Arwynebedd

Mae'r canlynol yn enghreifftiau o unedau arwynebedd:

metr sgwâr = System Ryngwladol o Unedau

ar = 100 metr sgwâr

hectar = 10,000 metr sgwâr

cilomedr sgwâr = 1,000,000 metr sgwâr

megametr sgwâr = 10¹² metr sgwâr

Unedau traddodiadol "Ymerodol", fel y'i diffinnir eisoes o'r metr:

troedfedd sgwâr = 0.09290304 metr sgwâr

llathen sgwâr = 9 troedfedd sgwâr = 0.83612736 metr sgwâr

erw = 43,560 troedfedd sgwâr = 4046.8564224 metr sgwâr

milltir sgwâr = 640 erw = 2.5899881103 cilomedr sgwâr

• Sgwâr neu betryal: h w (lle h yw'r hyd, ac w yw'r lled; mewn achos sgwâr, mae h = w).
• Cylch: ${\displaystyle \pi r^{2}}$  (lle r yw'r radiws)
• Hirgrwn: ${\displaystyle \pi ab}$  (lle a a b yw'r echelinau lled-fwyaf a lled-leiaf)
• Unrhyw bolygon rheolaidd: ${\displaystyle {\frac {Pa}{2}}}$  (lle mae P = hyd y perimedr, ac a yw hyd apothem y polygon [y pellter o ganolbwynt y polygon i ganolbwynt un o'r ymylon])
• Paralelogram: ${\displaystyle Su}$  (Y sail S yw hyd rhyw ymyl, a'r uchder u yw'r pellter rhwng y llinellau sy'n cynnwys yr ymylon sydd â hyd S)
• Trapesoid: ${\displaystyle {\frac {(B+b)u}{2}}}$  (hydoedd yr ymylon paralel yw B a b, ac u yw'r pellter rhwng y llinellau sy'n cynnwys yr ymylon paralel)
• Triongl: ${\displaystyle {\frac {Su}{2}}}$  (lle mae S yn unrhyw ymyl, ac u yw'r pellter rhwng y llinell sy'n cynnwys S i gornel arall y triongl). Gellir defnyddio'r fforwla hwn os wybyddir yr uchder u. Os gwybyddir hyd y tri ymyl, yna gellir defnyddio'r fformwla canlynol: ${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$  (lle a, b, c yw hydoedd yr ymylon, ac ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$  yw hanner hyd ei berimedr)
• Mae'r arwynebedd rhwng graff dwy ffwythiant yn hafal i integreiddad un o ffwythiannau f(x), tynnu integreiddiad y ffwythiant arall, g(x).
• Yr arwynebedd a amgylchynir gan ffwythiant r = r(θ) â mynegwyd cyfesurynnau polar yw ${\displaystyle {1 \over 2}\int _{0}^{2\pi }r^{2}\,d\theta }$ .
• Rhoddir yr arwynebedd a amgylchynir gan gromlin barametraidd ${\displaystyle {\vec {u}}(t)=(x(t),y(t))}$  â diweddbwyntiau ${\displaystyle {\vec {u}}(t_{0})={\vec {u}}(t_{1})}$  gan integreiddiad llwybr

${\displaystyle \oint _{t_{0}}^{t_{1}}x{\dot {y}}\,dt=-\oint _{t_{0}}^{t_{1}}y{\dot {x}}\,dt={1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\,dt}$ 

neu cyfernod-z

${\displaystyle {1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {u}}\times {\dot {\vec {u}}}\,dt}$ 

• Ciwb: ${\displaystyle 6h^{2}}$ , lle h yw hyd unrhyw ymyl
• Bocs petryalog: ${\displaystyle 2(hw+hu+wu)}$ , lle dynoda h, w, ac u hyd, lled, ac uchder y bocs
• Sffêr: ${\displaystyle 4\pi r^{2}}$ , π yw gymhareb hyd cylchyn a diamedr cylch, 3.14159..., ac r yw radiws y sffêr
• Sylindr: ${\displaystyle 2\pi r(u+r)}$ , lle r yw radiws y sail, ac u yw'r uchder
• Côn: ${\displaystyle \pi r(r+{\sqrt {r^{2}+u^{2}}})}$ , lle r yw radiws y sail, ac u yw'r uchder.

Dull o ddiffinio'r hyn a olygir wrth "arwynebedd" yw trwy wirebau. Gellir diffinio "arwynebedd" fel ffwythiant o gasgliad M o fathau arbennig o ffigurau plân (a elwir yn setiau mesuradwy) i'r set o rifau real, sy'n bodloni'r priodweddau canlynol:^[12]

• Ar gyfer pob S yn M, a(S) ≥ 0.
• Os yw S a T yn M yna mae S ∪ T a S ∩ T, a hefyd a(S∪T) = a(S) + a (T) - mae (S∩T).
• Os yw S a T yn M gyda S ⊆ T yna mae T - S yn M ac a( T-S ) = a(T) - a(S).
• Os yw set S yn M ac S yn gyfath â T yna mae T hefyd yn M ac a(S) = a(T).
• Mae pob petryal R yn M. Os oes gan y petryal hyd h a lled o k yna a(R) = hk.
• Gadewch i Q fod yn set wedi'i hamgáu rhwng dau ranbarth S a T. Mae rhanbarth cam (step region) yn cael ei ffurfio o undeb meidraidd o betryalau cyfagos sy'n gorffwys ar sylfaen gyffredin, h.y. S ⊆ Q ⊆ T. Os oes rhif unigryw c fel bod a(S) ≤ c ≤ a(T) ar gyfer pob rhanbarth cam S a T o'r math hwn, yna a(Q) = c.

Gellir profi, felly, bod ffwythiant arwynebedd o'r fath yn bodoli.^[13]

 

Mae gan bob uned o hyd uned arwynebedd gyfatebol, sef arwynebedd sgwâr â'r hyd ochr penodol, fel y dywedwyd ar ddechrau'r erthygl hon. Felly gellir mesur arwynebedd mewn metrau sgwâr (m²), centimetrau sgwâr (cm² ), milimetrau sgwâr (mm² ), cilometrau sgwâr (km² ), troedfeddi sgwâr (tr² ), milltiroedd sgwâr (mi²), ac ati.^[14] Yn algebraaidd, gellir meddwl am yr unedau hyn fel sgwariau'r unedau hyd cyfatebol.

Uned arwynebedd SI yw'r 'fetr sgwâr', sy'n cael ei ystyried yn uned sy'n deillio o SI.^[15]

 

Byddai cyfrifo arwynebedd sgwâr y mae ei hyd a'i led yn 1 fetr fel a ganlyn:

1 metr × 1 metr = 1 m²

ac felly, byddai gan betryal â gwahanol ochrau (dyweder hyd 3 metr a lled 2 fetr) arwynebedd mewn unedau sgwâr y gellir ei gyfrif fel:

3 metr × 2 fetr = 6 m ² . Mae hyn gyfwerth â 6 miliwn milimetr sgwâr. Ymhlith y trawsnewidadau ymarferol eraill y mae:

• 1 cilomedr sgwâr = 1,000,000 metr sgwâr
• 1 metr sgwâr = 10,000 centimetr sgwâr = 1,000,000 milimetr sgwâr
• 1 centimetr sgwâr = 100 milimetr sgwâr.

Mewn unedau nad ydynt yn fetrig, y trawsnewid rhwng dwy uned sgwâr yw sgwâr y trawsnewid rhwng yr unedau hyd cyfatebol.

1 troedfedd = 12 modfedd,

ac mae'r berthynas rhwng troedfeddi sgwâr a modfeddi sgwâr yn

1 troedfedd sgwâr = 144 modfedd sgwâr,

lle mae 144 = 12² = 12 × 12. Yn yr un modd:

• 1 llathen sgwâr = 9 troedfedd sgwâr
• 1 filltir sgwâr = 3,097,600 llath sgwâr = 27,878,400 troedfedd sgwâr

Yn ogystal, mae ffactorau trawsnewidiad eraill yn cynnwys:

• 1 fodfedd sgwâr = 6.4516 centimetr sgwâr
• 1 troedfedd sgwâr = 0.092903 04 metr sgwâr
• 1 llathen sgwâr = 0.836127 36 metr sgwâr
• 1 filltir sgwâr = 2.589988 110 336 cilomedr sgwâr

Mae yna sawl uned gyffredin arall ar gyfer arwynebedd. Yr âr oedd yr uned wreiddiol o ran arwynebedd yn y system fetrig, gyda'r gair yn golygu tir wedi'i aredig. Roedd:

• 1 âr = 100 metr sgwâr

Er bod yr âr wedi peidio a bodoli o ddydd i ddydd, mae'r hectar yn dal i gael ei ddefnyddio'n gyffredin i fesur tir:^[16]

• 1 hectar = 100 âr = 10,000 metr sgwâr = 0.01 cilomedr sgwâr

Defnyddir yr erw yn gyffredin hefyd i fesur arwynebedd tir, lle mae

• 1 erw = 4,840 llathen sgwâr = 43,560 troedfedd sgwâr.

Mae erw oddeutu 40% o hectar.

Ar y raddfa atomig, mesurir arwynebedd mewn unedau '<i>barn</i>', fel:^[14]

• 1 'barn' = 10 ⁻²⁸ metr sgwâr.

Defnyddir y mesur hwn yn gyffredin wrth ddisgrifio maes trawsdoriadol rhyngweithio mewn ffiseg niwclear.^[17]

Yn India ,

• 20 dhurki = 1 dhur
• 20 dhur = 1 khatha
• 20 khata = 1 bigha
• 32 khata = 1 erw

Yn y 5g CC, Hippocrates of Chios oedd y cyntaf i ddangos bod arwynebedd disg (sef y rhanbarth wedi'i amgáu gan gylch) yn gymesur â sgwâr ei ddiamedr,^[18] ond ni nododd gysondeb y cymesuredd (constant of proportionality). Canfu Eudoxus o Cnidus, hefyd yn y 5g CC, fod arwynebedd disg yn gymesur â'i radiws sgwâr.^[19]

Yn dilyn hynny, deliodd Llyfr I o Elfennau Euclid â hafaledd arwynebedd rhwng ffigurau dau-ddimensiwn. Defnyddiodd y mathemategydd Archimedes offer geometreg Ewclidaidd i ddangos bod yr arwynebedd y tu mewn i gylch yn hafal i arwynebedd triongl ongl sgwâr sydd a hyd ei waelod yn hafal i gylchedd y cylch, ac y mae ei uchder yn hafal i radiws y cylch, yn ei lyfr Mesur Cylch. (Y cylchedd yw 2πr, ac mae arwynebedd triongl yn hanner y sylfaen wedi'i luosi gyda'i uchder, sef πr² ar gyfer y ddisg.) Amcangyfrifodd Archimedes gwerth π gyda'i ddull dyblu, lle arysgrifiodd driongl rheolaidd mewn cylch a nodi ei arwynebedd, yna dyblodd nifer yr ochrau i roi hecsagon rheolaidd, yna dyblu nifer yr ochrau dro ar ôl tro wrth i ardal y polygon agosáu ac yn agosach at arwynebedd y cylch (a gwnaeth yr un peth â pholygonau wedi'u hamgylchu).

Profodd y gwyddonydd o'r Swistir Johann Heinrich Lambert ym 1761 fod π, cymhareb arwynebedd cylch â'i radiws sgwâr, yn afresymol (rhif anghymarebol), sy'n golygu nad yw'n hafal i gyniferydd unrhyw ddau rif cyfan.^[20] Ym 1794 profodd y mathemategydd Ffrengig Adrien-Marie Legendre fod π² yn afresymol; mae hyn hefyd yn profi bod π yn afresymol.^[21] Ym 1882, profodd mathemategydd Almaeneg Ferdinand von Lindemann fod π yn drosgynnol, gan gadarnhau rhagdybiaeth a wnaed gan Legendre ac Euler.^[20]

Daeth Heron (neu Hero) o Alexandria o hyd i'r hyn a elwir yn fformiwla Heron ar gyfer arwynebedd triongl o ran ei ochrau, a gellir gweld prawf yn ei lyfr, Metrica, a ysgrifennwyd tua 60 CE. Awgrymwyd bod Archimedes yn gwybod y fformiwla dros ddwy ganrif yn gynharach,^[22] a chan fod Metrica yn gasgliad o'r wybodaeth fathemategol sydd ar gael yn yr hen fyd, mae'n bosibl bod y fformiwla yn rhagddyddio'r cyfeiriad a roddir yn y gwaith hwnnw.^[23]

Yn 499 mynegodd Aryabhata, mathemategydd a seryddwr o oes glasurol mathemateg Indiaidd, arwynebedd triongl fel hanner y sylfaen yn fwy na'r uchder yn yr Aryabhatiya (adran 2.6).

Yn y 7g, datblygodd Brahmagupta fformiwla, a elwir bellach yn fformiwla Brahmagupta, ar gyfer arwynebedd pedrochrog cylchol (pedrochr wedi'i arysgrifio mewn cylch) o ran ei ochrau. Yn 1842 daeth mathemategwyr yr Almaen Carl Anton Bretschneider a Karl Georg Christian von Staudt o hyd i fformiwla, a elwir yn fformiwla Bretschneider, ar gyfer arwynebedd unrhyw pedrochr.

Caniataodd datblygiad y cyfesurynnau Cartesaidd gan René Descartes yn yr 17g i Carl Friedrich Gauss, ddwy ganrif yn ddiweddarach i ddatblygu fformiwla'r syrfëwr ar gyfer arwynebedd unrhyw bolygon â lleoliadau fertig.

Roedd datblygu calcwlws integrol ar ddiwedd yr 17g yn darparu offer y gellid eu defnyddio wedi hynny ar gyfer cyfrifo arwynebedd mwy cymhleth, megis arwynebedd elips ac arwyneb gwahanol wrthrychau tri dimensiwn crwm.

Ar gyfer polygon (syml ) nad yw'n hunan-groestori, mae'r cyfesurynnau Gartesaidd ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$  (I = 0, 1, ..., n -1) lle mae'r fertigau n yn hysbys, mae'r arwynebedd yn cael ei roi gan y fformiwla syrfëwr hwn:^[24]

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\Biggl \vert }\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}){\Biggr \vert }}$ 

a pan fo i = n -1, yna mae i+1 yn cael ei fynegi felmodwlws n ac felly mae'n cyfeirio at 0.

 

Y fformiwla arwynebedd fwyaf sylfaenol yw'r fformiwla ar gyfer arwynebedd petryal. O ystyried petryal gyda hyd l a lled w, y fformiwla ar gyfer yr arwynebedd yw:^[25][26]

A = lw  (petryal).

Hynny yw, arwynebedd y petryal yw'r hyd wedi'i luosi â'r lled. Fel achos arbennig, fel l = w yn achos sgwâr, rhoddir arwynebedd sgwâr â hyd ochr s yn y fformiwla:^[7][25][27]

A = s²  (sgwâr).

Mae'r fformiwla ar gyfer arwynebedd petryal yn dilyn yn uniongyrchol o briodweddau sylfaenol arwynebedd, ac weithiau fe'i cymerir fel diffiniad neu wireb. Ar y llaw arall, os datblygir y geometreg cyn y rhifyddeg, gellir defnyddio'r fformiwla hon i ddiffinio lluosi rhifau real.

Rhestr o fformiwlâu cyffredinol ar gyfer arwynebedd:

Siap	Fformiwla	Newidynnau
Petryal	${\displaystyle A=ab}$
Triongl	${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh\,\!}$
Triongl	${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin(\gamma )\,\!}$
Triongl (Fformiwla Heron)	${\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!}$	${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$
Triongl isosgeles	${\displaystyle A={\frac {b}{4}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}}}$
Triongl rheolaidd (equilateral triangle)	${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\,\!}$
Rhombws/Barcud	${\displaystyle A={\frac {1}{2}}de}$
Paralelogram	${\displaystyle A=ah_{a}\,\!}$
Trapesiwm	${\displaystyle A={\frac {(a+c)h}{2}}\,\!}$
Hecsagon rheolaidd	${\displaystyle A={\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}a^{2}\,\!}$
Octagon rheolaidd	${\displaystyle A=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\,\!}$
Polygon rheolaidd (${\displaystyle n}$  sides)	${\displaystyle A=n{\frac {ar}{2}}={\frac {pr}{2}}}$  ${\displaystyle \quad ={\tfrac {1}{4}}na^{2}\cot({\tfrac {\pi }{n}})}$  ${\displaystyle \quad =nr^{2}\tan({\tfrac {\pi }{n}})}$  ${\displaystyle \quad ={\tfrac {1}{4n}}p^{2}\cot({\tfrac {\pi }{n}})}$  ${\displaystyle \quad ={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin({\tfrac {2\pi }{n}})\,\!}$	${\displaystyle p=na\ }$  (Perimedr) ${\displaystyle r={\tfrac {a}{2}}\cot({\tfrac {\pi }{n}}),}$  ${\displaystyle {\tfrac {a}{2}}=r\tan({\tfrac {\pi }{n}})=R\sin({\tfrac {\pi }{n}})}$  ${\displaystyle r:}$  mewngylch radiws ${\displaystyle R:}$  amgylch
Cylch	${\displaystyle A=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}}$  (${\displaystyle d=2r:}$  Diamedr)
Sector cylch	${\displaystyle A={\frac {\theta }{2}}r^{2}={\frac {L\cdot r}{2}}\,\!}$
Elíps	${\displaystyle A=\pi ab\,\!}$
Integryn	${\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\ f(x)\geq 0}$
	Arwynebedd yr arwyneb
Sffêr	${\displaystyle A=4\pi r^{2}=\pi d^{2}}$
Ciwboid	${\displaystyle A=2(ab+ac+bc)}$
Silindr (incl. bottom and top)	${\displaystyle A=2\pi r(r+h)}$
Côn (incl. bottom)	${\displaystyle A=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})}$
Torws	${\displaystyle A=4\pi ^{2}\cdot R\cdot r}$
Arwynebedd y cylchdro	${\displaystyle A=2\pi \int _{a}^{b}\!f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\mathrm {d} x}$  (cylchdro o amgylch echelin-x )

Mae'r cyfrifiadau uchod yn dangos sut i ddod o hyd i arwynebedd llawer o siapiau cyffredin.

Mae'r anghydraddoldeb isoperimetrig yn nodi, ar gyfer cromlin gaeedig o hyd L (felly mae gan y rhanbarth y mae'n ei amgáu berimedr L ) ac ar gyfer arwynebedd A y rhanbarth y mae'n ei amgáu,

${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}$ 

ac mae cydraddoldeb yn dal os a dim ond os yw'r gromlin yn gylch. Felly, y cylch sydd â'r arwynebedd mwyaf o unrhyw ffigur caeedig gyda pherimedr penodol.

• Rhestr o wledydd gydag arwynebedd llai na Chymru