Kreise am Dreieck

Wenn in der Geometrie von Kreisen am Dreieck die Rede ist, sind in erster Linie die folgenden Kreise gemeint, die schon in der Antike von griechischen Mathematikern untersucht wurden:

Umkreis

Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis, der durch alle drei Ecken des gegebenen Dreiecks geht. Sein Mittelpunkt ist von den drei Ecken gleich weit entfernt und liegt daher auf allen drei Mittelsenkrechten (Streckensymmetralen).

Inkreis

Der Inkreis eines Dreiecks ist der Kreis, der alle drei Seiten des gegebenen Dreiecks im Inneren berührt, also der größte Kreis, der im Inneren des Dreiecks liegt. Der Mittelpunkt des Inkreises hat zu allen drei Seiten den gleichen Abstand und liegt folglich auf allen drei Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) der Innenwinkel.

Ankreis

Ganz ähnlich definiert wie der Inkreis sind die drei Ankreise, die jeweils das Innere einer Dreiecksseite und die Verlängerungen der beiden anderen Seiten berühren. Ihre Mittelpunkte ergeben sich dadurch, dass man jeweils die Winkelhalbierende eines Innenwinkels mit den Winkelhalbierenden der nicht anliegenden Außenwinkel schneidet.

Feuerbachkreis

Ein weiterer Kreis mit interessanten Eigenschaften, die erst in der Neuzeit entdeckt wurden, ist der Feuerbach-Kreis, benannt nach Karl Wilhelm Feuerbach. Er wird auch als Neun-Punkte-Kreis bezeichnet, da auf ihm die drei Seitenmittelpunkte, die drei Fußpunkte der Dreieckshöhen und die drei Mittelpunkte der „oberen Höhenabschnitte“ (zwischen dem Höhenschnittpunkt und den Ecken) liegen. Der Mittelpunkt des Feuerbach-Kreises liegt auf der sogenannten eulerschen Geraden, die durch den Umkreismittelpunkt, den Höhenschnittpunkt und den Schwerpunkt geht. Der Radius des Feuerbachkreises ist halb so groß wie der Umkreisradius. Außerdem berührt der Feuerbach-Kreis den Inkreis und die drei Ankreise.