দৈব চলক

দৈব চলক (Random quantity, aleatory variable অথবা stochastic variable) হলো কোনও রাশি বা কোনো বস্তুর এমন এক প্রকার গাণিতিক বিন্যাস যা দৈব (র‍্যান্ডম) ঘটনার উপর নির্ভর করে। "র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল" পরিভাষাটি বিভ্রান্তিকর হতে পারে কারণ এর গাণিতিক সংজ্ঞাটি দৈব(র‍্যান্ডম) নয় অথবা চলরাশিও(ভ্যারিয়েবল) নয়, বরং এটি একটি ফাংশন যা সম্ভাব্য ফলাফলের(উদাহরণ : টস করা মুদ্রার সম্ভাব্য ফলাফল হল হেড ${\displaystyle H}$ অথবা টেল ${\displaystyle T}$) নমুনাক্ষেত্র(উদাহরণ : সেটটি হল${\displaystyle \{H,T\}}$) থেকে বাস্তব সংখ্যার পরিমাপযোগ্য স্থানে(মেজারেবেল স্পেস)(উদাহরণ : ${\displaystyle \{-1,1\}}$) যেখানে ${\displaystyle 1,H}$এর সমতুল্য এবং ${\displaystyle -1,T}$এর সমতুল্যরূপে ব্যবহৃত হয়) সংজ্ঞায়িত।

যদৃচ্ছতা(randomness) বলতে বোঝায় বিভিন্ন সুযোগের কিছু মৌলিক উপাদান, যেমন ছক্কার একটি দান, অবশ্যই অনিশ্চয়তাকেও বোঝায়। যেমন পরিমাপের ত্রুটি, তবে সম্ভাবনার ব্যাখ্যা দার্শনিকভাবে খুবই জটিল এবং বেশিরভাগ ক্ষেত্রে এটি সহজবোধ্য নয়। দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের বিশুদ্ধ গাণিতিক বিশ্লেষণ যদিও ব্যাখ্যামূলক ঝঞ্ঝাট থেকে মুক্ত এবং স্বতঃসিদ্ধ সম্পর্কিত বিন্যাসের(সেট-আপ) উপর ভিত্তি করে গঠিত।

পরিমাপ(মেজার) তত্ত্বের যথাযথ গাণিতিক ভাষায়, দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল হল একটি পরিমাপযোগ্য(মেজারেবল) ফাংশন যা একটি সম্ভাবনা পরিমাপ স্থান(নমুনা স্থান) থেকে অপর একটি পরিমাপ যোগ্য স্পেসে সংজ্ঞায়িত। এর থেকে পুশ্ ফরওয়ার্ড মেজার সম্পর্কে বিবেচনা করা যায় যাকে দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের বণ্টন বলা হয়। এই বণ্টনটি, তাই দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের সমস্ত সম্ভাব্য মানগুলির সেটের উপর একটি সম্ভাবনা মেজার। দুটি দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের একই বণ্টন থাকতে পারে কিন্তু কিছু উল্লেখযোগ্য দিক থেকে তারা পৃথক হতে পারে, যেমন হয়তো তারা একে অপরের উপর নির্ভরশীল নয়।

সাধারণভাবেই অসংলগ্ন(discrete) দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল এবং সম্পূর্ণভাবে ধারাবাহিক(continuous) দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের আলাদা কেস নিয়ে বিচার করা হয়, যেখানে দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল একটি গণনাযোগ্য সাবসেটে অথবা একটি বাস্তব সংখ্যার বন্ধনীর মধ্যে স্থিত। আরও কিছু গুরুত্বপূর্ণ সম্ভাবনা আছে, বিশেষ করে স্টোকাস্টিক পদ্ধতির তত্ত্বে যেখানে দৈব(র‍্যান্ডম) ক্রম(সিকোয়েন্স) অথবা দৈব(র‍্যান্ডম) ফাংশন বিবেচনা করা হয়। কিছু কিছু ক্ষেত্রে একটি দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলকে বাস্তব সংখ্যার মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় ও আরও সাধারণ দৈব(র‍্যান্ডম) রাশিও ব্যবহৃত হয়।

জর্জ ম্যাকির মতে প্যাফনুটি চেব্যশেভ দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল নিয়ে প্রথম চিন্তাভাবনা শুরু করেন।

একটি দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল ${\displaystyle X}$ বলতে বোঝায় একটি পরিমাপযোগ্য(মেজারেবেল) ফাংশন ${\displaystyle X\colon \Omega \to E}$ যা নমুনাক্ষেত্র ${\displaystyle \Omega }$ (যা একটি সম্ভাব্য ফলাফলের সেট) থেকে পরিমাপযোগ্য(মেজারেবেল) স্থান ${\displaystyle E}$-তে সংজ্ঞায়িত। ব্যবহারিক স্বতঃসিদ্ধ সম্পর্কিত সংজ্ঞা অনুযায়ী নমুনা স্থান ${\displaystyle \Omega }$ হল একটি ত্রিমাত্রিক নমুনা স্থান ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ (দ্রষ্টব্য : পরিমাপতত্ত্বের সংজ্ঞা)। দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল বেশিরভাগ ক্ষেত্রে বড়হাতের রোমান অক্ষর যেমন ${\displaystyle X,Y,Z,T}$ দ্বারা নির্দেশিত।

${\displaystyle X}$, পরিমাপযোগ্য সেট ${\displaystyle S\subseteq E}$-এর মান নেবে তার সম্ভাবনা হল ${\displaystyle \operatorname {P} (X\in S)=\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in S\})}$

বেশিরভাগ ক্ষেত্রে ${\displaystyle X}$-এর মান হল বাস্তব সংখ্যা অর্থাৎ ${\displaystyle E=\mathbb {R} }$, কিছু প্রসঙ্গে দৈব(র‍্যান্ডম) উপাদান পরিভাষাটির ব্যবহার করা হয় সেই সমস্ত র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলকে বোঝাতে যাদের ক্ষেত্রে ${\displaystyle E=\mathbb {R} }$ নয়।

যখন ${\displaystyle X}$-এর প্রতিবিম্ব (বা রেঞ্জ) সসীম বা অসীম কিন্তু গণনাযোগ্য তখন দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলকে অসংলগ্ন দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল এবং এর বণ্টনকে অসংলগ্ন সম্ভাবনা বণ্টন বলা হয়, অর্থাৎ এটিকে বর্ণনা করা যায় সম্ভাব্যতা ভর ফাংশনের মাধ্যমে যা ${\displaystyle X}$-এর প্রতিটি প্রতিবিম্বকে একটি করে সম্ভাবনা দেয়। যদি প্রতিবিম্ব অসীম এবং অগণিত (বন্ধনী) হয় তখন ${\displaystyle X}$-কে ধারাবাহিক দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল বলা হয়। কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে যখন প্রতিবিম্ব সম্পূর্ণরূপে ধারাবাহিক তখন এর বণ্টনকে বর্ণনা করা যায় সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন দ্বারা যা প্রতিটি বন্ধনীতে একটি সম্ভাবনা মান দেয়। উল্লেখ্য, প্রতিটি পৃথক পৃথক বিন্দুর সম্পূর্ণরূপে ধারাবাহিক দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের ক্ষেত্রে সম্ভাবনার মান শূন্য, সব ধারাবাহিক দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল সম্পূর্ণভাবে ধারাবাহিক দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল নয়।

যেকোনো দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলকে তার ক্রমবর্ধমান বণ্টন ফাংশনের মাধ্যমে বর্ণনা করা যায় যার অর্থ ওই দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের সম্ভাবনা একটি নির্দিষ্ট মান বা তার থেকে কম হবে।

র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল পরিভাষাটি পরিসংখ্যান বিদ্যায় শুধুমাত্র বাস্তব মানের কেসগুলির মধ্যে সীমাবদ্ধ (${\displaystyle E=\mathbb {R} }$) এইক্ষেত্রে বাস্তব সংখ্যার গঠনের ফলে দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের প্রত্যাশিত মান , ভেদ, ক্রমবর্ধমান বণ্টন ফাংশন, এবং এর বণ্টনের মোমেন্ট সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব।

যদিও উপরিউক্ত সংজ্ঞাটি যেকোনো পরিমাপযোগ্য স্থান ${\displaystyle E}$-এর মানের জন্য যুক্তিযুক্ত। তাই ${\displaystyle E}$ সেটকে অন্যান্য দৈব(র‍্যান্ডম) উপাদানের সেট হিসেবেও ধরা যেতে পারে। যেমন - দৈব(র‍্যান্ডম) বুলিয়ান মান, সুনির্দিষ্ট(categorical) মান, জটিল সংখ্যা, বিভিন্ন ভেক্টর রাশি, ম্যাট্রিক্স, ক্রম(সিকোয়েন্স), ট্রি,সেট, বিভিন্ন আকৃতি, ম্যানিফোল্ড এবং ফাংশন। বিশেষভাবে ${\displaystyle E}$ টাইপের দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলকেও সংজ্ঞায়িত করা যায় যা হলো ${\displaystyle E}$-মানের দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের।

দৈব(র‍্যান্ডম) উপাদানের এই সাধারণীকৃত ধারণা ব্যবহৃত হয় গ্রাফ তত্ত্ব, মেশিন লার্নিং, প্রাকৃতিক ভাষা প্রক্রিয়াকরণ এবং অসংলগ্ন গণিতের অন্যান্য ক্ষেত্রে ও কম্পিউটার বিজ্ঞানে যেখানে সংখ্যাগত নয় এমন ডেটা স্ট্রাকচার বিশিষ্ট দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের মডেলিং করা হয়। কিছু কিছু ক্ষেত্রে ${\displaystyle E}$-এর প্রত্যেকটি উপাদানকে এক বা একাধিক বাস্তব সংখ্যার মাধ্যমে প্রকাশ করা সুবিধাজনক। এই ক্ষেত্রে দৈব(র‍্যান্ডম) উপাদানকে একটি বাস্তব মানের দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের ভেক্টর হিসেবে উপস্থাপিত করা যায়।

উদাহরণ :

• ধরা যাক একটি দৈব(র‍্যান্ডম) শব্দ যাকে একটি দৈব(র‍্যান্ডম) পূর্ণসংখ্যা দ্বারা উপস্থাপনা করা হচ্ছে এবং একটি সম্ভাব্য শব্দের শব্দকোষে এটি একটি সূচকরুপে কাজ করে। আবার এটিকে র‍্যান্ডম নির্দেশকের ভেক্টর হিসেবে উপস্থাপন করা যায় যার দৈর্ঘ্য শব্দকোষের আকারের সাথে সমান, যেখানে সম্ভাব্য ধনাত্মক মানগুলি হল ${\displaystyle (1\ 0\ 0\ 0\ \cdots )}$, ${\displaystyle (0\ 1\ 0\ 0\ \cdots )}$, ${\displaystyle (0\ 0\ 1\ 0\ \cdots )}$ এবং এখানে ${\displaystyle 1}$-এর স্থান দ্বারা নির্দেশিত হয় শব্দের স্থান।

• ${\displaystyle N}$ দৈর্ঘ্যের একটি র‍্যান্ডম বাক্য উপস্থাপিত হতে পারে ${\displaystyle N}$টি র‍্যান্ডম শব্দের ভেক্টর হিসেবে।

• ${\displaystyle N}$ শীর্ষবিন্দুর একটি র‍্যান্ডম গ্রাফকে উপস্থাপিত করা যায় ${\displaystyle N\times N}$ র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের ম্যাট্রিক্স-এর মাধ্যমে যা সেই র‍্যান্ডম গ্রাফটির অন্তিক (adjacency) ম্যাট্রিক্স।

• একটি র‍্যান্ডম ফাংশন ${\displaystyle F}$ উপস্থাপন করা হয় ${\displaystyle F(x)}$ র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের সংকলন নিয়ে যা ফাংশনের ডোমেইনের বিভিন্ন ${\displaystyle x}$-এর জন্য পৃথক মান দেয়। ${\displaystyle F(x)}$ গুলি সাধারণ বাস্তব মান বিশিষ্ট র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল হবে শুধুমাত্র এই শর্তে যে ফাংশনটিও আসলে একটি বাস্তব মানের ফাংশন।উদাহরণ : স্টোকাস্টিক পদ্ধতি হল সময়ের র‍্যান্ডম ফাংশন, একটি র‍্যান্ডম ভেক্টর হল ${\displaystyle 1,2,.....,n}$ ইত্যাদি নির্দেশক সেটের র‍্যান্ডম ফাংশন এবং র‍্যান্ডম ফিল্ড হল যেকোনো সেটের(বিশেষ করে সময়, স্থান অথবা একটি অসংলগ্ন সেট) উপর র‍্যান্ডম ফাংশন।

যদি একটি দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ একটি প্রদত্ত সম্ভাবনা স্থান ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$-এর উপর সংজ্ঞায়িত হয় তবে আমরা প্রশ্ন করতে পারি "${\displaystyle X}$-এর মান ${\displaystyle 2}$ হবার সুযোগ কত?" এইটিই হল ${\displaystyle \{\omega :X(\omega )=2\}\,\!}$ এই ঘটনার সম্ভাবনা। যা বেশিরভাগ সময় ${\displaystyle P(X=2)\,\!}$ বা ${\displaystyle p_{X}(2)}$ আকারে সংক্ষেপে লেখা হয়।

একটি দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল ${\displaystyle X}$- এর সমস্ত আউটপুটের সম্ভাবনা নথিভুক্ত করার পর তার থেকে ${\displaystyle X}$- এর সম্ভব্যতা বণ্টন পাওয়া যায়। সম্ভব্যতা বণ্টন, ${\displaystyle X}$-কে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত সম্ভাবনা স্থানের উপর নির্ভরশীল নয় এবং এটি শুধুমাত্র ${\displaystyle X}$- এর বিভিন্ন আউটপুট মানের সম্ভাবনা নথিভুক্ত করে। এই ধরনের সম্ভাব্যতা বণ্টনে যদি ${\displaystyle X}$- এর মান বাস্তব হয় তবে ক্রমবর্ধমান বণ্টন ফাংশনের সাহায্যে তা নির্ণয় করা যায় ${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}$

অথবা কখনও সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের মাধ্যমেও নির্ণয় করা যায়। মেজার তত্ত্বের পরিভাষায় আমরা দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল ${\displaystyle X}$-কে ব্যবহার করে ${\displaystyle \Omega }$- এর উপর কার্যকরী ${\displaystyle P}$ মেজারকে ${\displaystyle \mathbb {R} }$ - এর উপর কার্যকরী ${\displaystyle p_{x}}$ মেজারে এগিয়ে (পুশ ফরওয়ার্ড) দেই, এই ${\displaystyle p_{x}}$ মেজারকেই বলা হয় "${\displaystyle X}$-এর সম্ভাব্যতা বণ্টন" বা "law of ${\displaystyle X}$"। ঘনত্ব ${\displaystyle f_{X}=dp_{X}/d\mu }$ কে বলা হয় ${\displaystyle \mathbb {R} }$-এর রেফারেন্স পরিমাপ(মেজার) ${\displaystyle \mu }$-এর সাপেক্ষে ${\displaystyle p_{x}}$- রান্ডন নিকোডাইম অন্তরকলজ।(প্রায় ধারাবাহিক দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের ক্ষেত্রে অথবা অসংলগ্ন দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলে গণনাযোগ্য মেজারের ক্ষেত্রে এই রেফারেন্স মেজারকে লেবেগ(lebesgue) মেজার বলা হয়।) ${\displaystyle \Omega }$ সম্ভাবনা স্থানটির ব্যবহারিক প্রয়োগ দেখা যায় দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের অস্তিত্ব প্রমাণ করতে অথবা দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল গঠন করতে অথবা একই স্থানে দুই বা ততোধিক দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের মধ্যে যৌথ বণ্টনের উপর ভিত্তি করে পারস্পরিক সম্পর্ক, নির্ভরতা এবং পরস্পরের থেকে পরস্পরের স্বাধীনতা সংজ্ঞায়িত করা। অভ্যাসের সময় প্রায়শই ${\displaystyle \Omega }$ স্থানটির নিষ্পত্তি করা যেতে পারে যদি ${\displaystyle \mathbb {R} }$ এর উপর এমন একটি মেজার পাওয়া যায় যা সমগ্র বাস্তব সংখ্যা রেখায় ${\displaystyle 1}$ মেজার বরাদ্দ করে। অর্থাৎ এই ক্ষেত্রে দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের পরিবর্তে সম্ভাব্যতা বণ্টন ফাংশনের সাথে কাজ করা হয়।

একটি পরীক্ষা করা যাক যেখানে একজন ব্যক্তি র‍্যান্ডম ভাবে নির্বাচিত হল। র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের একটি উদাহরণ হলো ব্যক্তির উচ্চতা। গাণিতিকভাবে, র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলটিকে একটি ফাংশন হিসাবে ব্যাখ্যা করা যায় যা ব্যক্তিকে তার উচ্চতার সাথে সম্পর্কযুক্ত করে। র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের সাথে যুক্ত এই সম্ভাব্যতা বন্টন এখন সম্ভাব্য মানের যে কোনো সাবসেটে থাকা উচ্চতার সম্ভাবনা মান গণনা করতে দেয়, যেমন সম্ভাবনা আছে যে উচ্চতা 180 এবং 190সেমি এর মধ্যে হবে অথবা উচ্চতা হয় 150-এর কম বা 200সেমি-এর বেশি হবে এমন সম্ভাবনাও আছে।

আরেকটি র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের উদাহরণ হলো একজন ব্যক্তির সন্তান সংখ্যা; এটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার মান বিশিষ্ট একটি অসংলগ্ন র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল। এটি পৃথক পৃথক পূর্ণসংখ্যার জন্য সম্ভাব্যতা গণনার অনুমতি দেয় - সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন (PMF) - বা অসীম সেট সহ বিভিন্ন মানের সেটের জন্য। উদাহরণস্বরূপ, প্রদত্ত ঘটনাটি হল "জোড় সংখ্যা বিশিষ্ট শিশু"। উভয় সসীম এবং অসীম ইভেন্ট সেটের জন্য, উপাদানগুলির PMF যোগ করে তাদের সম্ভাব্যতা পাওয়া যেতে পারে; অর্থাৎ, একটি জোড় সংখ্যা সন্তানের সম্ভাবনা হবে নিম্নলিখিত অসীম যোগফলের রাশিটি

${\displaystyle \operatorname {PMF} (0)+\operatorname {PMF} (2)+\operatorname {PMF} (4)+\cdots }$.

এই ধরনের উদাহরণগুলিতে, নমুনা স্থানটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা নেয় না, যেহেতু এটি গাণিতিকভাবে বর্ণনা করা কঠিন, এবং র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের সম্ভাব্য মানগুলিকে তখন নমুনা স্থান হিসাবে বিবেচনা করা হয়। কিন্তু যখন দুটি র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের পরিমাপ করা হয় ফলাফলের একই নমুনা স্থানের উপর, যেমন একই র‍্যান্ডম ব্যক্তিদের উচ্চতা এবং সন্তান-সংখ্যা গণনা করা হয়, তখন তাদের সম্পর্ক ট্র্যাক করা সহজ হয় যদি এটা স্বীকার করে নেওয়া হয় যে উচ্চতা এবং সন্তান-সংখ্যা উভয়ই একই র‍্যান্ডম ব্যক্তির কাছ থেকে গ্রহণ করা হচ্ছে, উদাহরণস্বরূপ যাতে এই ধরনের র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলগুলি পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত কিনা তা নিয়ে প্রশ্ন করা যেতে পারে।

যদি ${\textstyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}}$ বাস্তব সংখ্যার গণনাযোগ্য সেট হয় , ${\textstyle b_{n}>0}$ এবং ${\textstyle \sum _{n}b_{n}=1}$ তবে ${\textstyle F=\sum _{n}b_{n}\delta _{a_{n}}(x)}$ হল অসংলগ্ন বণ্টন ফাংশন। এখানে ${\displaystyle \delta _{t}(x)=0}$ যখন ${\displaystyle x<t}$, ${\displaystyle \delta _{t}(x)=1}$ যখন ${\displaystyle x\geq t}$ দৃষ্টান্ত হিসেবে মূলদ সংখ্যার গণনা নেওয়া যেতে পারে হিসেবে, এর থেকে অসংলগ্ন ফাংশন পাওয়া যাবে যেটি বিচ্ছিন্ন ব্যবধানে ধ্রুবক নাও হতে পারে।

একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করলে তার সম্ভাব্য ফলাফলগুলিকে নমুনা স্থান হিসেবে বর্ণনা করা যেতে পারে ${\displaystyle \Omega =\{{\text{heads}},{\text{tails}}\}}$ আমরা একটি বাস্তব মানের র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল ${\displaystyle Y}$ ধরে নিলাম যার মাধ্যমে প্রতিবার head আসার জন্য $1 করে পাওয়া যাবে, সুতরাং

$${\displaystyle Y(\omega )={\begin{cases}1,&{\text{if }}\omega ={\text{heads}},\\[6pt]0,&{\text{if }}\omega ={\text{tails}}.\end{cases}}}$$

যদি মুদ্রাটি নিরপেক্ষ মুদ্রা হয় তবে ${\displaystyle Y}$-এর সম্ভাব্যতা ভর ফাংশনটি হলো ${\displaystyle f_{Y}}$, অর্থাৎ

$${\displaystyle f_{Y}(y)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}},&{\text{if }}y=1,\\[6pt]{\tfrac {1}{2}},&{\text{if }}y=0,\end{cases}}}$$

ছক্কার ঘূর্ণন এবং সম্ভাব্য ফলাফল বর্ণনা করতে র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের ব্যবহার হয়। দুই-ডাইস-এর জন্য সবচেয়ে সুস্পষ্ট উপস্থাপনা হল নমুনা স্থান হিসাবে {1, 2, 3, 4, 5, 6}(দুটি ছক্কার দান উপস্থাপনকারী সেট) থেকে n1 এবং n2 সংখ্যা-জোড়ার সেট নেওয়া। ঘূর্ণিত মোট সংখ্যা (প্রতিটি জোড়ার সংখ্যার যোগফল) হল একটি র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল X যা প্রতিটি জোড়াকে যোগফলের সাথে সম্পর্কযুক্ত করে এমন ফাংশন দ্বারা প্রদত্ত : $${\displaystyle X((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2}}$$ (যদি ছক্কাটি নিরপেক্ষ হয়) এর সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন ${\displaystyle f_{X}}$ হল $${\displaystyle f_{X}(S)={\frac {\min(S-1,13-S)}{36}},{\text{ for }}S\in \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}}$$

একটি ধারাবাহিক র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল হল আসলে এমন একটি র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল যার ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন সর্বত্র ধারাবাহিক। এখানে কোন "ফাঁক" নেই, যা এমন কোনো সংখ্যার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ হবে যার সংঘটিত হওয়ার সসীম সম্ভাবনা রয়েছে। অন্যদিকে, ধারাবাহিক র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলগুলি প্রায় কখনই কোনো নির্দিষ্ট নির্ধারিত মান c গ্রহণ করে না ( ${\textstyle \forall c\in \mathbb {R} :\;\Pr(X=c)=0}$ কিন্তু একটি ইতিবাচক সম্ভাবনা রয়েছে যে এর মান নির্দিষ্ট বন্ধনীতে(interval) থাকে যা ইচ্ছানুসারে ছোট করা যেতে পারে। ধারাবাহিক র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের সাধারণত সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের (PDF) অস্তিত্ব আছে, যা তাদের CDF এবং সম্ভাব্যতা পরিমাপকে চিহ্নিত করে; এই জাতীয় বণ্টনগুলিকে সম্পূর্ণরূপে ধারাবাহিক বলা হয়; কিন্তু কিছু ধারাবাহিক বন্টনে এককতা (সিংগুলারিটি)দেখা যায়, বা এরা সম্পূর্ণরূপে ধারাবাহিক অংশ এবং সিঙ্গুলার অংশের মিশ্রণ।

ধারাবাহিক র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের একটি উদাহরণ হল একটি স্পিনারের উপর নির্ভরশীল যা একটি অনুভূমিক দিক বেছে নিতে পারে। তারপর র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল দ্বারা গৃহীত মানগুলি হল দিকনির্দেশ। আমরা উত্তর, পশ্চিম, পূর্ব, দক্ষিণ, দক্ষিণ-পূর্ব, ইত্যাদি দ্বারা এই দিকগুলিকে উপস্থাপন করতে পারি৷ তবে,আরও সুবিধাজনক হয় যদি নমুনা স্থানটিকে এমন একটি র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলে ম্যাপ করা যায় যা বাস্তব সংখ্যার মান নেয়৷ এটি করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, উত্তরদিক থেকে ঘড়ির কাঁটার দিকে ডিগ্রীতে যেকোনো একটি দিক ম্যাপ করা হলো। র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের এরপর [0, 360) ব্যবধানে যেকোনো বাস্তব সংখ্যা মান হিসেবে গ্রহণ করে,এই ব্যবধানের সমস্ত অংশ "সমান সম্ভাবনা" বর্তমান। এই ক্ষেত্রে, X = প্রদত্ত কোণ। যেকোনো বাস্তব সংখ্যার নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা শূন্য হতে পারে, কিন্তু একটি ধনাত্মক সম্ভাবনা মানগুলির যেকোনো পরিসরে বরাদ্দ করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, [0, 180]-এ একটি সংখ্যা বেছে নেওয়ার সম্ভাবনা হল 1⁄2। সম্ভাব্যতা ভর ফাংশনের পরিবর্তে, আমরা বলি যে X এর সম্ভাব্যতার ঘনত্ব হল 1/360। [0, 360) সেটের সাবসেটের সম্ভাবনা পরিমাপ করা যায় সেটের মেজারকে 1/360 দ্বারা গুণ করে। সাধারণভাবে, প্রদত্ত ধারাবাহিক র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের জন্য একটি সেটের সম্ভাব্যতা সেই প্রদত্ত সেটের উপর ঘনত্বের সমাকলন করে গণনা করা সম্ভব।

প্রদত্ত যেকোনো বন্ধনীর জন্য ${\textstyle I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}}$, র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল ${\displaystyle X_{I}\sim \operatorname {U} (I)=\operatorname {U} [a,b]}$কে একটি ধারাবাহিক ইউনিফর্ম র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল বলা হয় যদি এর উপবন্ধনী থেকে মান নেবার সম্ভাবনা সেই উপবন্ধনীর দৈর্ঘ্যের উপর নির্ভর করে। এর থেকে বোঝা যায় যে যেকোনো বন্ধনী ${\displaystyle [c,d]\subseteq [a,b]}$ এর উপর ${\displaystyle X_{I}}$ এর সম্ভাবনা ওই উপবন্ধনীর দৈর্ঘ্যের সাথে সমানুপাতিক হবে, অর্থাৎ, যদি a ≤ c ≤ d ≤ b হয় তবে $${\displaystyle \Pr \left(X_{I}\in [c,d]\right)={\frac {d-c}{b-a}}}$$

একটি CURV ${\displaystyle X\sim \operatorname {U} [a,b]}$ এর সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন পাওয়া যায় তার নির্দেশক ফাংশনের বন্ধনী থেকে যা বন্ধনীর দৈর্ঘ্য দ্বারা নর্মালাইজড করা থাকে : $${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}\displaystyle {1 \over b-a},&a\leq x\leq b\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

একক বন্ধনীতে অভিন্ন বন্টনের ক্ষেত্রে বিশেষ ঘটনা লক্ষ্য করা যায়। যেকোনো পছন্দসই সম্ভাব্যতা বন্টনের নমুনা ${\displaystyle D}$ তৈরি করা যেতে পারে ${\displaystyle D}$ এর কোয়ান্টাইল ফাংশন গণনা করে যা র‍্যান্ডমভাবে উৎপন্ন সংখ্যার উপর একক বন্ধনীতে সমানভাবে বিতরণ করা হয়। এটি ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলিকে কাজে লাগায়, যা সমস্ত র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের জন্য একীভূত কাঠামোরূপে কাজ করে।

একটি মিশ্র র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল হল এমন একটি র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল যার ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন অসংলগ্নও নয় বা সর্বত্র-ধারাবাহিকও নয়। এই র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলকে অসংলগ্ন এবং ধারাবাহিক র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের মিশ্রণ হিসাবে উপলব্ধি করা যেতে পারে; যে ক্ষেত্রে এর CDF হবে কম্পোনেন্ট ভ্যারিয়েবলগুলির CDF-এর ওজনযুক্ত গড়।

মিশ্র র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের উদাহরণটি একটি পরীক্ষার উপর ভিত্তি করে গঠিত যেখানে একটি মুদ্রা উল্টানো হয় এবং স্পিনারটি কেবল তখনই কাটা হয় যদি মুদ্রা টসের ফলাফল হেড হয়। যদি ফলাফলটি টেইল হয়, তবে X = −1; নয়তো X = পূর্বোক্ত উদাহরণে স্পিনারের মান। এই র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের মান −1 হবে এর সম্ভাবনা 1⁄2 । অন্যান্য পরিসরে অবস্থিত মানগুলির শেষ উদাহরণের সম্ভাব্য মানের অর্ধেক সম্ভাবনা থাকবে।

সাধারণত, বাস্তব সংখ্যারেখার প্রতিটি সম্ভাব্যতা বণ্টন হল অসংলগ্ন অংশ, সিঙ্গুলার অংশ এবং একটি সম্পূর্ণ ধারাবাহিক অংশের মিশ্রণ; লেবেগের(lebesgue) ডিকম্পজিশন উপপাদ্য § রিফাইনমেন্ট দ্রষ্টব্য। বিচ্ছিন্ন অংশটি একটি গণনাযোগ্য সেটে কেন্দ্রীভূত, তবে এই সেটটি সান্দ্র(dense) হতে পারে (সমস্ত মূলদ সংখ্যার সেটের মতো)।

একটি দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের সবচেয়ে যুক্তিযুক্ত, স্বতঃসিদ্ধ অনুসরণকারী সংজ্ঞাটি হলো পরিমাপ তত্ত্বের সংজ্ঞা। ধারাবাহিক দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলগুলিকে সংখ্যার, সেটের পরিপ্রেক্ষিতে এবং তার সাথে যে ফাংশনগুলি ওই সেটগুলিকে সম্ভাবনার সাথে সম্পর্কযুক্ত করে, তাদের সাহায্যে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই ধরনের সেটগুলি অপর্যাপ্তভাবে সীমাবদ্ধ থাকার ফলে উদ্ভূত বিভিন্ন সমস্যার (যেমন ব্যানাচ-তারস্কি প্যারাডক্স) ফলে সিগমা-বীজগণিত ব্যাবহার করা হয় যাতে যে সমস্ত সেট গুলির উপর সম্ভাবনা সংজ্ঞায়িত তাদের সীমাবদ্ধ করা যায় । সাধারণত, এই ধরনের একটি নির্দিষ্ট সিগমা-বীজগণিত ব্যবহার করা হয়, বোরেল σ-বীজগণিত, যার সাহায্যে যেকোনো সেট, যেটি কোনো সংখ্যার ধারাবাহিক বন্ধনী থেকে বা একটি সসীম বা গণনাযোগ্য সংখ্যার বন্ধনীর মিলন(ইউনিয়ন) বা ছেদ(ইন্টারসেকশন) থেকে সৃষ্ট তা থেকে সম্ভাবনা তত্ত্বকে সংজ্ঞায়িত করা যায়।

মেজার তত্ত্বের সংজ্ঞাটি হল:

ধরা যাক,${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$একটি সম্ভাবনা স্থান এবং ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ একটি মেজারেবল স্থান। একটি ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ মানের দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল হল একটি মেজারেবল ফাংশন অর্থাৎ ${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$ এরকম প্রতিটি সাবসেটের জন্য এর প্রাক প্রতিবিম্ব ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-measurable; ${\displaystyle X^{-1}(B)\in {\mathcal {F}}}$, যেখানে ${\displaystyle X^{-1}(B)=\{\omega :X(\omega )\in B\}}$। এই সংজ্ঞা আমাদের যেকোনো ${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$ সাবসেটের নির্ধারিত স্থানে পরিমাপের জন্য সাহায্য করে শুধুমাত্র সেটটির প্রাক প্রতিবিম্ব কাজে লাগিয়ে, যেটি মেজারেবল বলে শুরুতেই ধরে নেওয়া হয়েছে।

${\displaystyle \Omega }$-এর একটি উপাদানকে বলা হয় সম্ভাব্য ফলাফল, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ এর একটি উপাদান হল সম্ভাব্য ফলাফলের মেজারেবল সাবসেট, ${\displaystyle P}$ যেখানে প্রতিটি মেজারেবল সাবসেটের সম্ভাবনার মান দেয়, ${\displaystyle E}$ সেই সমস্ত সেটকে উপস্থাপনা করে যার মান বিভিন্ন দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল গ্রহণ করে(যেমন বাস্তব সংখ্যার সেট)এবং ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$এর একটি উপাদান হল ${\displaystyle E}$এর পরিমাপযোগ্য সাবসেট। তাহলে দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল হলো যেকোনো ফলাফল থেকে একটি মানে সংজ্ঞায়িত হওয়া ফাংশন যাতে দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের জন্য মানের যেকোনো ব্যবহারিক সাবসেটে নিয়ে যাওয়া ফলাফলগুলির একটি সম্ভাব্য মান থাকবে।

যখন ${\displaystyle E}$ একটি টপোলজিকাল স্থান তখন σ-বীজগণিত ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ এর জন্য সাধারণ চয়ন হলো বোরেল σ-বীজগণিত ${\displaystyle {\mathcal {B}}(E)}$ যেটি হলো ${\displaystyle E}$ এর সমস্ত ওপেন সেটের দ্বারা উৎপন্ন σ-বীজগণিত। এখন ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ মানের দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলগুলিকে ${\displaystyle E}$ মানের দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল বলা হয়। যখন ${\displaystyle E}$ স্থানটি হল বাস্তব সংখ্যা রেখা ${\displaystyle \mathbb {R} }$ তখন বাস্তব মানের দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলগুলিকে শুধু দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল বলা হয়।

এই ঘটনায় পর্যবেক্ষণ স্থানটি হল বাস্তব সংখ্যার সেট। ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ হলো সম্ভাবনা স্থান। একটি বাস্তব পর্যবেক্ষণ স্থানের জন্য ${\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ ফাংশনটি বাস্তব মান বিশিষ্ট দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের ফাংশন হবে যদি

${\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}\in {\mathcal {F}}\qquad \forall r\in \mathbb {R} .}$

এই সংজ্ঞাটি পূর্বোক্ত সংজ্ঞারই একটি বিশেষ ঘটনা কারণ ${\displaystyle \{(-\infty ,r]:r\in \mathbb {R} \}}$ সেটটি বাস্তব সংখ্যার সেটের উপর একটি বোরেল সিগমা-বীজগণিত গঠন করে, এবং যেকোনো সেটের পরিমাপযোগ্যতা বিচার করার জন্য এই যথেষ্ট। এখানে আমরা উৎপন্ন হওয়া সেটের পরিমাপযোগ্যতা প্রমাণ করতে পারি এই সম্পর্কটি ব্যবহার করে ${\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}=X^{-1}((-\infty ,r])}$

একটি র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের সম্ভাব্যতা বন্টন প্রায়শই অল্প সংখ্যক ধ্রুবক দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যার একটি বাস্তব ব্যাখ্যাও রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, এর "গড় মান" কী তা জানার জন্য এটি প্রায়শই যথেষ্ট। এটি নির্ধারণ করা হয় র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের প্রত্যাশিত মান যা ${\displaystyle E[X]}$ দ্বারা চিহ্নিত এবং এটিকেই বলা হয় প্রথম মোমেন্ট। অবশ্যই ${\displaystyle E[f(X)]}$ এবং ${\displaystyle f(E[X])}$- এর মান সমান নয়।একবার "গড় মান" জানা হয়ে গেলে, কেউ তখন জিজ্ঞাসা করতে পারে যে এই গড় মান থেকে কতটা দূরে ${\displaystyle X}$ এর মান, সাধারণত একটি প্রশ্ন যার উত্তর একটি র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের ভেদাঙ্ক এবং আদর্শ বিচ্যুতি দ্বারা দেওয়া যায়। অসীম জনসংখ্যা থেকে প্রাপ্ত গড় হিসাবে ${\displaystyle E[X]}$ কে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, যেখানে জনসংখ্যার সদস্যরা ${\displaystyle X}$ এর বিশেষ মূল্যায়ন স্বরূপ।

গাণিতিকভাবে, এটি মোমেন্টের (সাধারণ) সমস্যা হিসাবে পরিচিত: র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের একটি প্রদত্ত শ্রেণী ${\displaystyle X}$ জন্য এমন একটি ফাংশন ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ এর সংকলন খোঁজা হোক যাতে প্রত্যাশার মান ${\displaystyle \operatorname {E} [f_{i}(X)]}$ সম্পূর্ণভাবে র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল ${\displaystyle X}$ এর বণ্টন কে চিহ্নিত করতে পারে।

শুধুমাত্র বাস্তব ফাংশনের (বা জটিল ফাংশন) র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের মোমেন্ট সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবল নিজেই বাস্তব মান বিশিষ্ট হয়, তাহলে ভেরিয়েবলের নিজস্ব মোমেন্ট নেওয়া যেতে পারে, যা অভেদ(আইডেন্টিটি) ফাংশন ${\displaystyle f(X)=X}$-এর মোমেন্ট এর সমতুল্য। উদাহরণস্বরূপ, একটি শর্তহীন র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল ${\displaystyle X}$, যা "লাল", "নীল" বা "সবুজ" মান গ্রহণ করতে পারে, এই ভ্যারিয়েবেলের জন্য বাস্তব ফাংশন ${\displaystyle [X={\text{Green}}]}$ তৈরি করা হল; এখন আইভারসন বন্ধনী ব্যবহার করে ${\displaystyle X}$ এর মান "সবুজ" হলে এর মান ${\displaystyle 1}$ এবং অন্যথায় ${\displaystyle 0}$ বলা যায়। তারপর, এই ফাংশনের প্রত্যাশিত মান এবং অন্যান্য মুহূর্তগুলি নির্ধারণ করা যেতে পারে।

বাস্তব মানসম্পন্ন র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল ${\displaystyle X}$-এর ফলাফলের উপর একটি বাস্তব বোরেল মেজারেবল ফাংশন ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ব্যবহার করলে একটি নতুন র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল ${\displaystyle Y}$-কে সংজ্ঞায়িত করা যায়। অর্থাৎ ${\displaystyle Y=g(X)}$।${\displaystyle Y}$-এর ক্রমবর্ধমান বণ্টন ফাংশনটি তখন হবে ${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y).}$

যদি ${\displaystyle g}$ ফাংশনটি ইনভার্টিবল (অর্থাৎ ${\displaystyle h=g^{-1}}$ এর অস্তিত্ব থাকে যেখানে ${\displaystyle h}$ এর ${\displaystyle g}$-এর ইনভার্স ফাংশন) এবং হয় এটি বর্ধিষ্ণু অথবা ক্ষয়িষ্ণু, তখন পূর্বের সম্পর্কটি সম্প্রসারিত করলে পাওয়া যায়

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y)={\begin{cases}\operatorname {P} (X\leq h(y))=F_{X}(h(y)),&{\text{if }}h=g^{-1}{\text{ increasing}},\\\\\operatorname {P} (X\geq h(y))=1-F_{X}(h(y)),&{\text{if }}h=g^{-1}{\text{ decreasing}}.\end{cases}}}$

${\displaystyle g}$-এর ইনভার্টিবিলিটি ক্ষেত্রে একই অনুমান নিয়ে এবং তার অন্তরকলনযোগ্যতা ধরে নিয়ে, উক্ত গাণিতিক অভিব্যক্তিকে উভয় পার্শ্বে ${\displaystyle y}$ এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করলে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের মধ্যে সম্পর্ক পাওয়া যায়।

${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}{\bigl (}h(y){\bigr )}\left|{\frac {dh(y)}{dy}}\right|.}$

যদি ${\displaystyle g}$-এর ইনভার্টিবিলিটি না থাকে এবং ${\displaystyle y}$এর সর্বাধিক গণনাযোগ্য বীজ থাকে (অর্থাৎ প্রতি সসীম অথবা গণনাযোগ্য অসীম সংখ্যার ${\displaystyle x_{i}}$ এর জন্য ${\displaystyle y=g(x_{i})}$) তবে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের পূর্বোক্ত সম্পর্কের সাধারণীকরণ করা যায়

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|}$

বিপরীত ফাংশন উপপাদ্য অনুসারে যেখানে ${\displaystyle x_{i}=g_{i}^{-1}(y)}$। ঘনত্বের সূত্র অনুসারে ${\displaystyle g}$ ফাংশনটি বর্ধিষ্ণু নাও হতে পারে।

মেজার তত্ত্বে স্বতঃসিদ্ধ অনুসারে সম্ভাবনা তত্ত্বে যদি ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \Omega }$-তে একটি র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল এবং ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ একটি বোরেল মেজারেবেল ফাংশন হয় তবে ${\displaystyle Y=g(X)}$, ${\displaystyle \Omega }$-এর একটি র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল কারণ কম্পোজিশন মেজারেবল ফাংশন অবশ্যই একটি মেজারেবল ফাংশন। (তবে যদি ${\displaystyle g}$ লেবেগ (lebesgue) মেজারেবল হয় তবে এই বিবৃতি সত্য নাও হতে পারে।) এই একই উপায়ে যার দ্বারা একটি সম্ভাবনা স্থান ${\displaystyle (\Omega ,P)}$ থেকে অন্য সম্ভাবনা স্থান ${\displaystyle (\mathbb {R} ,dF_{X})}$ এ যাওয়া যায়, তার দ্বারা ${\displaystyle Y}$-এর বন্টনও বার করা সম্ভব।

ধরি, ${\displaystyle X}$ হল বাস্তব, ধারাবাহিক র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল এবং ধরি ${\displaystyle Y=X^{2}}$

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y).}$

যদি ${\displaystyle y<0}$, তবে ${\displaystyle P(X^{2}\leq y)=0}$, সুতরাং

${\displaystyle F_{Y}(y)=0\qquad {\hbox{if}}\quad y<0.}$

যদি ${\displaystyle y\geq 0}$, তবে

${\displaystyle \operatorname {P} (X^{2}\leq y)=\operatorname {P} (|X|\leq {\sqrt {y}})=\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}}),}$

সুতরাং,

${\displaystyle F_{Y}(y)=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})\qquad {\hbox{if}}\quad y\geq 0.}$

ধরা যাক, ${\displaystyle X}$ একটি র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল যার ক্রবর্ধমান বণ্টন বর্তমান

${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)={\frac {1}{(1+e^{-x})^{\theta }}}}$

যেখানে ${\displaystyle \theta >0}$ হল একটি স্থির ধ্রুবক। মনে করি র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল ${\displaystyle Y=\mathrm {log} (1+e^{-X}).}$

${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(\mathrm {log} (1+e^{-X})\leq y)=P(X\geq -\mathrm {log} (e^{y}-1)).\,}$

শেষ সমীকরণটি ${\displaystyle X}$-এর ক্রবর্ধমান বণ্টনরূপে হিসেব করা যেতে পারে

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Y}(y)&=1-F_{X}(-\log(e^{y}-1))\\[5pt]&=1-{\frac {1}{(1+e^{\log(e^{y}-1)})^{\theta }}}\\[5pt]&=1-{\frac {1}{(1+e^{y}-1)^{\theta }}}\\[5pt]&=1-e^{-y\theta }.\end{aligned}}}$

যেটি exponential ফাংশনের ক্রবর্ধমান বণ্টন

ধরা যাক ${\displaystyle X}$ একটি র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল যার আদর্শ সাধারণ বণ্টন আছে এবং যার ঘনত্ব হল

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}.}$

ধরা যাক একটি র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল ${\displaystyle Y=X^{2}}$। পূর্বোক্ত সূত্র কাজে লাগিয়ে আমরা এর ঘনত্ব গণনা করতে পারি

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

এই ক্ষেত্রে পরিবর্তনটি গতানুগতিক নয় কারণ ${\displaystyle Y}$এর প্রত্যেক মানের জন্য ${\displaystyle X}$এর দুটি করে মান পাওয়া যায়। কিন্তু প্রতিসাম্যর জন্য দুই অর্ধই সমানভাবে রূপান্তরিত হয়।

${\displaystyle f_{Y}(y)=2f_{X}(g^{-1}(y))\left|{\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

বিপরীত রূপান্তরটি হলো

${\displaystyle x=g^{-1}(y)={\sqrt {y}}}$

এবং এর অন্তরকলন

${\displaystyle {\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}.}$

তাহলে

${\displaystyle f_{Y}(y)=2{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-y/2}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi y}}}e^{-y/2}.}$

এটি হলো chi-squared বণ্টন যেখানে ডিগ্রি অফ ফ্রিডম 1।

ধরা যাক ${\displaystyle X}$ একটি র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল যার আদর্শ সাধারণ বণ্টন আছে এবং যার ঘনত্ব হল

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}.}$

ধরা যাক একটি র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেল ${\displaystyle Y=X^{2}}$। পূর্বোক্ত সূত্র কাজে লাগিয়ে আমরা এর ঘনত্ব গণনা করতে পারি

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

এই ক্ষেত্রে পরিবর্তনটি গতানুগতিক নয় কারণ ${\displaystyle Y}$এর প্রত্যেক মানের জন্য ${\displaystyle X}$এর দুটি করে মান পাওয়া যায়। কিন্তু পূর্বের উদাহরণের মত এটির ক্ষেত্রে প্রতিসাম্য নেই ফলে দুটি রাশি আলাদা ভাবে নির্ণয় করতে হবে

${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}(g_{1}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{1}^{-1}(y)}{dy}}\right|+f_{X}(g_{2}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{2}^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

বিপরীত ফাংশনটি হল

${\displaystyle x=g_{1,2}^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}}$

এর অন্তরকলন হল

${\displaystyle {\frac {dg_{1,2}^{-1}(y)}{dy}}=\pm {\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}.}$

সুতরাং

${\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}(e^{-({\sqrt {y}}-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}+e^{-(-{\sqrt {y}}-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}).}$

এটি একটি অ-কেন্দ্রিক chi-squared বণ্টন যার ডিগ্রি অফ ফ্রিডম 1।

পরস্পর নির্ভরযোগ্য নয় এমন দুটি র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবেলের সম্ভাব্যতা বণ্টনের সমষ্টি তাদের প্রত্যেকের বণ্টনের আবর্তন।

সম্ভব্যতা বণ্টন কোনো ভেক্টর স্থান(স্পেস) নয়। তারা রৈখিক সংমিশ্রণের সাপেক্ষে বন্ধ(ক্লোজড) নয় কারণ তারা অ-ঋণাত্মক ধর্ম বা সম্পূর্ণ সমাকলন ${\displaystyle 1}$ সংরক্ষণ করে না। কিন্তু তারা উত্তল সংমিশ্রণের সাপেক্ষে বন্ধ(ক্লোজড) তাই ফাংশন(বা মেজার) স্থানের একটি উত্তল্ সাবসেট গঠন করে।

বিভিন্ন অর্থে দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের সমতা বিচার করা হয়। দুটি দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল সমান হতে পারে, প্রায় নিশ্চিতরূপে সমান হতে পারে অথবা বণ্টনগত দিক থেকেও সমান হতে পারে।

সমান হওয়ার প্রবণতা ক্রমবর্ধমানে সাজিয়ে সমতার সংজ্ঞাগুলি নিম্নলিখিতভাবে নথিভুক্ত করা হল:

যদি নমুনাস্থানটি বাস্তব লাইনের একটি সাবসেট হয় তবে ${\displaystyle X}$ ও ${\displaystyle Y}$ দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল দুটি বণ্টনগত ভাবে সমান ${\displaystyle X{\stackrel {d}{=}}Y}$ যদি তাদের বণ্টন ফাংশন একই হয় :

${\displaystyle \operatorname {P} (X\leq x)=\operatorname {P} (Y\leq x)\quad {\text{for all }}x.}$

তবে সমান বণ্টনের জন্য দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলগুলিকে একই সম্ভাবনা স্থানে সংজ্ঞায়িত হতে হবে এমন কোনো কথা নেই। দুটি দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল যাদের মোমেন্ট উৎপন্ন করার ফাংশন যদি সমান হয় তবে তাদের বণ্টন সমান। এর সাহায্যে, উদাহরণস্বরূপ, কিছু স্বাধীন এবং অভিন্ন ভাবে বণ্টন যোগ্য দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের সমতা পরীক্ষা করা যায়। যদিও মোমেন্ট উৎপন্নকারী ফাংশন তখনই পাওয়া যায় যখন বণ্টনের লাপ্লাস (Laplace) রূপান্তর সংজ্ঞায়িত করা যায়।

দুটি দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল ${\displaystyle X}$ এবং ${\displaystyle Y}$ তখনই প্রায় নিশ্চিতরূপে সমান হবে ${\displaystyle X\;{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\;Y}$ যখন তাদের সম্ভাবনার অন্তর ফল শূন্য হবে।

${\displaystyle \operatorname {P} (X\neq Y)=0.}$

সম্ভাবনা তত্ত্বের সকল ব্যবহারিক উদেশ্যের জন্য এই সমতার এই ধারণাটি প্রকৃত সমানতার মতোই প্রভাবশালী। এটি নিম্নলিখিত দূরত্বের সূত্রের সাথে জড়িত :

${\displaystyle d_{\infty }(X,Y)=\operatorname {ess} \sup _{\omega }|X(\omega )-Y(\omega )|,}$

যেখানে "ess sup" হল পরিমাপ তত্ত্বের ভাষায় আবশ্যকীয় সর্বোচ্চ মান (essential supremum)।

দুটি দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল ${\displaystyle X}$ এবং ${\displaystyle Y}$ সমান হবে যদি তারা পরিমাপযোগ্য স্থানে ফাংশন হিসেবেও সমান হয়:

${\displaystyle X(\omega )=Y(\omega )\qquad {\hbox{for all }}\omega .}$

এই ধারণাটি সম্ভাবনা তত্ত্বে সবথেকে কম ব্যবহারযোগ্য কারণ ব্যবহারিক অথবা তাত্ত্বিক ক্ষেত্রে অন্তর্নিহিত পরিমাপ স্থানকে খুবই কম সময়ে স্পষ্টভাবে চিহ্নিত করা হয়।

গাণিতিক পরিসংখ্যানে একটি উল্লেখযোগ্য বিষয়বস্তু হল দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের বিশেষ কিছু ক্রমের(সিকোয়েন্স) এক কেন্দ্রভিমুখতা (convergence)-এর ফলাফল পাওয়া, এই ক্ষেত্রে বৃহৎ সংখ্যার নিয়ম এবং কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যকে উদাহরণ হিসেবে ধরা যায়।

বিভিন্ন অর্থে দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের ক্রম(সিকোয়েন্স) ${\displaystyle X_{n}}$ একটি দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেল ${\displaystyle X}$-এ কনভার্জ করতে পারে। এই ব্যাপারে দৈব(র‍্যান্ডম) ভ্যারিয়েবেলের কনভার্জেন্স নিবন্ধটিতে বিস্তারিত বিবরণ রইল।