Strwythur crisial

Strwythur crisial

Math	strwythur
Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

Mewn crisialeg, mae strwythur crisial yn ddisgrifiad o drefniant rheolaidd atomau, ïonau neu foleciwlau mewn defnydd crisialog. Gall strwythurau rheolaidd ddigwydd o natur gynhenid y gronynnau cyfansoddol i ffurfio patrymau cymesurol sy'n ailadrodd ar hyd prif gyfeiriadau gofod tri dimensiwn mewn mater.

Cell uned yw'r grŵp lleiaf o ronynnau mewn deunydd sy'n ffurfio'r patrwm ailadroddus hwn. Mae cell uned yn adlewyrchu cymesuredd ac adeiledd crisial cyfan yn llwyr, sy'n cael ei adeiladu trwy drosiad ailadroddus o gell uned ar hyd ei phrif echelinau. Mae'r fectorau trawsfudo yn diffinio nodau dellt Bravais.

Cysonion dellt yw hydoedd y prif echelinau, neu ymylon, y gell uned a'r onglau rhyngddynt; fe'u gelwir hefyd yn baramedrau dellt neu baramedrau cell. Disgrifir priodweddau cymesuredd y grisial gan y cysyniad o grwpiau gofod. Gall pob trefniant cymesur posibl o ronynnau mewn gofod tri dimensiwn gael eu disgrifio gan y 230 o grwpiau gofod.

Mae'r strwythur crisial a chymesuredd yn chwarae rhan hanfodol wrth bennu llawer o briodweddau ffisegol, megis holltiad, strwythur band electronig, a thryloywder optegol.

Disgrifir strwythur crisial yn nhermau geometreg trefniant gronynnau yn y gell uned. Diffinnir cell uned fel yr uned ailadrodd leiaf sydd â chymesuredd llawn y strwythur crisial. Diffinnir geometreg y gell unedol fel pibell paralel, gan ddarparu chwe pharamedr dellt a gymerir fel hyd ymylon y gell (a, b, c) a'r onglau rhyngddynt (α, β, γ). Disgrifir safleoedd y gronynnau y tu mewn i'r gell uned gan y cyfesurynnau ffracsiynol (x_i, y_i, z_i) ar hyd ymylon y gell, wedi'u mesur o bwynt cyfeirio. Dim ond adrodd am gyfesurynnau is-set anghymesur lleiaf o ronynnau sydd ei angen. Gellir dewis y grŵp hwn o ronynnau fel ei fod yn meddiannu'r gofod ffisegol lleiaf, sy'n golygu nad oes angen lleoli pob gronyn yn gorfforol y tu mewn i'r ffiniau a roddir gan y paramedrau dellt. Mae holl ronynnau eraill y gell uned yn cael eu cynhyrchu gan y gweithrediadau cymesuredd sy'n nodweddu cymesuredd y cell uned. Mynegir y casgliad o weithrediadau cymesuredd y gell uned yn ffurfiol fel grŵp gofod y strwythur crisial.

• 
  Ciwbig syml
• 
  Ciwbig corff-ganolog
• 
  Ciwbig wyneb-ganolog

Disgrifir fectorau a phlanau mewn dellt crisial gan nodiant tri-gwerth indecs Miller. Mae'r gystrawen hon yn defnyddio'r indecsau ℓ, m, ac n fel paramedrau cyfeiriadol.

Trwy ddiffiniad, mae'r gystrawen (ℓmn) yn dynodi plân sy'n rhyngdorri'r tri phwynt ${\displaystyle {\frac {a_{1}}{\ell }}}$, ${\displaystyle {\frac {a_{2}}{m}}}$, a ${\displaystyle {\frac {a_{3}}{n}}}$, neu ryw luosrif ohonynt. Hynny yw, mae indecsau Miller mewn cyfrannedd â gwrthdroadau rhyngdorriadau'r plân â'r gell uned (yn sail y fectorau dellt). Os yw un neu fwy o'r indecsau'n sero, mae'n golygu nad yw'r planau'n croestorri'r echelin honno (h.y., y rhyngdoriad yn "cyrraedd anfeidredd"). Mae plân sy'n cynnwys echelin gyfesurynnol yn cael ei drawsfudo fel nad yw'n cynnwys yr echelin honno mwyach cyn pennu ei indecsau Miller. Cyfanrifoedd heb ffactorau cyffredin yw indecsau Miller i blân. Nodir indecsau negyddol gyda barrau llorweddol, fel yn (1Nodyn:Overbar3). Mewn system gyfesurynnol orthogonal ar gyfer cell giwbig, indecsau Miller plân yw cydrannau Cartesaidd fector sy'n normal i'r plân.

O ystyried dim ond planau (ℓmn) sy'n croestorri un neu fwy o bwyntiau dellt (y planau dellt), mae'r pellter d rhwng planau dellt cyfagos yn gysylltiedig â'r fector dellt cilyddol (byrraf) orthogonal i'r planau yn ôl y fformiwla:

${\displaystyle d={\frac {2\pi }{|\mathbf {g} _{\ell mn}|}}}$

Llinellau geometreg sy'n cysylltu nodau (atomau, ïonau neu foleciwlau) yw cyfeiriadau crisialogaidd. Yn yr un modd, mae planau crisialog yn blanau geometrig sy'n cysylltu nodau. Mae gan rai cyfeiriadau a blanau ddwysedd uwch o nodau. Mae'r planau dwysedd uchel hyn yn dylanwadu ar nodweddion y grisial fel a ganlyn:

• Priodweddau optegol: Mae indecs plygiant yn gysylltiedig yn uniongyrchol â dwysedd (neu amrywiadau dwysedd cyfnodol).
• Arsugnedd ac adweithedd: Bydd arsugnedd ffisegol neu adweithiau cemegol yn digwydd ger neu ar arwyneb atomau neu folecylau. O ganlyniad, mae'r ffenomena hyn yn sensitif i ddwysedd y nodau.
• Tyniant arwyneb: Golyga cyddwysiad defnydd bod yr atomau, yr ïonau neu'r molecylau yn fwy sefydlog os ŷnt wedi eu hamgylchynnu gydag eraill o'r un fath. O ganlyniad, mae tyniant arwyneb yn amrywio yn ôl y dwysedd ar yr arwyneb.
• Diffygion microstrwythurol: Mae mandyllau a chrisialygon (crystallites) yn dueddol o fod â ffiniau graen syth, sy'n dilyn planau dwysedd uwch.
• Holltiad: Yn dueddol o ddigwydd yn baralel i blanau dwysedd uchel.
• Anffurfiad plastig: Mae llithriad dadleoli yn digwydd mewn paralel â phlanau dwysedd uwch. Mae'r aflonyddiad a gludir gan y dadleoliad (fector Burgers) ar hyd cyfeiriad dwys. Mae symudiad un nod i gyfeiriad mwy dwys angen llai o afluniad o'r dellt grisial.

Diffinnir rhai cyfeiriadau a phlanau gan gymesuredd y system crisial. Mewn systemau monoclinig, rhombohedrol, tetragonol, a thrionglog/hecsagonol mae un echel unigryw (a elwir weithiau y brif echelin) sydd â chymesuredd cylchdro uwch na'r ddwy echelin arall. Y plân waelodol yw'r plân sy'n berpendicwlar i'r brif echelin yn y systemau crisial hyn. Ar gyfer systemau triclinig, orthorhombig, a chrisial ciwbig, mae dynodiad yr echelin yn fympwyol ac nid oes prif echelin.

I'r achos arbennig o grisialau ciwbig syml, mae'r fectorau dellt yn orthogonol ac o hyd cyfartal (dynodir fel arfer yn a); yr un modd i'r dellt cilyddol. Felly, yn yr achos cyffredin hwn, mae indecsau Miller (ℓmn) a [ℓmn] ill dau yn dynodi normalau/cyfeiriadau mewn cyfesurynnau Cartesaidd. Ar gyfer crisialau ciwbig gyda chysonyn dellt a, y gwahaniad d rhwng planau dellt cyfagos (ℓmn) yw:

${\displaystyle d_{\ell mn}={\frac {a}{\sqrt {\ell ^{2}+m^{2}+n^{2}}}}}$

Oherwydd cymesuredd crisialau ciwbig, mae'n bosibl newid lle ac arwydd y cyfanrifau a chael cyfeiriadau a phlanau:

• Mae cyfesurynnau mewn cromfachau onglau fel <100> yn dynodi teulu o gyfeiriadau sy'n gyfwerth oherwydd gweithrediadau cymesuredd, megis [100], [010], [001] neu'r negyddol o unrhyw un o'r cyfeiriadau hynny.
• Mae cyfesurynnau mewn cromfachau cyrliog megis {100} yn dynodi teulu o normalau plân sy'n gyfwerth oherwydd gweithrediadau cymesuredd, yn debyg iawn i sut mae cromfachau onglau yn dynodi teulu o gyfarwyddiadau.

Ar gyfer delltiau ciwbig wyneb-ganolog (fcc - face-centered cubic) a chorff-ganolog (bcc - body-centered cubic), nid yw'r fectorau dellt cysefin yn orthogonol. Fodd bynnag, yn yr achosion hyn mae indecsau Miller wedi'u diffinio'n gonfensiynol mewn perthynas â fectorau dellt yr uwchgell ciwbig ac felly'n syml, y cyfeiriadau Cartesaidd ydynt eto.

Rhoddir y gwahaniad d rhwng planau dellt cyfagos (hkℓ) gan:

• Ciwbig:

  ${\displaystyle {\frac {1}{d^{2}}}={\frac {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}{a^{2}}}}$

• Tetragonol:

  ${\displaystyle {\frac {1}{d^{2}}}={\frac {h^{2}+k^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\ell ^{2}}{c^{2}}}}$

• Hecsagonol:

  ${\displaystyle {\frac {1}{d^{2}}}={\frac {4}{3}}\left({\frac {h^{2}+hk+k^{2}}{a^{2}}}\right)+{\frac {\ell ^{2}}{c^{2}}}}$

• Rhombohedrol:

  ${\displaystyle {\frac {1}{d^{2}}}={\frac {(h^{2}+k^{2}+\ell ^{2})\sin ^{2}\alpha +2(hk+k\ell +h\ell )(\cos ^{2}\alpha -\cos \alpha )}{a^{2}(1-3\cos ^{2}\alpha +2\cos ^{3}\alpha )}}}$

• Orthorhombig:

  ${\displaystyle {\frac {1}{d^{2}}}={\frac {h^{2}}{a^{2}}}+{\frac {k^{2}}{b^{2}}}+{\frac {\ell ^{2}}{c^{2}}}}$

• Monoclinig:

  ${\displaystyle {\frac {1}{d^{2}}}=\left({\frac {h^{2}}{a^{2}}}+{\frac {k^{2}\sin ^{2}\beta }{b^{2}}}+{\frac {\ell ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2h\ell \cos \beta }{ac}}\right)\csc ^{2}\beta }$

• Triclinig:

  ${\displaystyle {\frac {1}{d^{2}}}={\frac {{\frac {h^{2}}{a^{2}}}\sin ^{2}\alpha +{\frac {k^{2}}{b^{2}}}\sin ^{2}\beta +{\frac {\ell ^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}\gamma +{\frac {2k\ell }{bc}}(\cos \beta \cos \gamma -\cos \alpha )+{\frac {2h\ell }{ac}}(\cos \gamma \cos \alpha -\cos \beta )+{\frac {2hk}{ab}}(\cos \alpha \cos \beta -\cos \gamma )}{1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}}$

Priodwedd diffiniol crisial yw ei gymesuredd cynhenid. Nid yw perfformio rhai gweithrediadau cymesuredd ar y dellt grisial yn ei newid. Mae gan pob crisial gymesuredd trosiadol mewn tri cyfeiriad, ond mae gan rai elfennau cymesuredd eraill hefyd. Er enghraifft, gall cylchdroi crisial 180° o amgylch echelin benodol arwain at gyfluniad atomig sy'n union yr un fath â'r cyfluniad gwreiddiol; mae gan y crisial gymesuredd cylchdro deublyg o amgylch yr echelin hon. Yn ogystal â chymesuredd cylchdro, gall crisial gael cymesuredd ar ffurf planau drych, a hefyd yr hyn a elwir yn gymesuredd cyfansawdd, sy'n gyfuniad o drawsfudiad a chymesuredd cylchdro neu ddrych. Cyflawnir dosbarthiad llawn o grisial pan nodir holl gymesuredd cynhenid y grisial.

System dellt yw grŵp o strwythurau crisial yn ôl y system echelinol a ddefnyddir i ddisgrifio eu dellt. Mae pob system dellt yn cynnwys set o dair echelin mewn trefniant geometrig penodol. Perthyn pob crisiau i un o'r saith system dellt. Maent yn debyg, ond nid yn union yr un fath â'r saith system grisial.

Teulu crisial	System dellt	Grŵp pwynt (Nodiant Schönflies)	14 dellt Bravais
			Cysefin (P - Primitive)	Sail-ganolog (S - Base-centered)	Corff-ganolog (I - Body-centered)	Wyneb-ganolog (F - Face-centered)
Triclinig (a)		Ci	aP
Monoclinig (m)		C2h	mP	mS
Orthorhombig (o)		D2h	oP	oS	oI	oF
Tetragonol (t)		D4h	tP		tI
Hecsagonol (h)	Rhombohedrol	D3d	hR
	Hecsagonol	D6h	hP
Ciwbig (c)		Oh	cP		cI	cF

Mae gan y system symlaf a mwyaf cymesur, y system giwbig neu isometrig, gymesuredd ciwb, sy'n arddangos pedair echelin cylchdro triphlyg wedi'i chyfeirio ar 109.5° (yr ongl tetrahedrol) mewn perthynas â'i gilydd. Gorwedd yr echelinau triphlyg hyn ar hyd croesliniau corff y ciwb. Y chwe system dellt arall, yw hecsagonol, tetragonol, rhombohedral (sy'n aml wedi'u drysu â'r system grisial drigonol), orthorhombig, monoclinig a thriclinig.

Disgrifia delltau Bravais (cyfeirir atynt hefyd fel delltau gofod) trefniant geometrig y pwyntiau dellt, ac felly cymesuredd trosiadol crisial. Mae tri dimensiwn gofod yn rhoi 14 dellten Bravais unigryw sy'n disgrifio'r cymesuredd trosiadol. Mae'r holl ddefnyddiau crisialog a gydnabyddir heddiw, heb gynnwys lled-grisialau, yn ffitio yn un o'r trefniadau hyn. Mae'r pedwar ar ddeg dellten tri dimensiwn, wedi'u dosbarthu yn ôl system dellt, i'w gweld uchod.

Cynhwysa'r strwythur grisial yr un grŵp o atomau, y sail, wedi'i leoli o amgylch pob pwynt dellt. Mae'r grŵp hwn o atomau felly'n ailadrodd am gyfnod amhenodol mewn tri dimensiwn yn unol â threfniant un o ddelltau Bravais. Disgrifir cylchdro nodweddiadol a chymesuredd drych y gell uned gan ei grŵp pwyntiau grisiallograffig.

System crisial yw set o grwpiau pwynt ble mae'r grwpiau pwynt eu hunain a'u grwpiau gofod cyfatebol yn cael eu neilttuo i system dellt. O'r 32 grŵp pwynt sy'n bodoli mewn tri dimensiwn, mae'r mwyafrif yn cael eu neilltuo i un system dellt yn unig, ac os felly mae gan y system grisial a'r system dellt yr un enw. Fodd bynnag, mae grwpiau pum pwynt yn cael eu neilltuo i ddwy system dellt, rhombohedral a hecsagonol, oherwydd bod y ddwy system dellt yn arddangos cymesuredd cylchdro triphlyg. Mae'r grwpiau pwynt hyn yn cael eu neilltuo i'r system grisial driongl.

Teulu crisial	System crisial	Grŵp pwynt / Dosbarth crisial	Nodiant Schönflies	Cyfesurynnau pwynt	Trefn	Grŵp haniaethol
triclinig		pediol	C1	pegynol enantiomorffig	1	pitw ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$
		pinacoidol	Ci (S2)	canol-cymesurol	2	cylchol ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$
monoclinig		sffenoidol	C2	pegynol enantiomorffig	2	cylchol ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$
		domatig	Cs (C1h)	pegynol	2	cylchol ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$
		prismatig	C2h	canol-cymesurol	4	pedwar Klein ${\displaystyle \mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$
orthorhombig		rhombig-deusffenoidol	D2 (V)	enantiomorffig	4	pedwar Klein ${\displaystyle \mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$
		rhombig-pyramidol	C2v	pegynol	4	pedwar Klein ${\displaystyle \mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$
		rhombig-deubyramidol	D2h (Vh)	canol-cymesurol	8	${\displaystyle \mathbb {V} \times \mathbb {Z} _{2}}$
tetragonol		tetragonol-pyramidol	C4	pegynol enantiomorffig	4	cylchol ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$
		tetragonol-deusffenoidol	S4	di-ganol-cymesurol	4	cylchol ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$
		tetragonol-deubyramidol	C4h	canol-cymesurol	8	${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}}$
		tetragonol-trapesohedrol	D4	enantiomorffig	8	deuhedrol ${\displaystyle \mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}$
		deudetragonol-pyramidol	C4v	pegynol	8	deuhedrol ${\displaystyle \mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}$
		tetragonol-scalenohedrol	D2d (Vd)	di-ganol-cymesurol	8	deuhedrol ${\displaystyle \mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}$
		deudetragonol-deubyramidol	D4h	canol-cymesurol	16	${\displaystyle \mathbb {D} _{8}\times \mathbb {Z} _{2}}$
hecsagonol	trigonol	trigonol-pyramidol	C3	pegynol enantiomorffig	3	cylchol ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$
		rhombohedrol	C3i (S6)	canol-cymesurol	6	cylchol ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}}$
		trigonol-trapesohedrol	D3	enantiomorffig	6	deuhedrol ${\displaystyle \mathbb {D} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}$
		deudrigonol-pyramidol	C3v	pegynol	6	deuhedrol ${\displaystyle \mathbb {D} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}$
		deudrigonol-scalenohedrol	D3d	canol-cymesurol	12	deuhedrol ${\displaystyle \mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}$
	hecsagonol	hecsagonol-pyramidol	C6	pegynol enantiomorffig	6	cylchol ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}}$
		trigonol-deubyramidol	C3h	di-ganol-cymesurol	6	cylchol ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}}$
		hecsagonol-deubyramidol	C6h	canol-cymesurol	12	${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{2}}$
		hecsagonol-trapesohedrol	D6	enantiomorffig	12	deuhedrol ${\displaystyle \mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}$
		deuhecsagonol-pyramidol	C6v	pegynol	12	deuhedrol ${\displaystyle \mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}$
		deudrigonol-deubyramidol	D3h	di-ganol-cymesurol	12	deuhedrol ${\displaystyle \mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}$
		deuhexagonol-deubyramidol	D6h	canol-cymesurol	24	${\displaystyle \mathbb {D} _{12}\times \mathbb {Z} _{2}}$
ciwbig		tetartoidol	T	enantiomorffig	12	eiledol ${\displaystyle \mathbb {A} _{4}}$
		deubloidol	Th	canol-cymesurol	24	${\displaystyle \mathbb {A} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}}$
		gyroidol	O	enantiomorffig	24	cymesurol ${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$
		hecstetrahedrol	Td	di-ganol-cymesurol	24	cymesurol ${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$
		hecsoctahedrol	Oh	canol-cymesurol	48	${\displaystyle \mathbb {S} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}}$

Yn ei gyfanrwydd, mae saith system crisial: triclinig, monoclinig, orthorhombig, tetragonol, trigonol, hecsagonol, a ciwbig.

Grŵp pwynt crisialog neu ddosbarth grisial yw'r grŵp mathemategol sy'n cynnwys y gweithrediadau cymesuredd sy'n gadael ymddangosiad y strwythur grisial heb ei newid gydag o leiaf un pwynt heb ei symud. Mae'r gweithrediadau cymesuredd hyn yn cynnwys

• Adlewyrchiad, sy'n adlewyrchu'r strwythur ar draws plân adlewyrchiad
• Cylchdroi, sy'n cylchdroi'r strwythur mewn mudiad cylch o amgylch echelin cylchdro
• Gwrthdroad, sy'n newid arwydd cyfesuryn pob pwynt mewn perthynas â chanolfan cymesuredd neu bwynt gwrthdroi
• Cylchdroi amhriodol, sy'n cynnwys cylchdro o amgylch echelin ac yna gwrthdroad.

Gelwir echelinau cylchdroi (priodol ac amhriodol), planau adlewyrchiad, a chanolfannau cymesuredd gyda'i gilydd yn elfennau cymesuredd. Mae yna 32 o ddosbarthiadau crisial posibl. Gellir dosbarthu pob un yn un o'r saith system grisial.

Yn ogystal â gweithrediadau'r grŵp pwynt, mae grŵp gofod y strwythur grisial yn cynnwys gweithrediadau cymesuredd trosiadol. Mae'r rhain yn cynnwys:

• Trawsfudiadau pur, sy'n symud pwynt ar hyd fector
• Echelinau sgriw, sy'n cylchdroi pwynt o amgylch echelin wrth drosi'n gyfochrog â'r echelin
• Planau llithro, sy'n adlewyrchu pwynt trwy blân wrth ei drosi'n baralel â phlân.

Mae yna 230 grŵp gofod gwahanol.

Trwy ystyried trefniant atomau mewn perthynas â'i gilydd, eu niferoedd cydlynnu (neu nifer y cymdogion agosaf), pellteroedd rhyngatomig, mathau o fondio, ac ati, mae'n bosibl ffurfio barn gyffredinol o'r strwythurau a ffyrdd amgen o'u delweddu.

Gellir deall yr egwyddorion dan sylw trwy ystyried y ffordd fwyaf effeithlon o bacio sfferau maint cyfartal a phentyrru planau atomig wedi eu pacio'n agos mewn tri dimensiwn. Er enghraifft, os yw plân A yn gorwedd o dan plân B, mae dwy ffordd bosibl o osod atom ychwanegol ar ben haen B. Pe bai haen ychwanegol yn cael ei gosod yn union dros plân A, byddai hyn yn arwain at y gyfres ganlynol:

...ABABABAB...

Adnabyddir y trefniant hyn o atomau mewn crisial fel pacio agos hecsagonol (hcp - hexagonal close packing).

Fodd bynnag, os yw'r tair plân wedi'u gwasgaru mewn perthynas â'i gilydd, ac nad yw'r dilyniant yn cael ei ailadrodd tan i'r bedwaredd haen gael ei gosod yn union dros plân A, yna mae'r dilyniant canlynol yn codi:

...ABCABCABC...

Adnabyddir y math hyn o drefniant strwythurol fel pacio agos ciwbig (ccp - cubic close packing).

Cell uned trefniant pacio agos ciwbig (ccp) o atomau yw cell uned ciwbig wyneb-ganolog (fcc). Nid yw hyn yn amlwg ar unwaith gan fod yr haenau sydd wedi'u pacio'n agos yn baralel i blanau {111} cell uned ciwbig wyneb-ganolog (fcc). Mae pedwar cyfeiriadedd gwahanol i'r haenau sydd wedi eu pacio'n agos.

Gellir cyfrifo'r effeithlonrwydd pacio trwy rannu cyfanswm cyfaint y sfferau a'u rhannu dros cyfaint y gell, fel y ganlyn:

${\displaystyle {\frac {4\times {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{16{\sqrt {2}}r^{3}}}={\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}=0.7405...}$

Effeithlonrwydd pacio o 74% yw'r dwysedd mwyaf posib mewn cell uned wedi ei greu o sfferau o un maint yn unig. Mae'r mwyafrif o ffurfiau crisialog o elfenau metel yn pacio agos hecsagonol (hcp), ciwbig wyneb-ganolog (fcc) neu giwbig corff-ganolog (bcc). Rhif cydlyniad atomau mewn strwythurau hcp a fcc yw 12, a'i ffactor pacio atomig (APF - atomic packing factor) yw'r rhif a gyflynwyd uchod, 0.74. Gellir cymharu hyn gyda APF strwythur bcc, sy'n 0.68.

Ffiniau graen yw rhyngwynebau ble mae crisialau o gyfeiriadau gwahanol yn cwrdd. Mae ffin graen yn rhyngwyneb un-gwedd, gyda chrisialau y naill ochr i'r ffin yn union yr un fath ac eithrio mewn cyfeiriadedd. Er yn gywir, prin y defnyddir y term "ffin grisialaidd (crystallite)". Cynhwysa ffiniau graen ardaloedd ble mae atomau wedi'u haflonyddu o'u safleoedd dellt gwreiddiol, dadleoliadau, ac amhureddau sydd wedi mudo i'r ffin graen egni is.

Trwy drin ffin graen yn geometrig fel rhyngwyneb o grisial sengl wedi'i dorri'n ddwy ran, gydag un ohonynt wedi'i gylchdroi, gwelwn fod angen pum newidyn i ddiffinio ffin graen. Daw'r ddau rif cyntaf o'r uned fector sy'n pennu echelin cylchdro. Mae'r trydydd rhif yn dynodi ongl cylchdroi'r graen. Mae'r ddau rif olaf yn nodi plân y ffin graen (neu uned fector sy'n normal i'r plân hwn).

Mae ffiniau graen yn tarfu ar symudiad dadleoliadau trwy ddefnydd, felly mae lleihau maint grisialaidd yn ffordd gyffredin o wella cryfder, fel y disgrifir gan y berthynas Hall-Petch. Gan fod ffiniau graen yn ddiffygion yn y strwythur crisial, maent yn tueddu i leihau dargludedd trydanol a thermol y defnydd. Mae'r egni rhyngwynebol uchel a'r bondio cymharol wan yn y rhan fwyaf o ffiniau graen, yn aml, yn eu gwneud yn safleoedd a ffafrir ar gyfer dechrau cyrydiad ac ar gyfer dyddodiad gweddau newydd o'r solid. Maent hefyd yn bwysig i lawer o fecanweithiau ymgripiad.

Yn gyffredinol, dim ond ychydig o nanometrau o led yw ffiniau graen. Mewn defnyddiau cyffredin, mae grisialaidd (crystallite) yn ddigon mawr fel bod ffiniau graen yn ffracsiwn bach o'r defnydd. Fodd bynnag, mae meintiau graen bach iawn yn bosib. Mewn solidau nanogrisialog, mae ffiniau graen yn dod yn ffracsiwn sylweddol o gyfaint defnydd, gydag effeithiau dwys ar nodweddion megis trylediad a phlastigrwydd. Mewn crisialaidd (crystallite) bach, wrth i ffracsiwn cyfaint y ffiniau graen agosáu at 100%, mae'r deunydd yn peidio â chael unrhyw gymeriad crisialog, ac felly'n dod yn solet amorffaidd.

Bydd crisialau go iawn yn cynnwys diffygion neu afreoleidd-dra a ddisgrifir uchod. Y namau hyn sy'n pennu llawer o briodweddau trydanol a mecanyddol deunyddiau go iawn. Pan fydd un atom yn cymryd lle un o'r prif gydrannau atomig o fewn y strwythur crisial, gall newid briodweddau trydanol a thermol y deunydd. Gall amhureddau hefyd ddod i'r amlwg fel amhureddau sbin electronau mewn rhai deunyddiau. Mae ymchwil ar amhureddau magnetig yn dangos y gall grynodiadau bach o amhuredd arwain at newidiadau sylweddol, megis gwres penodol. Er enghraifft, gall amhureddau mewn aloiau fferromagnetig lled-ddargludol arwain at newidiadau sylweddol, fel y rhagwelwyd gyntaf ddiwedd y 1960au. Mae dadleoliadau yn y dellt grisial yn golygu bod angen llai o groesrym i'w hollti, o'i gymharu â'r hyn sydd ei angen ar gyfer strwythur crisial perffaith.

Ers erioed, mae hi wedi bod yn anodd dylunio a modelu strwythurau crisial yn gyfrifiadurol, yn seiliedig ar wybodaeth am gyfansoddiadau cemegol. Bellach mae'n bosib rhagdybio strwythurau gyda chymhlethdod canolig, gan ddefnyddio dulliau megis samplu ar hap, metadynameg neu algorithmau esblygiadol; hyn oll yn bosib wrth gyfrifiaduron perfformiad uchel ac algorithmau mwy pwerus.

Fel arfer, bydd strwythurau crisial o solidau ionig syml, megis NaCl (halen cyffredin), yn cael eu rhesymoli yn nhermau rheolau Pauling, a osodwyd yn gyntaf yn 1929 gan Linus Pauling. Ystyriwyd Pauling yn "tad y bond cemegol" a bu'n ystyried natur grymoedd rhyngatomig mewn metelau. Daeth i gasgliad bod hanner o'r pum orbital-d metelau trosiannol yn rhan o fondio, gyda'r orbitalau-d difondio sy'n weddill yn gyfrifol am y priodweddau magnetig. Yr oedd felly'n gallu cydberthyn y nifer o orbitalau-d wrth ffurfio bond gyda hyd y bond, yn ogystal â llawer o briodweddau ffisegol y sylwedd. Wedi hynny, cyflwynodd yr orbital metelaidd, orbital ychwanegol sy'n angenrheidiol i ganiatáu cyseiniant di-rwystr bondiau falens, ymhlith strwythurau electronig amrywiol.

Yn namcaniaeth bond falens cyseiniol, bydd egni cyseiniad ymhlith safloedd rhyngatomig yn dylanwadu ar ddetholiad un o blith strwythurau crisial o gyfansoddiad metelaidd neu ryngfetelaidd. Mae'n amlwg y byddai rhai moddau cyseiniant yn gwneud mwy o gyfraniadau (yn fwy sefydlog yn fecanyddol nag eraill), ac y byddai cymhareb syml o nifer bondiau i nifer safleoedd yn arbennig. Yr egwyddor sy'n deillio o hyn yw bod sefydlogrwydd arbennig yn gysylltiedig â'r cymarebau neu'r "rhifau bond" symlaf: 1⁄2, 1⁄3, 2⁄3, 1⁄4, 3⁄4, ac ati. Mae'r dewis o strwythur a gwerth y gymhareb echelinol (sy'n pennu hyd y bondiau cymharol) yn ganlyniad i ymdrech atom i ddefnyddio ei falens wrth ffurfio bondiau sefydlog, gyda rhifau bond ffracsiynol syml.

Wedi myfyrio ar gydberthynas uniongyrchol rhwng crynodiad electronau a strwythur grisial mewn aloion beta-wedd, dadansoddodd Hume-Rothery y tueddiadau mewn ymdoddbwyntiau, cywasgedd a hyd bondiau fel ffwythiant rhif grŵp yn y tabl cyfnodol, er mwyn sefydlu system o falensau o'r elfennau trosiannol yn y cyflwr metelaidd.^[1] Yr oedd y driniaeth hon felly'n pwysleisio cryfder bondiau cynyddol fel ffwythiant rhif grŵp. Pwysleisiwyd gweithrediad grymoedd cyfeiriadol mewn un erthygl ar y berthynas rhwng hybridau bondiau a'r strwythurau metelaidd. Mae'r gydberthynas canlyniadol rhwng strwythurau electronig a grisialaidd yn cael ei grynhoi gan un paramedr, sef pwysau electronau-d fesul orbital metelaidd hybrid. Mae'r "pwysau-d" yn cyfrifo 0.5, 0.7 a 0.9 ar gyfer y strwythurau fcc, hcp a bcc yn y drefn honno. Felly, mae'r berthynas rhwng electronau-d a strwythur crisial yn dod i'r amlwg.

Mewn rhagfynegiadau/efelychiadau strwythur crisial cymwysir cyfnodoldeb fel arfer, gan fod y system yn cael ei ddychmygu fel un diderfyn ym mhob cyfeiriad. Gan ddechrau gyda strwythur triclinig heb unrhyw briodwedd cymesuredd pellach yn cael ei dybio, gellir gyrru'r system i ddangos rhai priodweddau cymesuredd ychwanegol trwy gymhwyso Ail Ddeddf Newton.^[2] Caiff hyn ei wneud ar ronynnau yn y gell uned a hafaliad dynamig a ddatblygwyd yn ddiweddar ar gyfer fectorau cyfnod y system (paramedrau dellt gan gynnwys onglau), hyd yn oed os yw'r system yn destun straen allanol.