Teorema de Heine-Cantor

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.

En matemàtiques, el teorema de Heine-Cantor, anomenat així per deure's a Eduard Heine i Georg Cantor, estableix que, si ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ és una funció contínua entre dos espais mètrics i ${\displaystyle M}$ és compacte, llavors ${\displaystyle f}$ és uniformement contínua.

La continuïtat uniforme d'una funció s'expressa com:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0\ \forall x,y\in M\ |\left(d_{M}(x,y)<\delta \Rightarrow d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon \right),}$

on ${\displaystyle d_{M}}$i ${\displaystyle d_{N}}$ són les funcions distància als espais mètrics ${\displaystyle M}$ i ${\displaystyle N}$, respectivament. Si ara assumim que ${\displaystyle f}$ és contínua a l'espai mètric compacte ${\displaystyle M}$ però no uniformement contínua, la negació de la continuïtat uniforme de ${\displaystyle f}$ s'escriu com:

${\displaystyle \exists \varepsilon _{0}>0\ \forall \delta >0\ \exists x,y\in M\ |\ {\big (}d_{M}(x,y)<\delta \wedge d_{N}(f(x),f(y))\geq \varepsilon _{0}{\big )}.}$

Triant ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$, per a tot ${\displaystyle \delta }$ positiu tenim dos punts ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle M}$ amb les propietats a dalt descrites.

Si triem ${\displaystyle \delta ={\frac {1}{n}}}$ per a ${\displaystyle n=1,2,3,...}$ obtenim dues successions ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ i ${\displaystyle \{y_{n}\}}$ tals que compleixen

${\displaystyle d_{M}(x_{n},y_{n})<{\frac {1}{n}}\wedge d_{N}(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \varepsilon _{0}.}$

Com que ${\displaystyle M}$ és compacte, el teorema de Bolzano-Weierstrass demostra l'existència de dues subsucesiones convergents (${\displaystyle x_{n_{k}}\rightarrow x_{0}}$ i ${\displaystyle y_{n_{k}}\rightarrow y_{0}}$). Aleshores

${\displaystyle d_{M}(x_{n_{k}},y_{n_{k}})<{\frac {1}{n_{k}}}\wedge d_{N}(f(x_{n_{k}}),f(y_{n_{k}}))\geq \varepsilon _{0}.}$

Definim ara la successió

${\displaystyle \{|x_{n_{k}}-y_{n_{k}}|\}=\{d_{M}(x_{n_{k}},y_{n_{k}})\}\leq {\bigg \{}{\frac {1}{n_{k}}}{\bigg \}}\rightarrow 0}$

Com que la successió ${\displaystyle \{|x_{n_{k}}-y_{n_{k}}|\}}$ no té termes negatius no pot convergir cap a un nombre negatiu, però per altra banda ${\displaystyle \{|x_{n_{k}}-y_{n_{k}}|\}\rightarrow l\leq 0\Longrightarrow l=0}$ Per tant

${\displaystyle \{x_{n_{k}}-y_{n_{k}}\}\rightarrow 0\Longrightarrow \{x_{n_{k}}-y_{n_{k}}\}\rightarrow x_{0}-y_{0}=0\Longrightarrow x_{0}=y_{0}}$

Com que ${\displaystyle f}$ és contínua a ${\displaystyle x_{0}}$, tenim que ${\displaystyle \{f(x_{n_{k}})\}\rightarrow f(x_{0})}$ i ${\displaystyle \{f(y_{n_{k}})\}\rightarrow f(x_{0})}$, és a dir, ${\displaystyle \{f(x_{n_{k}})-f(y_{n_{k}})\}\rightarrow 0}$. Però això no pot ser, ja que ${\displaystyle d_{N}(f(x_{n_{k}}),f(y_{n_{k}}))\geq \varepsilon _{0}}$.

La contradicció prova que la nostra suposició que ${\displaystyle f}$ no és uniformement contínua és absurda: llavors ${\displaystyle f}$ ha de ser uniformement contínua com afirma el teorema.

• Heine–Cantor theorem a PlanetMath
• Proof of Heine–Cantor theorem a PlanetMath