Sammensat funktion

Der er ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Begrundelsen kan findes på diskussionssiden eller i artikelhistorikken. Du kan hjælpe ved at angive kilder til de påstande, der fremføres. Hvis ikke der tilføjes kilder, vil artiklen muligvis blive slettet (september 2011) (Lær hvordan og hvornår man kan fjerne denne skabelonbesked)

En sammensat funktion er en matematisk funktion som er dannet ved at lade en den afhængige værdi af én funktion indgå som den uafhængige variabel i en anden funktion. Tilsammen udgør denne sammenstilling én "ny" funktion, som siges at være sammensat af de to oprindelige funktioner. Funktionen ${\displaystyle h}$ siges at være sammensat af funktionerne ${\displaystyle f}$ og ${\displaystyle g}$ (i nævnte rækkefølge), hvis

${\displaystyle h(x)=f(g(x))}$

Ovenstående eksempel kan også skrives som ${\displaystyle h(x)=f(g(x))=(f\circ g)(x)}$ – det der står efter sidste lighedstegn, læses som f bolle g af x.

I midten af det 20. århundrede mente nogle matematikere dog at det er forvirrende, at den funktion man først bruger, står sidst i ovenstående skrivemåde. De forsøgte at introducere en notation hvor ${\displaystyle f(x)}$ skulle skrives som ${\displaystyle xf}$, og ${\displaystyle f(g(x))}$ som ${\displaystyle xgf}$. Denne skrivemåde vandt aldrig nogen udbredelse, og ses i dag kun enkelte steder i ældre litteratur om emnet.

En funktion kan også være sammensat af to eller flere "eksemplarer" af den samme funktion, f.eks.

${\displaystyle g(x)=f(f(x))=(f\circ f)(x)}$

Til den type sammensatte funktioner har man en særlig skrivemåde, nemlig

${\displaystyle g(x)=f(f(x))=(f\circ f)(x)=f^{2}(x)}$

Udtrykket efter det sidste lighedstegn læses som f i anden af x. Tilsvarende har man

${\displaystyle g(x)=f(f(f(x)))=(f\circ f\circ f)(x)=f^{3}(x)}$

${\displaystyle g(x)=f(f(f(f(x))))=(f\circ f\circ f\circ f)(x)=f^{4}(x)}$

og så videre. Notationen harmonerer godt med skrivemåden ${\displaystyle f^{-1}}$ for den inverse funktion.

Denne potensskrivemåde må ikke forveksles med den notation man indimellem ser anvendt på de trigonometriske funktioner sinus og cosinus, hvor der skrives ${\displaystyle \sin ^{2}x}$ og ${\displaystyle \cos ^{2}x}$ i stedet for de mere entydige skrivemåder hhv. ${\displaystyle (\sin x)^{2}}$ og ${\displaystyle (\cos x)^{2}}$.

Hvis begge funktionerne ${\displaystyle f}$ og ${\displaystyle g}$ er beskrevet ved deres forskrifter; regneudtryk der bestemmer funktionens værdi for et givent tal ${\displaystyle x}$, kan man bestemme forskriften for hele den sammensatte funktion ${\displaystyle (f\circ g)(x)}$ ved at tage forskriften for ${\displaystyle g}$, og sætte den ind i stedet for det uafhængige ${\displaystyle x}$ i forskriften for ${\displaystyle f}$.

Indenfor differentialregningen har man ofte brug for at "dele" en funktion med en kompliceret forskrift op i flere funktioner med simplere forskrifter: Kender man differentialkvotienten til disse "bestanddele", kan man nemlig beregne forskriften for den "komplicerede" funktions differentialkvotient efter denne formel:

${\displaystyle (f\circ g)^{\prime }(x)=(f(g(x)))^{\prime }=g^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }(g(x))}$