Obojetná množina

Obojetná množina (anglicky clopen set) je v topologických prostorech taková množina, které je současně otevřená i uzavřená. Existence takových množin se může zdát v rozporu s intuicí, protože v běžném použití jazyka je otevřený opakem uzavřeného, ale matematické definice těchto dvou pojmů se vzájemně nevylučují: množina je uzavřená, pokud její doplněk je otevřený, což ponechává možnost, že doplněk otevřené množiny je také otevřený, takže obě množiny jsou současně otevřené i uzavřené, a proto jsou obojetné.

V jakémkoli topologickém prostoru X jsou jak prázdná množina tak celý prostor X obojetnými množinami.^[1][2]

Pokud uvažujeme prostor X, který sestává ze sjednocení dvou otevřených intervalů (0,1) a (2,3) množiny R s topologie zděděnou od R, tj. s běžnou topologií na reálné ose R. V X je množina (0,1) obojetná, stejně jako množina (2,3). Toto je docela typický příklad: když je možné prostor rozložit na konečný počet disjunktních souvislých komponent, pak všechny komponenty budou obojetné.

Nechť je nyní X nekonečná množina s diskrétní metrikou, což znamená že dva body p, q z X mají vzdálenost 1, pokud nejsou stejným bodem a 0 jinak. V takovém metrickém prostoru je jakákoli jednoprvková množina otevřená; proto jakákoli množina, která je sjednocením jednotlivých bodů, je otevřená. Protože doplněk jakékoli množiny je uzavřený, všechny množiny v takovém metrickém prostoru jsou obojetné.

Jako méně triviální příklad uvažujme prostor Q všech racionálních čísel s obvyklou topologií a množinu A všech kladných racionálních čísel, jejichž druhá mocnina je větší než 2. S použitím faktu, že ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ nepatří do Q, můžeme docela snadno ukázat, že A je obojetnou podmnožinou Q. (A není obojetnou podmnožinou reálné osy R, protože v R není ani otevřená ani uzavřená.)

• Topologický prostor X je souvislý právě tehdy, když jeho jediné obojetné množiny jsou prázdná množina a celé X.
• Množina je obojetná právě tehdy, když její hranice je prázdná.^[3]
• Jakákoli obojetná množina je sjednocením (případně nekonečně mnoho) souvislých komponent.
• Pokud všechny souvislé komponenty X jsou otevřené (například pokud X má pouze konečně mnoho komponent nebo pokud X je lokálně souvislá), pak množina je obojetná v X právě tehdy, když je sjednocením souvislých komponent.
• Topologický prostor X je diskrétní právě tehdy, když všechny jeho podmnožiny jsou obojetné.
• Při použití operací sjednocení a průniku tvoří obojetné podmnožiny daného topologického prostoru X Booleovu algebru. Každou Booleovu algebru lze získat podobně z vhodného topologického prostoru: viz Stoneova věta o reprezentaci Booleových algeber.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Clopen set na anglické Wikipedii.

• MORRIS, Sidney A. Topology Without Tears [online]. [cit. 2021-04-16]. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2013-04-19.