Градиент

Тази статия е за математическото понятие. За градиент в химията вижте йонен градиент.

---

Градиèнт във векторния анализ е векторен оператор, действащ върху скаларно поле. Градиентът на скаларно поле е векторно поле, наречено градиентно поле, което показва величината и посоката на промяна на скаларното поле и по стойност (модул) е равен на темпа на промяната му в тази посока.^[1]

Градиентът се означава с grad или набла ${\displaystyle \nabla }$ и в триизмерна правоъгълна координатна система ${\displaystyle (x,y,z)}$ се дефинира като:^[1][2]

където ${\displaystyle f}$ е скаларна, непрекъсната и диференцируема функция и ${\displaystyle {\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}}$ са единични вектори. Резултатът от операцията градиент е вектор или множество от вектори или векторна функция в зависимост от областта, в която е дефинирана функцията ${\displaystyle f}$. Градиентът се прилага само върху скаларни величини, представлява мярка за максималната промяна на величината и има посока на най-стръмното покачване на величината в дадена точка.

От определението се вижда, че градиентът е производната по отношение на пространството, но за разлика от производната по отношение на едномерното време, градиентът не е скаларна, а векторна величина. Пространството, върху което са дефинирани функцията и нейният градиент, може, най-общо казано, да бъде или обикновено триизмерно пространство, или пространство с всяко друго измерение от каквато и да е физическа природа, или чисто абстрактно (безразмерно) пространство.^[1]

Думата „градиент“ произхожда от латинските думи gradiens (постепенно нарастване) и gradientis („постепенно нарастващ“), затова при буквалния превод постепенното намаляване се нарича antigradiens (антиградиент).

Във векторния анализ „градиент“ означава изменение и в двете посоки, като при нарастване величината е с положителен, а при намаляване – с отрицателен знак, определен от знака на първата производна.

Терминът се появява за първи път в метеорологията и е въведен в математиката от Джеймс Максуел през 1873 г.; означението ${\displaystyle \mathrm {grad} }$ също е предложено от Максуел.

Пример: Нека температурата в помещение се задава с помощта на скаларното поле T по такъв начин, че във всяка точка, дадена с координати (x, y, z), температурата е T(x, y, z) (приема се, че температурата не се променя във времето). Във всяка точка в помещението градиентът на функцията Т ще сочи в посоката, в която температурата се повишава най-бързо. Големината на градиента определя колко бързо се повишава температурата в дадена посока.

Например, ако височината на земната повърхност над морското равнище се вземе като скаларна функция ${\displaystyle f}$, тогава нейният градиент във всяка точка от повърхността ще покаже „посоката на най-стръмното изкачване“ и неговата стойност ще характеризира стръмността на наклона.

От математическа гледна точка градиентът може да се разглежда като:^[1]

1. Коефициент на линейна зависимост на промяната в стойността на функция на много променливи от промяната в стойността на аргумента;
2. Вектор в пространството на областта на скаларна функция на много променливи, съставена от частни производни;
3. Редовете на матрицата на Якоби съдържат градиенти на съставни скаларни функции, които образуват векторна функция на много променливи.

Ако ${\displaystyle f}$ е функция от ${\displaystyle n}$ променливи ${\displaystyle x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}}$, тогава неин градиент е ${\displaystyle n}$-мерният вектор ${\displaystyle \left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\;\ldots ,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right),}$ чиито компоненти са равни на частните производни на ${\displaystyle f}$ по отношение на всички нейни аргументи. Така размерността на градиентния вектор се определя от размерността на пространството (или многообразието), върху което е дадено скаларното поле.

Смисълът на градиента на всяка скаларна функция ${\displaystyle f}$ е, че нейното скаларно произведение с безкрайно малък вектор на преместване ${\displaystyle d\mathbf {x} }$ дава общия диференциал на тази функция със съответната промяна в координатите в пространството, в което е дефинирана ${\displaystyle f}$, тоест линейната (в общия случай тя е и главната) част от изменението на ${\displaystyle f}$ когато аргументът ${\displaystyle x}$ се измени с ${\displaystyle d\mathbf {x} }$. Използвайки една и съща буква за означаване на функция на вектор и съответната функция на неговите координати, може да се напише:

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\,dx_{2}+{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}+\ldots =\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}=(\mathrm {grad} \,\mathbf {f} \cdot d\mathbf {x} ).}$

Тук следва да се отбележи, че тъй като формулата за общия диференциал не зависи от вида на координатите ${\displaystyle x_{i}}$, тоест от естеството на параметрите ${\displaystyle x}$ като цяло, полученият диференциал е инвариант, т.е. скалар, при всякакви координатни преобразования, и тъй като ${\displaystyle d\mathbf {x} }$ е вектор, тогава градиентът, изчислен по обичайния начин, се оказва ковариантен вектор, тоест вектор, представен в двоен базис, който само скалар може да даде чрез просто сумиране на произведенията от координатите на обичайния контравариантен вектор, тоест вектор, записан в обичайния базис. По този начин най-общо за произволни криволинейни координати изразът може да бъде записан съвсем правилно и инвариантно като:

${\displaystyle df=\sum _{i}(\partial _{i}f)\,dx_{i}}$

или, пропускайки знака за сумата според правилото на Айнщайн,

${\displaystyle df=(\partial _{i}f)\,dx_{i}}$.

Градиентът се оказва истински ковариантен вектор във всякакви криволинейни координати.

Използвайки интегралната теорема

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\nabla f\,dV=\iint \limits _{S}fd\mathbf {s} }$,

градиентът може да бъде изразен в интегрална форма:

${\displaystyle \nabla f=\lim \limits _{V\to 0}{\frac {1}{V}}\left(\iint \limits _{S}f\,d\mathbf {s} \right),}$

тук ${\displaystyle {\it {S}}}$ е затворена повърхност, обхващаща обема ${\displaystyle {\it {{V};d\mathbf {s} }}}$ е нормален елемент към тази повърхност.

Например, градиентът на функцията ${\displaystyle f(x,\;y,\;z)=2x+3y^{2}-5\sin z}$ е

${\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},\;{\frac {\partial f}{\partial y}},\;{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)=(2,\;6y,\;-5\cos z).}$

Разглежда се семейството от линии на ниво на функцията ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle \gamma (h)=\{(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\mid f(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=h\}.}$

Лесно е да се покаже, че градиентът на функцията ${\displaystyle f}$ в точката ${\displaystyle {\vec {x}}{\,}^{0}}$ е перпендикулярен на нейната линия на ниво, минаваща през тази точка. Модулът на градиента показва максималната скорост на промяна на функцията в близост до ${\displaystyle {\vec {x}}{\,}^{0}}$, тоест честотата на линиите на нивото. Например линиите на надморската височина се показват на топографски карти, като градиентният модул показва стръмността на спускането или изкачването в дадена точка.

Използвайки правилото за диференциране на сложна функция, е лесно да се покаже, че производната на функцията ${\displaystyle f}$ в посока ${\displaystyle {\vec {e}}=(e_{1},\;\ldots ,\;e_{n})}$ е равна на скаларното произведение на градиента ${\displaystyle f}$ и единичния вектор ${\displaystyle {\vec {e}}}$:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\vec {e}}}}={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}e_{1}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}e_{n}=(\nabla f,\;{\vec {e}}).}$

По този начин, за да се изчисли производната на скаларна функция на векторен аргумент във всяка посока, е достатъчно да се знае градиентът на функцията, тоест векторът, чиито компоненти са неговите частични производни.

Общата формула за градиент в ортогонални криволинейни координати ${\displaystyle (q_{1},q_{2},q_{3})}$ е

${\displaystyle \operatorname {grad} \,f(q_{1},\;q_{2},\;q_{3})={\frac {1}{H_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{1}}}{\vec {e}}_{1}+{\frac {1}{H_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{2}}}{\vec {e}}_{2}+{\frac {1}{H_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{3}}}{\vec {e}}_{3},}$

където ${\displaystyle H_{i}}$ са коефициенти на Ламе, а ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$ са единични вектори.

Коефициентите на Ламе са ${\displaystyle H_{1}=1}$ и ${\displaystyle H_{2}=r,}$ откъдето:

${\displaystyle \operatorname {grad} \,f(r,\;\varphi )={\frac {\partial f}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\vec {e_{\varphi }}}.}$

Коефициентите на Ламе имат стойности ${\displaystyle H_{1}=1}$ , ${\displaystyle H_{2}=r}$ и ${\displaystyle H_{3}=1}$ , откъдето:

${\displaystyle \operatorname {grad} \,f(r,\;\varphi ,\;z)={\frac {\partial f}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\vec {e_{\varphi }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\vec {e_{z}}}.}$

Коефициентите на Ламе са ${\displaystyle H_{1}=1}$ , ${\displaystyle H_{2}=r}$ и ${\displaystyle H_{3}=r\sin {\theta }}$ , откъдето:

${\displaystyle \operatorname {grad} \,f(r,\;\theta ,\;\varphi )={\frac {\partial f}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\vec {e_{\varphi }}}.}$

За всички константи ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ и скаларни полета ${\displaystyle u,\,v\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ се прилагат следните правила:

1. Диференциране на константа: ${\displaystyle \operatorname {grad} c={\vec {0}}}$

2. Линейност:

${\displaystyle \operatorname {grad} (c\cdot u)=c\cdot \operatorname {grad} u}$

${\displaystyle \operatorname {grad} (u+v)=\operatorname {grad} u+\operatorname {grad} v}$

3. Правило за произведението

${\displaystyle \operatorname {grad} (u\,v)=u\operatorname {grad} v+v\operatorname {grad} u}$

4. Верижно правило

${\displaystyle \operatorname {grad} {\big (}u(v){\big )}={\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} v}}\ \operatorname {grad} v}$

${\displaystyle \operatorname {grad} (u^{n})=nu^{n-1}\ \operatorname {grad} u,\quad n\in \mathbb {R} ,\neq 0}$

Вижте също #Полезни формули.

5. Интегрални теореми

${\displaystyle \int _{\vec {a}}^{\vec {b}}\mathrm {grad} {\big (}u({\vec {r}}){\big )}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=u({\vec {b}})-u({\vec {a}})}$

Тук „·“ е скаларно произведение и пътят от ${\displaystyle {\vec {a}}}$ до ${\displaystyle {\vec {b}}}$ е произволен. Тази независимост на пътя характеризира градиентните полета,^[3] вижте също #Консервативни сили.

${\displaystyle \int _{V}\mathrm {grad} (u)\,\mathrm {d} V=\int _{S}u{\hat {n}}\,\mathrm {d} S}$

${\displaystyle \int _{S}{\hat {n}}\times \mathrm {grad} (u)\,\mathrm {d} S=\int _{Q}u\,\mathrm {d} {\vec {r}}}$

Тук „×“ е векторно произведение, ${\displaystyle u}$ е двумерно непрекъснато диференцируемо поле и ${\displaystyle {\hat {n}}}$ е външният нормален единичен вектор върху затворената повърхност ${\displaystyle S}$ на обема ${\displaystyle V}$^[4] и ${\displaystyle Q}$ е частично гладка затворена гранична крива на повърхността ${\displaystyle S}$.^[3] Безкоординатното представяне като производна на обем следва от първия интеграл на обема, ако обемът стане толкова малък, че градиентът в него е приблизително постоянен.

Следните градиенти са често срещани във физиката. Използва се радиус-векторът ${\displaystyle {\vec {r}}=r{\hat {e}}_{r}}$.

${\displaystyle \operatorname {grad} r={\hat {e}}_{r}={\frac {\vec {r}}{r}}}$

${\displaystyle \operatorname {grad} U(r)={\frac {\partial U}{\partial r}}{\hat {e}}_{r}}$

${\displaystyle \operatorname {grad} {\frac {1}{r}}=-{\frac {1}{r^{2}}}\,\operatorname {grad} r=-{\frac {{\hat {e}}_{r}}{r^{2}}}=-{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}}$

${\displaystyle \operatorname {grad} {\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }|}}=-{\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }|^{2}}}\,\operatorname {grad} |{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }|=-{\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }|^{3}}}}$

В последния пример градиентът действа само върху ${\displaystyle {\vec {r}}}$, а не върху ${\displaystyle {\vec {r}}^{\prime }}$ и следователно също се записва като ${\displaystyle \nabla _{\vec {r}}}$.

Във физиката много силови полета могат да бъдат представени като градиент на потенциал. Примери за това са:

• гравитационна сила

${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {Gravit.} }(x,y,z)=-m\operatorname {grad} \Phi (x,y,z)\ ,}$

или с отчитане на централната маса M, разположена в началото на координатите:

${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {Gravit.} }(r)=-m\operatorname {grad} \Phi (r)=\operatorname {grad} {\frac {GMm}{r}}=-{\frac {GMm}{r^{3}}}\,{\vec {r}}}$

• статични електрически полета ${\displaystyle {\vec {E}}}$ в електродинамиката

${\displaystyle {\vec {E}}(x,y,z)=-\operatorname {grad} \Phi (x,y,z)\ .}$

В консервативните силови полета извършената работа от пробните маси или пробните заряди се определя от интеграла по пътя им ${\displaystyle L}$ през полето ${\textstyle W=\int _{L}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}$ и зависи само от началната и крайната точка на пътя, но не и от курса му, виж #Правила за изчисление, интегрални теореми.

В различни клонове на физиката се използва понятието градиент на различни физически полета.

Например интензитетът на електростатичното поле е минус градиента на електричния потенциал, интензитетът на гравитационното поле (ускорението на свободното падане) в класическата теория на гравитацията е минус градиента на гравитационния потенциал. Консервативната сила в класическата механика е минус градиента на потенциалната енергия.

Концепцията за градиент се използва не само във физиката, но и в сродни и дори относително далечни от физиката науки (понякога това приложение е количествено, а понякога само качествено).

Например, градиент на концентрацията е увеличаване или намаляване на концентрацията на разтворено вещество във всяка посока, градиент на влажността е повишаване или намаляване на [[влажност]та на средата в някаква посока и т.н.

Градиентът на такива стойности може да бъде причинен от различни причини, например механично препятствие, действието на електромагнитни, гравитационни или други полета или разлика в силата на разтваряне на съседните фази.

В метеорологията се използват понятията барометричен и температурен (термометричен) градиент.

Барометричният градиент (БГ) е разликата в показанията на барометрите (приведени до морското равнище) на две места, разположени в посоката, в която в момента еластичността на въздуха намалява най-бързо, т.е. в посоката, перпендикулярна на изобарите или линиите на равни налягания^[5], на разстояние от един меридианен градус (111 km). Колкото по-високо е барометричното налягане в даден район, толкова повече се нарушава въздушният баланс и толкова по-силен трябва да е вятърът. Стефенсон първо обръща внимание на това и законът, изразяващ връзката между БГ и силата на вятъра, се нарича закон на Стефенсон^[6]. При БГ 1,78 мм вече може да се очакват силни ветрове. Силата на вятъра обаче зависи и от други фактори, сред които най-важни са неравностите на земната повърхност, температурата и влажността на въздуха: при еднакъв БГ морският вятър е по-силен от континенталния, а топлите и влажните ветрове са по-силни от студените и сухите. Най-големите градиенти се срещат в циклоните^[5], особено тропическите, където достигат 10 или дори повече mm на 111 km. Барометричният градиент показва степента на неравномерност в разпределението на атмосферното налягане в хоризонтално направление. Той се определя с помощта на внимателно съставени метеорологични или синоптични карти^[7][8], като разликата във височините на барометрите, съответстващи на две съседни изобари, се раздели на разстоянието между тях, изразено в градуси от меридиана (111 km ≡ 1°).^[5] Начини за по-точното му определяне са дадени в специализираната литература^[9][10].

Температурният градиент (ТГ) определя степента на неравномерност в разпределението на температурата. Това е разликата в температурите на две места, разположени на разстояние между тях, равно на 1 градус от меридиана (111 km) в посока, перпендикулярна на изотермите (линиите с еднаква температура). Стойността на ТГ в Европа понякога достига 4 или дори повече градуса по Целзий при постъпателното движение на циклоните и антициклоните.^[11]

В икономическата теория понятието градиент се използва за обосноваване на определени заключения. По-специално, методът на множителите на Лагранж и условията на Каруш–Кун–Такър (заимствани от естествените науки), използвани за намиране на оптимума на потребителя, се основават на сравняване на градиентите на функцията на полезност и функцията на бюджетното ограничение.

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. – Современная геометрия методы и приложения: учебное пособие для физико-математических специальностей университетов. — М.: Наука, 1986. — 759 с.

• Броунов П. И. – Градиент // Энциклопедический словарь Ф. А. Брокгауза и И. А. Ефрона, в 86 томах (82 т. и 4 доп.) с иллюстрациями и дополнительными материалами) — СПб., 1890—1907.