Conjunt obert

En matemàtiques, un conjunt obert (o simplement obert) és cadascun dels elements que conformen una topologia.^[1]

Per exemple, a ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ amb la topologia euclidiana, diem que ${\displaystyle (0,1)\,}$ és un conjunt obert, perquè per qualsevol valor ${\displaystyle x\,}$ tal que ${\displaystyle 0<x<1\,}$ sempre podrem trobar un valor ${\displaystyle \varepsilon >0\,}$ tal que la bola (obert de la topologia) ${\displaystyle (x-\varepsilon ,x+\varepsilon )\subset (0,1)\,}$.

En el cas anterior, si s'hagués agafat el conjunt ${\displaystyle (0,1]\,}$, no podríem dir el mateix, ja que per ${\displaystyle x=1\,}$ no existeix cap ${\displaystyle \varepsilon >0\,}$ que compleixi la condició.

El fet que un cert conjunt sigui obert o tancat no depèn dels elements de l'espai sinó també de la topologia que s'hi defineix. Així per exemple el cas anterior, ${\displaystyle (0,1)\,}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$, no és un obert si prenem la topologia grollera.

La topologia és l'àmbit més general en què trobem els conjunts oberts. En aquest context, el concepte de conjunt obert és fonamental.^[2]

Donat un conjunt ${\displaystyle \mathrm {X} \,}$, sigui ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ un conjunt qualsevol de subconjunts de ${\displaystyle \mathrm {X} \,}$, que compleix les següents propietats.

• La unió arbitrària de conjunts de ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ és un conjunt de ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$.
• La intersecció finita de conjunts de ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$, és un conjunt de ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$.
• Els conjunts ${\displaystyle \mathrm {X} \,}$ i ${\displaystyle \emptyset \,}$ pertanyen a ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$.

Amb aquestes condicions, ${\displaystyle \mathrm {X} \,}$ és un espai topològic, i a ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ se l'anomena topologia de ${\displaystyle \mathrm {X} \,}$, i per definició, els conjunts de ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ són conjunts oberts.

L'espai topològic ve especificat per la parella ${\displaystyle (\mathrm {X} ,\mathbf {T} )\,}$.

Cal observar que si es considera un conjunt ${\displaystyle \mathrm {X} \,}$ amb dues topologies diferents, ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ i ${\displaystyle \mathbf {T'} \,}$, es tenen dos espais topològics diferents.

En el cas dels espais mètrics, la definició de conjunt obert, es pot fer de la següent forma:^[3]

Sigui ${\displaystyle U\,}$ un subconjunt d'un espai mètric ${\displaystyle (M,d)\,}$, es dirà que ${\displaystyle U\,}$ és obert si:

${\displaystyle \forall x\in U,\exists \varepsilon >0\;|\;\forall y\in M,d(x,y)<\varepsilon \Rightarrow y\in U\,}$

En el cas dels espais vectorials normats, com espais mètrics que són, es pot dir que un conjunt ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}\,}$ és obert si:^[4]

${\displaystyle \forall x\in U,\exists \varepsilon >0\;|\;B_{\varepsilon }(x)\subset U\,}$

on ${\displaystyle B_{\varepsilon }(x)\,}$ és la bola centrada a ${\displaystyle x\,}$ i de radi ${\displaystyle \varepsilon \,}$

Un conjunt obert a ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$, té la propietat de ser una unió numerable d'intervals oberts. (${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ i ${\displaystyle \emptyset \,}$ també són oberts).

Cada subconjunt ${\displaystyle A\,}$ d'un espai topològic ${\displaystyle X\,}$ conté a un conjunt obert, tal vegada el conjunt buit. El més gran d'aquests conjunts oberts, s'anomena interior de ${\displaystyle A\,}$, que es pot construir buscant la unió de tots els conjunts oberts continguts en ${\displaystyle A\,}$.

Donats dos espais topològics, ${\displaystyle X,Y\,}$, una funció ${\displaystyle f:X\rightarrow Y\,}$ és contínua si la preimatge de cada conjunt obert en ${\displaystyle Y\,}$ és oberta en ${\displaystyle X\,}$.^[5]

• Conjunt tancat
• Transformada de Berezin