Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen

Ungleichungen sind ein wesentliches Hilfsmittel um zentrale Aussage in der Funktionentheorie zu zeigen. Da ${\displaystyle \mathbb {C} }$ keine vollständige/totale Ordnung besitzt, muss man für Abschätzungen auf den Betrag der Funktionen übergehen.

Sei ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {C} }$ stückweise stetig, dann gilt:^[1]

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(t)\,dt\right|\leq \int _{a}^{b}|f(t)|\,dt}$

Sei ${\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {C} }$ ein Integrationsweg und ${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {C} }$ auf der Spur von ${\displaystyle \gamma }$ stetige Funktion (${\displaystyle Spur(\gamma ):=\{\gamma (t)\,:\,t\in [a,b]\}\subset U}$). Dann gilt:

${\displaystyle \left|\int _{\gamma }f(z)\,dz\right|\leq \max _{z\in Spur(\gamma )}|f(z)|\cdot L(\gamma )}$

Dabei ist ${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\,dt}$ die Länge des Integrals.

• rektifizierbare Kurve

1. ↑ Funktionentheorie, Fischer, W., Lieb, W. (1988) Vieweg, S. 37

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