কার্ল উইয়েরস্ট্রাস

কার্ল উইয়েরস্ট্রাস
কার্ল উইয়েরস্ট্রাস
Karl Weierstraß
জন্ম	৩১ অক্টোবর ১৮১৫; এনিগারলোহ, প্রুশিয়া
মৃত্যু	১৯ ফেব্রুয়ারি ১৮৯৭ (বয়স ৮১); বার্লিন, প্রুশিয়া, জার্মান
জাতীয়তা	জার্মান
মাতৃশিক্ষায়তন	বন্ বিশ্ববিদ্যালয়; মুনস্টার অ্যাকাডেমি;
পরিচিতির কারণ	উইয়েরস্ট্রাস ফাংশন; উইয়েরস্ট্রাসের গুন অসমীকরণ; লিমিটের (ε, δ)-সংজ্ঞা; উইয়েরস্ট্রাস–এর্ডমন শর্ত; উইয়েরস্ট্রাসের উপপাদ্য; বোলজানো–উইয়েরস্ট্রাস উপপাদ্য;
পুরস্কার	PhD (Hon): কনিসবার্গ বিশ্ববিদ্যালয় (1854); কপলি পদক (1895);
	বৈজ্ঞানিক কর্মজীবন
কর্মক্ষেত্র	গণিত
প্রতিষ্ঠানসমূহ	Gewerbe ইনস্টিটিউট, ফ্রেডরিক উইলহেলম বিশ্ববিদ্যালয়
উচ্চশিক্ষায়তনিক উপদেষ্টা	খ্রিস্টোফ গুডেরম্যান
ডক্টরেট শিক্ষার্থী	নিকোলাই বুগেভ; গেয়র্ক ক্যান্টর; গেয়র্ক ফ্রবেনিয়াস; লজারাস ফুচশ; উইলহেলম কিলিং; জোহানেস নব্লাউচ; লিও কনিসগবারগের; এর্ণস্ট কোটার; সোফিয়া কোভালস্কি; ম্যাথিয়াস লার্চ; হ্যান্স ভন ম্যানগল্ডট; ইউগেন নেট্টো; অ্যাডলফ পিল্টজ; কার্ল রুঞ্জ; আর্থার স্কোয়েনফ্লিজ; ফ্রেডরিক স্কোৎকি; হার্মন সোয়ার্জ; লুডউইগ স্টিকেলবার্জার;

কার্ল থিওডোর উইলহেলম উইয়েরস্ট্রাস (German:Weierstraß [ˈvaɪɐʃtʁaːs];^[১] ৩১শে অক্টোবর ১৮১৫ - ১৯শে ফেব্রুয়ারি ১৮৯৭) ছিলেন একজন স্বনামধন্য জার্মান গণিত বিশেষজ্ঞ যাঁকে আধুনিক বিশ্লেষণ(মডার্ন অ্যানালাইসিস)-এর জনক বলা হয়। কোনো প্রথাগত ডিগ্রি ছাড়া বিশ্ববিদ্যালয় থেকে বেরিয়ে আসা সত্ত্বেও তিনি গণিত নিয়ে যথাযথ পড়াশোনা করেন এবং তার সাথে স্কুল-শিক্ষক হওয়ার প্রশিক্ষণও গ্রহণ করেন। গণিতের পাশাপাশি তিনি ভৌতবিদ্যা, উদ্ভিদবিদ্যা, শরীর-কলাবিদ্যা^[২] ইত্যাদি বিষয়েও শিক্ষা প্রদান করেন। পরবর্তীকালে তিনি সম্মানীয় ডক্টরেট উপাধি লাভ করেন এবং বার্লিনে গণিতের অধ্যাপক হিসেবে প্রভূত সম্মান লাভ করেন।

ওনার অসংখ্য অবদানের মধ্যে উলেখ্য জটিল বিশ্লেষণ (কমপ্লেক্স অ্যানালাইসিস) এবং ফাংশনের ধারাবাহিকতার সংজ্ঞা গঠন। এছাড়াও উনি মধ্যবর্তী মান উপপাদ্য (ইন্টারমিডিয়েট ভ্যালু থিওরেম) ও বোলজানো উইয়েরস্ট্রাস থিওরেম প্রমাণ করেন এবং বলজানো উইয়েরস্ট্রাস উপপাদ্যের সাহায্যে বন্ধ আবদ্ধ বন্ধনীতে (ক্লোজড বাউন্ডেড ইন্টারভ্যাল) ধারাবাহিক ফাংশনের বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য নিয়ে পর্যবেক্ষণ করেন।

জীবনী

ওয়েস্টফেলিয়ার অন্তর্গত প্রদেশ এনিগারলোহের নিকটবর্তী অস্টেনফেল্ড গ্রামের এক রোমান ক্যাথলিক পরিবারে উইয়েরস্ট্রাসের জন্ম হয়। উইয়েরস্ট্রাসের পিতার নাম উইলহেলম উইয়েরস্ট্রেস যিনি একজন সরকারি কর্মচারী ছিলেন এবং উইয়েরস্ট্রাসের মায়ের নাম থিওডোরা ভনডারফর্স্ট।

প্যাডারবোর্ণের থিওডোরিয়ামে যখন তিনি শরীর কলা বিদ্যা নিয়ে চর্চা করছেন তখন থেকেই গণিতের প্রতি তাঁর কৌতূহল জাগে। এরপর তাঁকে পাঠানো হয় বন্ (Bonn) বিশ্ববিদ্যালয়ে একটি সরকারী পদে চাকরির প্রস্তুতি নেওয়ার জন্য। যেহেতু উইয়েরস্ট্রাসের পড়াশুনার বিষয়গুলি ছিল মূলত আইন, অর্থনীতি এবং অর্থায়ন (ফাইন্যান্স) তাই গণিত নিয়ে চর্চার একটি সুপ্ত আশা তাঁর মনে দ্বন্দ্বের সৃষ্টি করে। এই দ্বন্দ্বের অবসান ঘটাতে তিনি তাঁর বিশ্ববিদ্যালয়ের পরিকল্পিত পড়াশুনার বাইরেও ব্যক্তিগতভাবে গণিতচর্চা শুরু করেন। কিন্তু এর ফলে তাঁকে বিশ্ববিদ্যালয় থেকে কোনো প্রথাগত ডিগ্রি ছাড়াই বেরিয়ে আসতে হয়। এরপর তিনি তৎকালীন খ্যাতনামা মুনস্টার অ্যাকাডেমিতে গণিতচর্চা শুরু করেন এবং তাঁর পিতা তাঁকে মুনস্টারের একটি শিক্ষক প্রশিক্ষণ কেন্দ্রে ভর্তি করান। পরে তিনি ওই শহরে একজন শিক্ষক হিসেবে মান্যতা পান। এই সময়ের মধ্যেই উইয়েরস্ট্রাস খ্রীস্টোফ গুডারম্যানের বক্তৃতাগুলি শোনেন এবং উপবৃত্তাকার ফাংশন সম্পর্কে তাঁর কৌতূহল বাড়তে থাকে।

১৮৪৩ সালে তিনি শিক্ষকতা করেন পশ্চিম প্রুশিয়ার ডিউৎস্ক ক্রণে এবং পরে ১৮৪৮ সাল থেকে ব্রাউন্সবার্গ-এর লাইসিউম হোসিয়ানম নামক স্থানে শিক্ষক হিসেবে যুক্ত হোন।^[৩] গণিতের পাশাপাশি পদার্থবিদ্যা, উদ্ভিদবিদ্যা ও শরীর-কলা বিদ্যার শিক্ষাও তিনি দিতেন।^[৪]

উইয়েরস্ট্রাসের এক বন্ধু কার্ল উইলহেলম বর্ডচার্ড-এর বিধবা স্ত্রীর সাথে ফ্রানজ তাঁর এক অবৈধ সন্তান ছিল বলে মনে করা হয়।^[৫]

১৮৫০ সালের পরে উইয়েরস্ট্রাস অনেকটা সময় লড়াই করেন তাঁর অসুস্থতার সাথে। কিন্তু এই সময়েই প্রকাশিত হয় তাঁর লেখা বিভিন্ন গবেষণাপত্র যা তাঁকে খ্যাতি ও সন্মানের শিখরে পৌঁছে দেয়। ১৮৫৪ সালে ৩১শে মার্চ কনিসবার্গ বিশ্ববিদ্যালয় থেকে তাঁকে ডক্টরেট ডিগ্রির মাধ্যমে সন্মান জানানো হয়। এরপরেই ১৮৫৬ সালে বার্লিনের Gewerbe ইনস্টিটিউটের অধ্যক্ষ পদ সামলান (এই ইনস্টিটিউটে প্রযুক্তিবিদ্যায় নিযুক্ত শ্রমিকদের শিক্ষা দেওয়া হতো এবং পরবর্তীকালে এই ইনস্টিটিউটের সাথে Bauakademie একত্রিত হয়ে গড়ে ওঠে টেকনিক্যাল ইউনিভার্সিটি অফ বার্লিন।)। ১৮৬৪ সালে তিনি বার্লিনের ফ্রেডরিক-উইলহেলম বিশ্ববিদ্যালয়ে অধ্যাপকের পদ গ্রহণ করেন। এই বিশ্ববিদ্যালয় বার্লিনের হামবোল্ট বিশ্ববিদ্যালয় নামে পরিচিতি।

১৮৭০ সালে ৫৫ বছর বয়সী উইয়েরস্ট্রাসের সাক্ষাৎ হয় সোফিয়া কোভালস্কির সাথে। বিশ্ববিদ্যালয়ে সোফিয়াকে প্রবেশাধিকার দিতে অসমর্থ উইয়েরস্ট্রাস ব্যক্তিগতভাবে সোফিয়াকে প্রশিক্ষণ দিতে শুরু করেন। তাঁদের মধ্যের ফলপ্রসূ এবং মননশীল সম্পর্ক সাধারণ গুরু-শিষ্যার সম্পর্ককে ছাপিয়ে যায়। চার বছর ধরে উইয়েরস্ট্রাস সোফিয়াকে প্রশিক্ষণ দেন এবং নিজের সেরা ছাত্রী হিসেবে গণ্য করেন। তাছাড়াও হেইডেলবার্গ বিশ্ববিদ্যালয় থেকে কোনো ওরাল ডিফেন্স অফ থিসিস ছাড়াই সোফিয়াকে ডক্টরেট ডিগ্রি পেতে প্রভূত সাহায্য করেন। তাঁর জীবনের শেষ তিন বছর তিনি চলৎ-শক্তিহীন হয়ে কাটান, অবশেষে বার্লিনে নিউমোনিয়ায় তাঁর মৃত্যু হয়।^[৬]

১৮৭০ সাল থেকে ১৮৯১ সাল অর্থাৎ সোফিয়ার মৃত্যুুুুর আগে অবধি তাঁদের মধ্যে যোগাযোগ ছিল। সোফিয়ার মৃত্যুসংবাদ পেয়ে তাঁর লেখা সমস্ত চিঠি পুড়িয়ে ফেলেন উইয়েরস্ট্রাস। সোফিয়াকে লেখা উইয়েরস্ট্রাসের ১৫০ টিরও বেশি চিঠি সংরক্ষিত করে রাখা আছে। অধ্যাপক রেইনহার্ড বয়লিন সোফিয়ার উইয়েরস্ট্রাসকে লেখা একটি চিঠির ড্রাফট খুঁজে পান, যেই চিঠি সোফিয়া ১৮৮৩ সালে স্টকহোলমে সেখানকার বিশ্ববিদ্যালয়ে প্রাইভেট লেকচারার রূপে প্রবেশ করার পরে লিখেছিলেন।^[৭]

গণিতে অবদান

কলনবিদ্যার ত্রুটিহীনতা

উইয়েরস্ট্রাসের ঝোঁক ছিল ত্রুটিহীন ক্যালকুলাসের দিকে এবং সেই সময় কলনবিদ্যার ভিত্তির উপর গঠিত সংজ্ঞাগুলি খুবই অনিশ্চিত ছিল যার ফলে গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্যগুলি সঠিক যুক্তিযুক্তভাবে প্রমাণ করা সহজ ছিল না। যদিও বোলজানো ১৮১৭ সাল বা তারও আগেই সীমা (Limit) সম্পর্কে একটি নির্ভরশীল যৌক্তিক সংজ্ঞা তৈরি করেন কিন্তু তাঁর এই কাজ গাণিতিক জগতে কয়েক বছর পর্যন্ত অজ্ঞাত ছিল এবং অনেক গণিতবিদের কাছে সীমা (Limit) ও ধারাবাহিকতার (continuity) কিছু অস্বচ্ছ সংজ্ঞাই ছিল।

ডেল্টা-এপসিলন প্রমাণের প্রাথমিক ধারণা মূলত পাওয়া যায় ১৮২০-এর দশকে কোশির গাণিতিক কাজে।^[৮]^[৯] যদিও কোশি একটি বন্ধনীর মধ্যে ধারাবাহিকতা এবং সমরুপ ধারাবাহিকতা (ইউনিফর্ম continuity)-এর ধারণাকে পৃথক করেননি। উল্লেখ্য ১৮২১ সালে তাঁর Course d'analysis -এ কোশি যুক্তি দেন যে পয়েন্টওয়াইজ ধারাবাহিক ফাংশনের পয়েন্টওয়াইজ সীমা নির্ধারণ করা হলে সেটি নিজেও পয়েন্টওয়াইজ ধারাবাহিক হবে, যা সাধারণ ভাবেই একটি ভুল বিবৃতি। সঠিক বিবৃতিটি হল যে ধারাবাহিক ফাংশনের সমরূপ (ইউনিফর্ম) সীমা নিজেই ধারাবাহিক (সমরূপ ধারাবাহিক ফাংশনের সমরূপ সীমা সমরূপভাবে ধারাবাহিক)। এই বিবৃতির জন্য প্রয়োজন সমরূপ ধারাবাহিকতার ধারণা যা প্রথম পর্যবেক্ষণ করেন উইয়েরস্ট্রাসের পরামর্শদাতা খ্রিস্টোফ গুডেরম্যান। ১৮৩৮ সালে এই বিষয়টি গুডেরম্যান লিপিবদ্ধ করেন কিন্তু তিনি সংজ্ঞা বা ব্যাখ্যা লেখেননি। উইয়েরস্ট্রাস এই ধারণার গুরুত্ব বুঝতে পারেন এবং কলনবিদ্যায় এর ব্যবহার শুরু করেন।

উইয়েরস্ট্রাসের মতে ধারাবাহিক ফাংশনের সংজ্ঞা হলো

$\displaystyle f(x)$ ফাংশনটি $\displaystyle x=x_{0}$ বিন্দুতে ধারাবাহিক যদি $\displaystyle \forall \ \varepsilon >0\ \exists \ \delta >0$ যাতে কিনা $f$ এর ডোমেইনে থেকে প্রতিটি $x$ সিদ্ধ করে $\displaystyle \ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .$ সম্পর্কটি।

সোজা ভাষায় $\displaystyle f(x)$ ফাংশনটি $\displaystyle x=x_{0}$ বিন্দুতে ধারাবাহিক যদি $x_{0}$ -এর কাছাকাছি প্রতিটি $x$ -এর জন্য $f$ ফাংশনের $\displaystyle f(x)$ -এর মান $\displaystyle f(x_{0})$ -এর কাছাকাছি হবে। এই সংজ্ঞা ব্যবহার করে উইয়েরস্ট্রাস মধ্যবর্তী মান উপপাদ্য প্রমাণ করেন। এছাড়া তিনি বোলজানো-উইয়েরস্ট্রাস উপপাদ্য প্রমাণ করেন ও তার সাহায্যে বন্ধ আবদ্ধ বন্ধনীতে ধারাবাহিক ফাংশনের বৈশিষ্ট্য পর্যবেক্ষণ করেন।

ক্যালকুলাস অফ ভ্যারিয়েশান

উইয়েরস্ট্রাস ক্যালকুলাস অফ ভ্যারিয়েশনের দিকেও অনেকটা অগ্রসর হন। বিশ্লেষণের (অ্যানালিসিস) যে সমস্ত উপকরনের তিনি উন্নতিসাধনে সাহায্য করেছিলেন সেগুলির মাধ্যমেই তিনি এমনভাবে তত্ত্বের সংস্কার করেন যা ক্যালকুলাস অফ ভ্যারিয়েশনে আধুনিক পর্যবেক্ষণের রাস্তা খুলে দেয়। অনেকগুলি স্বতঃসিদ্ধের মধ্যে উইয়েরস্ট্রাস ভ্যারিয়েশনাল প্রবলেমের চরম মানের (strong extrema) জন্য কিছু জরুরি শর্ত দেন। এছাড়াও তিনি উইয়েরস্ট্রাস-এর্ডমান শর্ত নিরূপণে সাহায্য করেন যা প্রদত্ত চূড়ান্ত মান বরাবর একটি এক্সট্রিমালকে নির্দিষ্ট কর্নার নিতে যথেষ্ট শর্ত দেয় এবং প্রদত্ত সমাকলনের ক্ষুদ্রতর বক্ররেখা খুঁজতেও সাহায্য করে।

অন্যান্য বিশ্লেষণাত্মক উপপাদ্য

সম্মান ও পুরস্কার

চন্দ্রগর্ত উইয়েরস্ট্রাস এবং গ্রহাণু উইয়েরস্ট্রাস এই দুটি কার্ল উইয়েরস্ট্রাসের নামে নামকরণ করা হয়। এছাড়াও বার্লিনের উইয়েরস্ট্রাস ইনস্টিটিউট ফর অ্যাপ্লাইড অ্যানালিসিস এন্ড স্টোক্যাসটিক্স (stochastics) উল্লেখ্য।

উল্লেখযোগ্য রচনাবলী

Zur Theorie der Abelschen Funktionen (১৮৫৪)
Theorie der Abelschen Funktionen (১৮৫৬)
Abhandlungen-1, Math. Werke. Bd. 1. Berlin, ১৮৯৪
Abhandlungen-2, Math. Werke. Bd. 2. Berlin, ১৮৯৫
Abhandlungen-3, Math. Werke. Bd. 3. Berlin, ১৯০৩
Vorl. ueber die Theorie der Abelschen Transcendenten, Math. Werke. Bd. 4. Berlin, ১৯০২
Vorl. ueber Variationsrechnung, Math. Werke. Bd. 7. Leipzig, ১৯২৭

আরও দেখুন

কার্ল উইয়েরস্ট্রাসের নামে নামকরণ করা জিনিসের তালিকা

তথ্যসূত্র

↑ Duden. Das Aussprachewörterbuch. 7. Auflage. Bibliographisches Institut, Berlin 2015, আইএসবিএন ৯৭৮-৩-৪১১-০৪০৬৭-৪
↑ Weierstrass, Karl Theodor Wilhelm. (2018). In Helicon (Ed.), The Hutchinson unabridged encyclopedia with atlas and weather guide. [Online]. Abington: Helicon. Available from: http://libezproxy.open.ac.uk/login?url=https://search.credoreference.com/content/entry/heliconhe/weierstrass_karl_theodor_wilhelm/0?institutionId=292 [Accessed 8 July 2018].
↑ Elstrodt, Jürgen (২০১৬), König, Wolfgang; Sprekels, Jürgen, সম্পাদকগণ, "Die prägenden Jahre im Leben von Karl Weierstraß", Karl Weierstraß (1815–1897) (জার্মান ভাষায়), Wiesbaden: Springer Fachmedien Wiesbaden, পৃষ্ঠা 11–51, আইএসবিএন 978-3-658-10618-8, ডিওআই:10.1007/978-3-658-10619-5_2, সংগ্রহের তারিখ ২০২৩-০৮-১২
↑ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (অক্টোবর ১৯৯৮)। "Karl Theodor Wilhelm Weierstrass"। School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland। সংগ্রহের তারিখ ৭ সেপ্টেম্বর ২০১৪।
↑ Biermann, Kurt-R.; Schubring, Gert (১৯৯৬)। "Einige Nachträge zur Biographie von Karl Weierstraß. (German) [Some postscripts to the biography of Karl Weierstrass]"। History of mathematics। San Diego, CA: Academic Press। পৃষ্ঠা 65–91।
↑ Dictionary of scientific biography। Gillispie, Charles Coulston,, American Council of Learned Societies.। New York। ১৯৭০। পৃষ্ঠা 223। আইএসবিএন 978-0-684-12926-6। ওসিএলসি 89822।
↑ Kuznetsov, Vadim B., সম্পাদক (২০০২)। "The life of S. V. Kovalevskaya by Roger L. Cooke"। The Kowalevski Property (Leeds, 2000) CRM Proceedings & Lecture Notes, vol. 32। American Mathematical Soc.। পৃষ্ঠা 1–19। আইএসবিএন 978-0-8218-7330-4; See p. 7 in 2002 book. online text
↑ Grabiner, Judith V. (মার্চ ১৯৮৩), "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus" (পিডিএফ), The American Mathematical Monthly, 90 (3): 185–194, জেস্টোর 2975545, ডিওআই:10.2307/2975545, ২০১৪-১১-২৯ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা
↑ Cauchy, A.-L. (১৮২৩), "Septième Leçon – Valeurs de quelques expressions qui se présentent sous les formes indéterminées ${\frac {\infty }{\infty }},\infty ^{0},\ldots$ Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée", Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, Paris, পৃষ্ঠা 44, ২০০৯-০৫-০৪ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা, সংগ্রহের তারিখ ২০০৯-০৫-০১

বহিঃসংযোগ

[1] Duden. Das Aussprachewörterbuch. 7. Auflage. Bibliographisches Institut, Berlin 2015, আইএসবিএন ৯৭৮-৩-৪১১-০৪০৬৭-৪

[2] Weierstrass, Karl Theodor Wilhelm. (2018). In Helicon (Ed.), The Hutchinson unabridged encyclopedia with atlas and weather guide. [Online]. Abington: Helicon. Available from: http://libezproxy.open.ac.uk/login?url=https://search.credoreference.com/content/entry/heliconhe/weierstrass_karl_theodor_wilhelm/0?institutionId=292 [Accessed 8 July 2018].

[3] Elstrodt, Jürgen (২০১৬), König, Wolfgang; Sprekels, Jürgen, সম্পাদকগণ, "Die prägenden Jahre im Leben von Karl Weierstraß", Karl Weierstraß (1815–1897) (জার্মান ভাষায়), Wiesbaden: Springer Fachmedien Wiesbaden, পৃষ্ঠা 11–51, আইএসবিএন 978-3-658-10618-8, ডিওআই:10.1007/978-3-658-10619-5_2, সংগ্রহের তারিখ ২০২৩-০৮-১২

[StAndrews-4] O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (অক্টোবর ১৯৯৮)। "Karl Theodor Wilhelm Weierstrass"। School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland। সংগ্রহের তারিখ ৭ সেপ্টেম্বর ২০১৪।

[5] Biermann, Kurt-R.; Schubring, Gert (১৯৯৬)। "Einige Nachträge zur Biographie von Karl Weierstraß. (German) [Some postscripts to the biography of Karl Weierstrass]"। History of mathematics। San Diego, CA: Academic Press। পৃষ্ঠা 65–91।

[6] Dictionary of scientific biography। Gillispie, Charles Coulston,, American Council of Learned Societies.। New York। ১৯৭০। পৃষ্ঠা 223। আইএসবিএন 978-0-684-12926-6। ওসিএলসি 89822।

[7] Kuznetsov, Vadim B., সম্পাদক (২০০২)। "The life of S. V. Kovalevskaya by Roger L. Cooke"। The Kowalevski Property (Leeds, 2000) CRM Proceedings & Lecture Notes, vol. 32। American Mathematical Soc.। পৃষ্ঠা 1–19। আইএসবিএন 978-0-8218-7330-4; See p. 7 in 2002 book. online text

[8] Grabiner, Judith V. (মার্চ ১৯৮৩), "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus" (পিডিএফ), The American Mathematical Monthly, 90 (3): 185–194, জেস্টোর 2975545, ডিওআই:10.2307/2975545, ২০১৪-১১-২৯ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা

[9] Cauchy, A.-L. (১৮২৩), "Septième Leçon – Valeurs de quelques expressions qui se présentent sous les formes indéterminées ${\frac {\infty }{\infty }},\infty ^{0},\ldots$ Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée", Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, Paris, পৃষ্ঠা 44, ২০০৯-০৫-০৪ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা, সংগ্রহের তারিখ ২০০৯-০৫-০১

[১]

[২]

[৩]

[৪]

[৫]

[৬]

[৭]

[৮]

[৯]