden sollte. differenzierbar ist ein stark und eindeutig definierter Begriff, der ebenso prägnant erklärt werden kann und sollte. Fgb 03:59, 13. Sep 2004 (CEST)

Noch ist unter Differentialrechnung genug Platz dies dort zu tun. Es sei denn, Du bist der Meinung einen Artikel mit mehr als 10 kB darüber schreiben zu können. In Enzyklopädien gibt es manchmal auch Querverweise. --Paddy 04:03, 13. Sep 2004 (CEST)

Ich denke schon, dass man für Differenzierbarkeit einen eigenen Artikel rechtfertigen kann - Material gibts genug. Allerdings sollte der unter dem Substantiv stehen, nicht unter dem Adjektiv differenzierbar. Ich schlage daher eine Verschiebung auf Differenzierbarkeit und einen Redirect von differenzierbar vor. Liebe Grüße an beide --mmr 04:06, 13. Sep 2004 (CEST)

Die Differentialrechnung ist ein wesentlich komplexeres Gebiet als die Definition von differenzierbar, und braucht demzufolge auch mehr (derzeit 10 Bildschirm-Seiten) als die hier nötigen 3 Zeilen. Man sollte dem User nicht erst das Suchen der Differenzierbarkeits-Definition in diesem langen Artikel aufbürden, wenn es nicht notwendig ist. Fgb 04:07, 13. Sep 2004 (CEST)

Mit einer Verschiebung auf Differenzierbarkeit habe ich kein Problem. :-) Fgb 04:07, 13. Sep 2004 (CEST)

Prima, dann mach' ich das doch einfach mal. Grüße --mmr 04:11, 13. Sep 2004 (CEST)

Und bitte einen Artikel vorlegen, der länger ist als der Abschnitt in Differentialrechnung sonst hat die Aktion wenig Sinn gehabt ;-) Ich persönlich kann zwar mit drei vollständigen Sätzen leben aber wäre es nicht sinnvoll den Artikel erst in Differentialrechnung auszubauen und dann hier anzulegen? Der Artikel befindet sich im Zustand eines schlechten Stubs. --Paddy 04:16, 13. Sep 2004 (CEST)

So, ich hab' mal ein bisschen was geschrieben, habe aber grundsätzlich kein größeres Interesse daran, selber den Artikel auszubauen. Ich habe aber hoffentlich im Text klargemacht, dass der Artikel Potenzial hat und in welche Richtungen man ihn zum Beispiel ausbauen kann. Auch interessant wäre noch, welche Bedingungen eine Funktion erfüllen muss, damit sie (reell-)differenzierbar ist, was es bedeutet, wenn eine Funktion nicht differenzierbar ist, wie sich Differenzierbarkeit "vererbt" (Summe, Produkt, Verkettung, etc. differenzierbarer Funktionen ist differenzierbar), ein bisschen zur Geschichte (formelle Differenzierbarkeitsdefinition kommt, wenn ich mich nicht täusche, von Weierstraß) etc. Sollte mit ein bisschen ausführlicherer Erläuterung des jetzigen Inhalts (was ist ein Grenzwert) eigentlich genug Material für einen exzellenten Artikel zum Thema ergeben... ;-) --mmr 04:50, 13. Sep 2004 (CEST)

Moment Verkettungen differenzierbarer Funktionen sind differenzierbar? Ist nicht sqrt(x^2) in der 0 nicht diffbar? (nicht signierter Beitrag von 141.23.90.245 (Diskussion) 13:39 Uhr, 24. August 2016)

Das ist keine Verkettung differenzierbarer Funktionen, weil die Wurzelfunktion ${\displaystyle t\to {\sqrt {t}}}$  an der Stelle t=0 keine Ableitung hat. --Franz 14:00, 24. Aug. 2016 (CEST)Beantworten

hab leider nur mathe kenntnisse, aber keine in TeX...

wär nett wenn sich jemand fände! (nicht signierter Beitrag von 192.35.241.134 (Diskussion) 23:13, 1. Mär. 2005)

"Dabei sollte man beachten, dass die Differenzierbarkeit nur eine hinreichende Bedingung zur Stetigkeit darstellt!" das ist so, aber warum 'nur' und warum um alles in der welt soll man das beachten? anders herum hätte es mehr sinn: stetigkeit ist notwendig für diff'barkeit aber eben nicht ausreichend, bsp: |x| ist stetig, aber nicht diff'bar in 0. steht aber auch schon im artikel. ich vermute, dass der autor etwas anderes ausdrücken wollte und bitte ihn um korrektur des satzes oder um korrektur meiner gedanken ;-). --130.149.156.17 22:18, 25. Jan 2006 (CET)

Ich habe den o.g. Satz entfernt, da 1. "nur" zusammen mit "hinreichend" sinnlos ist und 2. dass aus Differenzierbarkeit Stetigkeit folgt steht sowohl im vorgangehenden als auch im nachfolgenden Satz. (nicht signierter Beitrag von 212.89.134.60 (Diskussion) 19:32, 7. Feb. 2006)

in beiden Definitionen stand, dass f differenzierbar ist FALLS die Kriterien zutreffen. Das ist logisch gesehen also nur eine Implikation von dem Kriterium auf Differenzierbarkeit. Wichtig ist aber auch die Rückrichtung und die gilt für beide Kriterien, da die Aussagen äquivalent sind. Ich habe "falls" durch "genau dann, wenn" ersetzt und hoffe, dass das in eurem Sinne ist. __ Max-Mütze 20:45, 14. Jan. 2007 (CET)Beantworten

Bei einer Definition versteht es sich von selbst, dass mit "falls" ein "genau dann wenn" gemeint ist. --Digamma 18:09, 16. Jan. 2008 (CET)Beantworten

"Differentialrechnung" oder "Differenzialrechnung". Ich ziehe die bisherige Schreibweise vor und pfeife auf die Rechtschreibreform. Aber es gibt auch ein Argument für die neue Schreibweise: Vor einer früheren Rechtschreibreform schrieb man "differentiierbar". Sollte man nicht konsequent sein? --Hanfried.lenz 18:58, 28. Aug. 2007 (CEST).Beantworten

Da ist ein Fehler bei der Definition für den Mehrdimensionalen Fall: Es heißt: f(x+h)=f(h)+A(h)+Fehlerterm Es müsste aber heißen f(x+h)=f(x)+A(h)+Fehlerterm Habe leider keinerlei Erfahrung mit Wikipedia - vielleicht kann Jemand anders das korrigieren.

Hat wohl schon jemand erledigt. --Scholten 14:05, 7. Jul. 2009 (CEST)Beantworten

das beispiel in "Differenzierbarkeit und Stetigkeit" verstehe ich nicht. für x=0 ist doch f(x)=0, wieso ist dann x^2*sin(1/x) auch gleich 0?? wieso ist das daneben abgebildete bild nicht die beschriebene funktion? nett vom autor zu helfen, aber das ging nach hinten los. 88.70.63.204 11:21, 26. Jan. 2008 (CET)Beantworten

Man sollte entweder vermerken, dass der Grenzwert für alle Folgen eindeutig sein soll. Äquivalent dazu wäre aber - und das finde ich persönlich schöner -, dass der Differenzenquotient eine stetige Funktion in x_0 ist.

MfG Konstantin

In diesem Abschnitt vermisse ich einseitige Differenzierbarkeit. Wenn ich mich nicht irre, braucht man diese z. B. bei Randwertaufgaben mit Randbedingungen zweiter und/oder dritter Art. Wie man Differenzierbarkeit am Rand des Definitionsbereichs der Funktion präzise definiert, ist mir leider entfallen. Ich weiß nur, daß es nichttrivial war. Herzliche Grüße, Gandalf Mithrandir 16:54, 3. Dez. 2008 (CET)Beantworten

Wahrscheinlich habe ich das mit einer einseitigen Lipschitz-Bedingung verwechselt – errare humanum est. Aber dafür sind ja Diskussionsseiten da, damit man alles klärt, bevor ein Artikel verschlimmbessert wird. Gruß, Gandalf Mithrandir 11:05, 4. Dez. 2008 (CET)Beantworten

im Artikel ist die Notlösung im Moment diese, dass nur Linearität und Approximation beim Satzteil "linear approximieren" verlinkt sind.

der englische Artikel: http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_approximation --demus_wiesbaden 13:28, 1. Dez. 2009 (CET)Beantworten

Ich muss sagen: Mir ist irgendwie nicht klar, wo der Artikel hinsoll und was ihn, wenn er denn fertig ist, von Differentialrechnung abheben soll? Viele Grüße --P. Birken 09:35, 31. Mai 2010 (CEST)Beantworten

Der Artikel soll nicht viel weiter. Der Artikel Differentialrechnung beschäftigt sich neben der Geschichte und der Motivation vor allem mit der Ableitung, d.h., was ist diese, welche Rechenregeln gibt es dafür, Anwendungen (z.B. Bestimmung von Minima und Maxima), Beispiel, in denen die Gültigkeit der Definition und die Berechnung von Ableitungen mit Hilfe der Definition und der Regeln hergeleitet werden, grundlegende Sätze (Fundamentalsatz, Taylor). Auch bei Verallgemeinerungen geht es vor allem darum: was ist die Ableitung? Wozu dient sie?

Hier geht es nur darum: Wann und in welchem Sinn ist eine Funktion/Abbildung differenzierbar? Welche unterschiedlichen Begriffe von "differenzierbar" gibt es? wie hängen diese zusammen? wie lassen sie sich gegeneinander abgrenzen? Die Beispiele dienen dazu, die Unterschiede zwischen den verschiedenen Arten der Differenzierbarkeit zu verdeutlichen. Es geht hier nicht um das Rechnen mit Ableitungen (im Fall der Mannigfaltigkeiten wird noch nicht einmal gesagt, was die Ableitung ist) und auch nicht um deren Anwendung. --Digamma 10:07, 31. Mai 2010 (CEST)Beantworten

Hi. Bin leider Wiki-Neuling, aber mir ist folgendes aufgefallen:

Es sei zunächst k(x)=2 eine konstante Funktion. Die ist überall stetig und differenzierbar. Also muss auch der Grenzwert des Differenzenquotienten überall existieren. Er ist =0 ( und gleich der Ableitung k'(x)=0 ).

Es sei nun f(x) eine abschnittsweise definierte konstante Funktion f(x)=2 für x=<1 und f(x)=3 für x>1.

Der linksseitige Differenzialquotient für die Sprungstelle sollte so vvv aussehen und wieder Null ergeben: (Sorry, bin auch Tex-Neuling)

lim x->1,x=<1 ( f(x)-f(1) ) / (x-1) = lim x->1,x=<1 ( f(x)-2 ) / (x-1) = 0

Der rechtsseitige Diffquotient für den zweiten Abschnitt x>1, ebenfalls =0:

lim x->1,x>1 ( f(x)-f(1) ) / (x-1) = lim x->1,x>1 ( f(x)-3 ) / (x-1) = 0

Damit sind beide Grenzwerte gleich (=0) und damit existiert ein beidseitiger GW:

lim x->1 ( f(x)-f(1) ) / (x-1) = 0

Damit ist laut der "2. Definition" f(x) an der Stelle x=1 differenzierbar.

Klarerweise ist f(x) aber nicht stetig bei x=1.

Zitat bei den Erläuterungen: "Aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit."

habe ich einen Fehler gefunden oder ist das nur ein Verständnisproblem meinerseits?

Ciao, J. (nicht signierter Beitrag von 193.175.141.43 (Diskussion) 23:57, 27. Sep. 2011 (CEST)) Beantworten

Hallo J.! Die von Dir angegebene abschnittsweise definierte Funktion f ist an der Stelle 1 weder stetig noch unstetig und hat dort auch weder die Eigenschaft der Differenzierbarkeit noch hat sie sie nicht. Denn beide Eigenschaften kommen einer Funktion grundsätzlich nur an Stellen ihres Definitionsbereiches zu oder nicht zu. Es ist etwa so, als ob man (um ein außermathematisches Beispiel zu bemühen) fragte, ob der Mond gut oder böse sei: Er ist weder das eine noch das andere. Bei Deinen links- und rechtsseitigen Differenzenquotienten tritt außerdem der undefinierte Term f(1) auf, sodaß schon diese (einseitigen) Differenzenquotienten gar nicht existieren (und daher erst Recht nicht deren Grenzwerte). Es gibt eigentlich nicht einmal „die Stelle 1“ für Deine Funktion f, weil 1 kein Element ihrer Definitionsmenge ist (man kann ja auch z. B. genausowenig sinnvollerweise von „der Stelle Das Ulmer Münster“ dieser Funktion f sprechen). Liebe Grüße, Franz 02:57, 28. Sep. 2011 (CEST)Beantworten

Hallo Franz, deine Erklärung ist nicht korrekt. Die von J. angegebene Funktion ist an der Stelle 1 definiert und hat dort den Wert 2.

Hallo Ϝϝ&J.! Ja, das Gleichheitszeichen habe ich doch tatsächlich übersehen. Es lag sicherlich an der (doch ziemlich ungewöhnlichen) Schreibweise x=<1, bei der einem der Teilausdruck <1 in die Augen springt. Das soll und kann aber meine Nachlässigeit nicht rechtfertigen. Sorry, falls ich damit für unnötige Verwirrung gesorgt habe! Liebe Grüße, Franz 23:24, 11. Dez. 2011 (CET)Beantworten

Hallo J., dein Fehler liegt in der Berechnung des rechtsseitigen Differentialquotienten. Der Funktionswert an der Stelle 1 ist nämlich 2 (so hast du die Funktion definiert), nicht 3. Also f(1) = 2. Dann hat der Zähler im rechtsseitigen Differenzenquotient den Wert 1 (nicht 0) und der Differenzenquotien 1 /(x-1) geht gegen unendlich wenn x von rechts gegen 1 geht. --Digamma 20:38, 11. Dez. 2011 (CET)Beantworten

Hallo, im Abschnitt zur totalen Differenzierbarkeit findet sich dieses hier:

Die Funktion ${\displaystyle f}$  heißt total differenzierbar im Punkt ${\displaystyle a}$ , falls eine lineare Abbildung ${\displaystyle L\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$  und eine Funktion ${\displaystyle r}$  existieren, so dass sich ${\displaystyle f}$  bis auf den Fehler ${\displaystyle r}$  durch ${\displaystyle L}$  approximieren lässt, ${\displaystyle f(a+v)=f(a)+Lv+r(v),}$  und ${\displaystyle r}$  von höherer als erster Ordnung gegen 0 geht, das heißt ${\displaystyle {\tfrac {r(v)}{|v|}}\to 0}$  für ${\displaystyle |v|\to 0}$ .

Sollte nicht eventuell darauf hingewiesen werden, dass die Funktion ${\displaystyle f}$  in diesem Fall wohl von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$  geht? Denn sonst müßte doch die Funktion ${\displaystyle L}$  von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  nach z.B. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$  gehen, wenn ${\displaystyle f}$  auch nach ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$  ging. Oder sehe ich da was falsch? --77.182.63.168 18:00, 20. Feb. 2012 (CET)Beantworten

Achja: Und sollte die Formel nicht eigentlich lauten: ${\displaystyle f(a+v)=f(a)+L(a)v+r(v)}$  --77.182.63.168 18:03, 20. Feb. 2012 (CET)Beantworten

Ganz oben im Abschnitt "Reellwertige Funktionen mehrerer Variablen" steht:

Für Funktionen mehrerer Veränderlicher, also Funktionen, die auf offenen Teilmengen des euklidischen Raums definiert sind, gibt es mehrere verschieden starke Begriffe der Differenzierbarkeit.

Im Folgenden sei ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$  eine offene Menge. Die Elemente des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  können als ${\displaystyle n}$ -Tupel ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$  geschrieben werden.

Weiter sei eine Funktion ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$  gegeben. Wir betrachten einen festen Punkt ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in U}$  und betrachten Differenzierbarkeit im Punkt ${\displaystyle a}$ .

Soll man dieses Setting nochmals in jedem Unterabschnitt wiederholen? Vektorwertige Funktionen werden im nächsten Abschnitt "Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen" betrachtet.

Da der Punkt a fest gegeben ist, darf L natürlich von a abhängen. Es ist aber nicht üblich, an dieser Stelle die Abhängigkeit von a explizit zu machen, da die Schreibweise "L" sowieso nur provisorisch ist (die Abbildung wird ja dann als Df(a) oder ähnlich) bezeichnet. --Digamma 18:29, 20. Feb. 2012 (CET)Beantworten

Die Differenzierbarkeit gehört zu den Problemstellungen der Differentialrechnung, eines Teilgebiets der Analysis.

Müsste man nicht Dativ benutzen?--Explosivo (Diskussion) 16:53, 20. Jun. 2012 (CEST)Beantworten

Hallo, Explosivo!

Nein, denn es handelt sich ja um keine nähere Beschreibung des Begriffes „Problemstellung“ (der im Dativ steht), sondern des Begriffes „Differentialrechnung“ (der im Genitiv steht). Vielleicht hilft Dir die folgende Verkürzung auf hier Wesentliches zum Verständnis(?):

Sie gehört zu den Problemstellungen eines Teilgebiets.

Aber: Eine Eigenschaft ist keine Problemstellung (was ich soeben ausgebessert habe)!

Liebe Grüße, Franz (Diskussion) 17:29, 20. Jun. 2012 (CEST)Beantworten

Ich fände es schön, wenn noch erläutert werden würde, warum man offene Definitionsbereiche benötigt. Liegt das daran, dass man sich sonst eventell für einen Punkt aus dem Definitionsbereich bei der Grenzwertbetrachtung nur von einer Seite nähern könnte? (nicht signierter Beitrag von 79.206.153.196 (Diskussion) 16:49, 23. Jun. 2016 (CEST))Beantworten

Man braucht keine offenen Definitionsbereiche, um Differenzierbarkeit zu definieren. Im 1-Dimensionalen spricht gar nichts dagegen, abgeschlossene Intervalle zuzulassen. Es wird mit offenen Mengen nur im Allgemeinen wesentlich einfacher. Für manche Sätze braucht man, dass die Definitionsbereiche offen sind. Bei manchen braucht man Bedingungen an die Definitionsmenge, die in der allgemeinen Formulierung sehr kompliziert sein können, aber bei offenen Definitionsbereichen trivialerweise erfüllt sind.

Zum Beispiel fordert Barner-Flohr, Analysis I bei der Definition der Differenzierbarkeit einer Funktion einer Variablen im Punkt a nur, dass a Häufungspunkt der Definitionsmenge ist (S. 252).

Grauert - Lieb: Differential- und Integralrechnung I Kapitel V setzt sogenannte "zulässige" Mengen voraus, die in Definition 1.1 durch "Eine Teilmenge ${\displaystyle M}$  von ${\displaystyle \mathbb {R} }$  heißt zulässig, wenn jeder Punkt ${\displaystyle x\in M}$  Häufungspunkt von ${\displaystyle M}$  ist" definiert werden.

Im Mehrdimensionalen schreiben Grauert - Fischer in Differential- und Integralrechnung II, Kapitel III, S. 49: "Wie bei einer Variablen kann man auch hier die Differentiation nur dann sinnvoll erklären, wenn man nur „vernünftige“ Definitionsbereiche zuläßt. Dabei sollen jedenfalls offene Mengen zulässig sein." Was eine zulässige Menge sein soll, wird in Definition 1.1 definiert:

Eine Teilmenge ${\displaystyle M}$  des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  heißt zulässig, wenn für jeden Punkt ${\displaystyle {\mathfrak {x}}_{0}=(x_{1}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)})}$  von ${\displaystyle M}$  folgendes gilt: Sind ${\displaystyle \Delta _{1},\dots ,\Delta _{n}}$  auf ${\displaystyle M}$  definierte reelle Funktionen, die in ${\displaystyle {\mathfrak {x}}_{0}}$  stetig sind und

${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}(x_{\nu }-x_{\nu }^{(0)})\Delta _{\nu }({\mathfrak {x}})\equiv 0}$ 

in ${\displaystyle M}$  erfüllen, so ist ${\displaystyle \Delta _{\nu }({\mathfrak {x}}_{0})=0}$  für ${\displaystyle \nu =1,\dots ,n}$ .

Etwas einfacher ist die folgende Definition 1.2.

${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$  heißt voll zulässig, wenn jeder Punkt ${\displaystyle {\mathfrak {x}}_{0}\in M}$  Häufungspunkt jeder der Mengen ${\displaystyle M\cap G_{\nu }({\mathfrak {x}}_{0})}$  ist (${\displaystyle \nu =1,\dots ,n}$ ).

Hierbei ist ${\displaystyle G_{\nu }({\mathfrak {x}}_{0})}$  die zur ${\displaystyle x_{\nu }}$ -Achse parallele Gerade durch ${\displaystyle {\mathfrak {x}}_{0}}$ .

Satz 1.1 sagt dann: Eine voll zulässige Menge ist zulässig.

So kompliziert wird es also, wenn man allgemeinere als offene Definitionsmengen zulässt, aber es ist möglich. --Digamma (Diskussion) 19:06, 23. Jun. 2016 (CEST)Beantworten

Vielen Dank für diese Ausführungen! (nicht signierter Beitrag von 84.57.12.239 (Diskussion) 16:06, 25. Jun. 2016 (CEST))Beantworten

Im Abschnitt "Beispiele für differenzierbare Funktionen" heißt es: "... Quotienten von differenzierbaren Funktionen sind differenzierbar.". Ist das so? Ich halte die Funktionen "1" und "x" für differenzierbar. Allerdings halte ich ihren Quotienten "1/x" für nicht differenzierbar bei x=0. Was verstehe ich falsch? --Murphee (Diskussion) 18:56, 19. Okt. 2016 (CEST)Beantworten

Die Funktion f(x) = 1/x ist an der Stell 0 nicht definiert. Aber überall, wo sie definiert ist, ist auch differenzierbar. Über Differenzierbarkeit der Funktion an einer Stelle zu sprechen, wo sie nicht definiert ist, macht gar keinen Sinn. Auch nicht, zu sagen, sie sei dort nicht differenzierbar. --Digamma (Diskussion) 19:47, 19. Okt. 2016 (CEST)Beantworten

Die zum Abschnitt "Total differenzierbar, aber nicht stetig partiell differenzierbar" gehörende Abbildung der Funktion f_6 ist falsch. Zum einen "rauscht" die Funktion für größere Abstände vom Ursprung, zum anderen stimmen die Werte nicht. Beispiel: Am Punkt (x,y)=(5,5) ist f_6(5,5) = 0.999933... In der Abbildung liest man aber ungefähr 1.7*10^{-2} ab.

Die Abbildung wurde von MartinThoma mit Tikz in Latex erstellt. Es existiert auch ein Repository, das diese Abbildung unter /LaTeX-examples/tikz/3d-function-8/ enthält. Ich besitze jedoch nicht genügend Tikzkenntnisse, um den Fehler zu beheben.

Falls die Abbildung nicht von einer anderen Person berichtigt wird, werde ich eine richtige Version hochladen, welche dann aber vom Aussehen nicht mehr konsistent zu den anderen Abbildungen sein wird. (nicht signierter Beitrag von Stromumkehrer (Diskussion | Beiträge) 11:07, 8. Jul. 2021 (CEST))Beantworten