Algebra llinol

Mae'r weithdrefn ar gyfer datrys hafaliadau llinol cydamserol (simultaneous) a elwir bellach yn ddileu Gaussaidd yn ymddangos mewn testun mathemategol hynafol Tsieineaidd Pennod Wyth: Araeau hirsgwar mewn llyfr o'r enw Y Naw Pennod ar Gelfyddyd Mathemateg. Disgrifir y defnydd o hafaliadau llinol mewn deunaw problem, gyda dwy i bum hafaliad.^[4] Mae'r gwaith Tsieiniaidd hwn wedi'i ddyddio i 10 CC –2 CC.

Cododd systemau hafaliadau llinol yn Ewrop ganrifoedd yn ddiweddarach, gyda chyflwyniad yn 1637 gan René Descartes o gyfesurynnau mewn geometreg. Mewn gwirionedd, yn y geometreg newydd hon, a elwir bellach yn geometreg Cartesaidd (neu'n Geometreg ddadansoddol), mae llinellau ac phlanau'n cael eu cynrychioli gan hafaliadau llinol, ac mae cyfrifiaduro eu croestoriadau'n gyfystyr â datrys systemau hafaliadau llinol.

Roedd y dulliau systematig cyntaf ar gyfer datrys systemau llinellol yn defnyddio penderfynyddion, (determinants) a ystyriwyd gyntaf gan Gottfried Wilhelm von Leibniz ym 1693. Yn 1750, defnyddiodd Gabriel Cramer nhw ar gyfer rhoi datrysiadau penodol o systemau llinellol, a elwir bellach yn 'rheol Cramer'. Yn ddiweddarach, disgrifiodd Gauss ymhellach y dull o ddileu, a restrwyd i ddechrau fel cynnydd mewn geodedd.^[5]

Ym 1844 cyhoeddodd Hermann Grassmann ei "Theor'r Estyniad" a oedd yn cynnwys pynciau newydd sylfaenol o'r hyn a elwir heddiw yn algebra llinol. Yn 1848, cyflwynodd James Joseph Sylvester y term matrics, sef Lladin ar gyfer croth.

Tyfodd algebra llinol gyda syniadau wedi'u nodi yn y plân cymhlyg. Er enghraifft, dau rif w a z yn ${\displaystyle \mathbb {C} }$ mae gwahaniaeth w - z, ac mae'r segmentau llinol ${\displaystyle {\overline {wz}}}$  a ${\displaystyle {\overline {0(w-z)}}}$  o'r un hyd a chyfeiriad. Mae'r segmentau yn gydnerthol (equipollent). Dechreuwyd y system pedwar dimensiwn ${\displaystyle \mathbb {H} }$  o quaternions ym 1843. Cyflwynwyd y term fector fel v = x i + y j + z k yn cynrychioli pwynt yn y gofod. Mae'r gwahaniaeth cwaternaidd p - q hefyd yn cynhyrchu segment sy'n gydnerthol â ${\displaystyle {\overline {pq}}.}$  Roedd systemau rhif gorgymhlyg (hypercomplex) eraill hefyd yn defnyddio'r syniad o ofod llinol gyda seiliau. Cyflwynodd Arthur Cayley luosi matrics a'r matrics gwrthdro ym 1856, gan wneud y grŵp llinol cyffredinol yn bosib. Daeth mecanwaith cynrychiolaeth grŵp ar gyfer disgrifio niferoedd cymhlyg a gorgymhlyg. Yn hanfodol, defnyddiodd Cayley un llythyren i ddynodi matrics, a thrwy hynny drin matrics fel gwrthrych cyfanredol (aggregate object). Sylweddolodd hefyd y cysylltiad rhwng matricsau a phenderfynyddion, ac ysgrifennodd "Byddai llawer o bethau i'w dweud am y theori hon o fatricsau a ddylai, mae'n ymddangos i mi, ragflaenu theori penderfynyddion".^[5]

Cyhoeddodd yr Americanwr Benjamin Peirce ei Linear Associative Algebra yn 1872, ac estynnodd ei fab Charles Sanders Peirce y gwaith yn ddiweddarach.^[6]

Cyflwynwyd y diffiniad modern a mwy manwl gywir o ofod fector gan Peano ym 1888;^[5] erbyn 1900, roedd damcaniaeth o drawsnewidiadau llinol o fannau fector dimensiwn meidraidd wedi dod i'r amlwg. Cymerodd algebra llinol ei ffurf fodern yn hanner cyntaf yr 20g, pan gyffredinolwyd llawer o syniadau a dulliau canrifoedd blaenorol fel algebra haniaethol. Arweiniodd datblygiad cyfrifiaduron at fwy o ymchwil mewn algorithmau effeithlon ar gyfer dileu Gaussaidd a dadelfeniadau matrics, a daeth algebra llinol yn offeryn hanfodol ar gyfer modelu ac efelychiadau.^[5]

Hyd at y 19g, cyflwynwyd algebra llinol trwy systemau o hafaliadau llinol a matricsau. Mewn mathemateg fodern, mae ei gyflwyno trwy ofodau fector yn well, gan ei fod yn fwy synthetig, yn fwy cyffredinol (hy heb fod yn gyfyngedig i'r achos dimensiwn meidraidd), ac yn symlach yn gysyniadol, ond, ysywaeth, yn fwy haniaethol.

Mae gofod fector dros faes F (maes y rhifau real yn aml) yn set V wedi'i gyfarparu â dau weithredwr deuaidd sy'n bodloni'r gwireb canlynol. Gelwir elfennau o V yn fectorau, a gelwir elfennau o F yn sgalars. Mae'r gweithredwr gyntaf, adio fectoraidd, yn cymryd unrhyw ddau fector v ac w yn allbynnu trydydd fector v + w. Mae'r ail weithrediad, lluosi sgalar, yn cymryd unrhyw sgalar a ac unrhyw fector v ac yn allbynnu vector av sy'n newydd sbon. Yr axiomau y mae'n rhaid i adio a lluosi sgalar eu bodloni yw'r canlynol. (Yn y rhestr isod, mae u, v ac w yn elfennau mympwyol o V, ac a a b yn sgalars mympwyol ym maes F.)

Mae'r pedair gwireb cyntaf yn golygu bod V yn y grŵp abelian dan adio.

Efallai y bydd gan elfen o ofod fector penodol natur amrywiol; er enghraifft, gallai fod yn ddilyniant, yn ffwythiant, yn bolynomial neu'n fatrics. Mae algebra llinol yn ymwneud â phriodweddau gwrthrychau o'r fath sy'n gyffredin i bob gofod fector.

Mapiau llinol yw mapiau rhwng gofodau fector sy'n cadw strwythur y gofod fector. O ystyried dau ofod fector V ac W dros faes F, mae map llinol (a elwir hefyd, mewn rhai cyd-destunau'n trawsnewid llinol) yn fap

${\displaystyle T:V\to W}$ 

sy'n gydnaws ag adio a lluosi sgalar, hynny yw

${\displaystyle T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} ),\quad T(a\mathbf {v} )=aT(\mathbf {v} )}$ 

ar gyfer unrhyw fectorau u,v yn V a sgalar a yn F.

Mae hyn yn awgrymu'r canlynol: bod gan unrhyw fector u, v yn V a sgalars a, b yn F, ceir

${\displaystyle T(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} )=T(a\mathbf {u} )+T(b\mathbf {v} )=aT(\mathbf {u} )+bT(\mathbf {v} )}$ 

Pan fo V = W yr un gofod fector, mae map llinol ${\displaystyle T:V\to V}$  hefyd yn cael ei alw'n weithredwr llinol ar V.

Mae matricsau'n caniatáu trin gofod fector o ddimensiwn meidraidd a mapiau llinol yn benodol. Felly mae eu theori yn rhan hanfodol o algebra llinol.

Gelwir set feidrol o hafaliadau llinol mewn set feidrol o newidynnau, er enghraifft, ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$  neu ${\displaystyle x,y,\ldots ,z}$  yn system hafaliadau llinol neu'n system linol.

Mae systemau hafaliadau llinol yn rhan sylfaenol o algebra llinol. Yn hanesyddol, datblygwyd theori algebra llinol a matrics ar gyfer datrys systemau o'r fath. Yn y cyflwyniad modern o algebra llinol trwy ofodau fector a matricsau, gellir dehongli llawer o broblemau yn nhermau systemau llinol.

Er enghraifft, gadewch i

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3\end{alignedat}}}$

(S)

bod yn system linol.

I system o'r fath, gellir cysylltu ei fatrics

${\displaystyle M=\left[{\begin{array}{rrr}2&1&-1\\-3&-1&2\\-2&1&2\end{array}}\right].}$ 

a'i fector aelod

${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}8\\-11\\-3\end{bmatrix}}.}$ 

Gadewch i T fod y trawsnewidiad llinol sy'n gysylltiedig â'r matrics M. Mae datrysiad o'r system (S) yn fector

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$ 

fel bod

${\displaystyle T(\mathbf {X} )=\mathbf {v} ,}$ 

sy'n elfen o preimage o v gan T.

Gadewch i ( S' ) fod y system homogenaidd gysylltiedig, lle mae ochrau dde'r hafaliadau yn cael eu rhoi i sero:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&0\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&0\end{alignedat}}}$

(S')

Mae datrysiadau ( S' ) yn union yr un elfennau o'r cnewyllyn (kernel) o T neu, yn yr un modd, M.

Mae'n dilyn o'r dehongliad matrics hwn o systemau llinol y gellir defnyddio'r un dulliau ar gyfer datrys systemau llinol ac ar gyfer llawer o weithrediadau ar fatricsau a thrawsnewidiadau llinol, sy'n cynnwys cyfrifiant o rengoedd, o'r cnewyllyn, ac o wrthdroadau matrics.

Map llinol yw endomorffiaeth llinol sy'n mapio gofod fector V iddo'i hun. Os oes gan V sail o n elfen, mae endomorffiaeth o'r fath yn cael ei gynrychioli gan fatrics sgwâr o faint n.

O ran mapiau llinol cyffredinol, mae gan endomorffadau llinol a matricsau sgwâr rai priodweddau penodol sy'n gwneud eu hastudiaeth yn rhan bwysig o algebra llinol, a ddefnyddir mewn sawl rhan o fathemateg, gan gynnwys trawsnewidiadau geometrig, newidiadau cyfesurynnol, ffurfiau cwadratig, a llawer o rannau eraill o fathemateg.

Map llinol o ofod fector yw ffurf linol ${\displaystyle V}$  dros faes ${\displaystyle F}$  i faes y sgalars ${\displaystyle F}$ , sy'n cael ei ystyried yn ofod fector drosto'i hun. Gydag adio a lluosi pwynt wrth sgalar, mae'r ffurfiau llinol yn ffurfio gofod fector, a elwir yn ofod deuol ${\displaystyle V}$ , a'i ddynodi fel arfer fel ${\displaystyle V^{*}}$  neu ${\displaystyle V'}$ .

Mae perthynas gref rhwng algebra llinol a geometreg, a ddechreuodd gyda chyflwyniad René Descartes, ym 1637, o gyfesurynnau Cartesaidd. Yn y geometreg hon, a elwir bellach yn geometreg Cartesaidd, mae pwyntiau'n cael eu cynrychioli gan gyfesurynnau Cartesaidd, sy'n ddilyniannau o dri rhif real, yn achos y gofod tri dimensiwn arferol. Cynrychiolir gwrthrychau sylfaenol geometreg, sef llinellau ac phlanau gan hafaliadau llinol. Felly, mae gweithio allan y croestoriadau o linellau a phlanau yn gyfystyr â datrys systemau hafaliadau llinol. Dyma oedd un o'r prif ysgogiadau dros ddatblygu algebra llinol.

Mae'r rhan fwyaf o drawsffurfiadau geometrig, megis trawsfudiadau, cylchdroadau, adlewyrchiadau, cynigion anhyblyg, isometrau, a thafluniadau yn trawsnewid llinellau yn llinellau. Mae'n dilyn y gellir eu diffinio, eu nodi a'u hastudio o ran mapiau llinol ac mae hyn hefyd yn wir am homograffïau a thrawsnewidiadau Möbius, pan gânt eu hystyried fel trawsnewidiadau o ofod tafluniol.

Hyd at ddiwedd y 19g, diffiniwyd gofodau geometrig gan wirebau (axiomau) yn ymwneud â phwyntiau, llinellau a phlanau (a elwid yn geometreg synthetig). Tua'r cyfnod hwn, roedd yn ymddangos y gallai rhywun hefyd ddiffinio gofodau geometrig trwy luniadau a oedd yn cynnwys gofodau fector. Dangoswyd bod y ddau ddull yn gyfwerth yn y bôn.^[7]

Yn 2021 roedd y mwyafrif o werslyfrau, yn cyflwyno gofodau geometrig o algebra llinol, ac yn aml cyflwynir geometreg, ar lefel elfennol, fel is-faes algebra llinol.

Defnyddir algebra llinol ym mron pob maes o fathemateg, gan ei wneud yn berthnasol ym mron pob parth gwyddonol sy'n defnyddio mathemateg. Gellir rhannu'r ceisiadau hyn yn sawl categori eang.

Mae modelu gofod amgylchynol yn seiliedig ar geometreg. Mae gwyddorau sy'n ymwneud â'r gofod hwn yn defnyddio geometreg yn eang. Mae hyn yn wir gyda mecaneg a roboteg, ar gyfer disgrifio dynameg corff anhyblyg; geodedd ar gyfer disgrifio siâp y Ddaear; persbectif, gweledigaeth gyfrifiadurol, a graffeg gyfrifiadurol, ar gyfer disgrifio'r berthynas rhwng golygfa a'i chynrychiolaeth plan; a llawer o barthau gwyddonol eraill.

Yn yr holl gymwysiadau hyn, defnyddir geometreg synthetig yn aml ar gyfer disgrifiadau cyffredinol a dull ansoddol, ond ar gyfer astudio sefyllfaoedd penodol, rhaid cyfrifo â chyfesurynnau. Mae hyn yn gofyn am ddefnyddio cryn dipyn o algebra llinol.

Mae dadansoddiad ffwythiannol (functional analysis) yn astudiaeth o ofod ofod ffwythiannol, gyda strwythurau ychwanegol megis gofod Hilbert. Felly mae algebra llinol yn rhan sylfaenol o ddadansoddiad ffwythiannol a'i gymwysiadau, sy'n cynnwys, yn benodol, mecaneg cwantwm (swyddogaethau tonnau).

Mae'r rhan fwyaf o ffenomenau ffisegol yn cael eu modelu gan hafaliadau differol rhannol (partial differential equations). Er mwyn eu datrys, mae un fel arfer yn dadelfennu'r gofod lle mae'r datrysiadau'n cael eu gwneud i mewn i gelloedd bach sy'n rhyngweithio â'i gilydd. Ar gyfer systemau llinol mae'r rhyngweithio hwn yn cynnwys ffwythiannau llinellol (linear functions). Ar gyfer systemau aflinol, mae'r rhyngweithio hwn yn aml yn cael ei frasamcanu gan ffwythiant llinol. Fel arfer, yn y ddau achos, ceir matricsau mawr iawn. Mae rhagweld y tywydd yn enghraifft nodweddiadol, lle mae atmosffer y Ddaear gyfan wedi'i rannu'n gelloedd o 100, dyweder km o led a 100 m o uchder.

Mae bron pob cyfrifiant gwyddonol yn cynnwys algebra llinol. O ganlyniad, mae algorithmau algebra llinol wedi'u optimeiddio'n fawr. BLAS a LAPACK yw'r gweithrediadau mwyaf adnabyddus. Er mwyn gwella effeithlonrwydd, mae rhai ohonynt yn ffurfweddu'r algorithmau yn awtomatig, yn fyw yn y fan a'r lle, ar gyfer eu haddasu i nodweddion penodol y cyfrifiadur (maint y storfa, nifer creiddiau'r prosesydd ayb).

Mae rhai proseswyr, yn nodweddiadol unedau prosesu graffeg (GPU), wedi'u cynllunio gyda strwythur matrics, ar gyfer optimeiddio gweithrediadau algebra llinol.