Harmonijski red (matematika)

Harmonijski red divergira u beskonačnost, iako to radi prilično sporo (suma prvih 10⁴³ članova iznosi manje od 100). Jedan od načina da dokažemo ovu divergenciju je da uočimo da je harmonijski red član po član veći ili jednak drugom divergentnom redu:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}>1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \cdots .\end{aligned}}}$ 

Suma beskonačno mnogo 1⁄2 očito divergira u beskonačnost, što znači da i harmonijski red divergira. Preciznije, ako je ${\displaystyle s_{2^{k}}}$  2^k-ta parcijalna suma harmonijskog reda, tada je

${\displaystyle s_{2^{k}}\geq 1+{k \over 2},}$ 

što očito divergira, ali sporo (po logaritamskom pravilu). Ovaj dokaz, zahvaljujući Nicoleu Oresmeu, je vrhunac srednjovijekovne matematike. Ovo je još uvijek standardni dokaz koji se i danas obrađuje na časovima matematike .

Drugi dokaz koristi Cauchyjev integralni test konvergencije, koji poredi harmonisjki red sa (divergentnim) integralom 1⁄x u granicama od 1 do beskonačnosti.

Čak i suma recipročnih prostih brojeva divergira u beskonačnost, iako to čini sporije; poznati dokazi ove činjenice su mnogo teži.

 

Alternativni harmonijski red konvergira:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\ln 2=0.6931471806\dots \,.}$ 

Ova jednakost posljedica je Mercatorovog reda, Taylorovog reda za prirodni logaritam. Druga jednakost, slična po formi Mercatorovom redu, je:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots =\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}.\!}$ 

Ovo je posljedica predstavljanja Taylorovog reda funkcije tangensa (koja ima radijus konvergencije 1).

ntta parcijalna suma divergentnog harmonijskog reda,

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},\!}$ 

naziva se n-ti harmonijski broj.

Razlika između n-tog harmonijskog borja i prirodnog logaritma od n konvergira u vrijednost Euler-Mascheroniove konstante.

Razlika između različitih harmonijskih brojava nikada nije cijeli broj.

Jeffrey Lagarias je, 2001. godine, dokazao da je Riemannova hipoteza logički jednaka iskazu

${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}}\qquad {\text{ za svako }}n\in \mathbb {N} ,\!}$ 

gdje σ(n) označava pozitivne djelioce broja n.^[1]

Opći harmonijski red je red u obliku

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}}.\!}$ 

Svi opći harmonijski redovi divergiraju.

p-red je red oblika

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},\!}$ 

za svaki pozitivan realan broj p. Red je uvijek konvergentan ako je p > 1 (u tom slučaju naziva se hiperharmonijski red), dok je divergentan u ostalim slučajevima. Za slučaj p = 1, red postaje harmonijski red. Ako je p > 1 tada je suma red ζ(p), npr., Riemannova zeta-funkcija izračunata u p.

Byron Schmuland sa Univerziteta u Alberti ispitao je^[2][3] osobine slučajnog harmonijskog reda

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},\!}$ 

gdje su s_n nezavisne, identično raspoređene slučajne promjenljive koje imaju vrijednost +1 i −1, sa jednakom vjerovatnoćom od 1⁄2. Pokazao je da ova suma konvergira sa vjerovatnoćom 1, te da je konvergentna slučajna promjeljiva sa nekim interesantnim osobinama. Na primjer, funkcija gustine ove slučajne varijable je izračunata da na +2 ili na −2 ima vrijednost 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 ..., razlikujući se od 1⁄8 za manje od 10⁻⁴². Schmulandov rad objašnjava zašto je ova vjerovatnoća blizu, ali ne iznosi tačno 1⁄8.

Za "iscrpljeni" harmonijski red, gdje su svi članovi sa brojem 9 u nazivniku uklonjeni, može se pokazati da konvergira, te da je njegova vrijednost manja od 80.^[4] U stvari, kada se bilo koji član, koji sadrži neki niz brojeva, ukljoni, red opet konvergira.

• Kompleksni logaritam
• Harmonijski brojnumber
• Riemannova zeta-funkcija
• Mnogo dokaza divergencije harmonijskih redova : "The Harmonic Series Diverges Again and Again", The AMATYC Review, 27 (2006), str. 31-43.