Topoloxía alxebraica

La Topoloxía alxebraica ye una caña de la topoloxía (comprensión de les matemátiques^[1]) na que s'usen les ferramientes del álxebra astracta pa estudiar los espacios topolóxicos. L'oxetivu básicu ye atopar invariantes alxebraiques que clasifiquen los espacios topolóxicos hasta'l homeomorfismo, anque de normal munchos clasifíquense hasta la equivalencia homotópica.

La meta ye clasificar los espacios topolóxicos. Un nome antiguu pa esta materia yera'l de topoloxía combinatoria, que ponía la énfasis en cómo un espaciu dau X podía construyise a partir d'espacios más pequeños. El métodu básicu que s'aplica agora en topoloxía alxebraica ye'l d'investigar los espacios per mediu de los invariantes alxebraicos: por casu aplicándolos, rellacionándolos colos grupos, que tienen bastante estructura aplicable, y de manera que se respete la rellación de homeomorfismo d'espacios.

Los dos formes principales como se fai esto son al traviés de los grupos fundamentales, o más polo xeneral la Teoría de homotopía, y per mediu de los grupos d'homoloxía y de cohomología. Los grupos fundamentales suminístrennos información básica sobre la estructura d'un espaciu topolóxicu; pero son de cutiu non-abelianos y pueden ser difíciles d'usar. El grupu fundamental d'un complexu simplicial (finito) tien una presentación finita.

Los grupos d'homoloxía y cohomología, per otra parte, son abelianos, y en munchos casos importantes son finitamente xeneraos. Los grupos abelianos finitamente xeneraos pueden clasificase dafechu y son particularmente fáciles d'usar.

Delles resultancies útiles síguense darréu de trabayar con grupos abelianos finitamente xeneraos. El rangu llibre del grupu de n-homoloxía d'un complexu simplicial ye igual al n-númberu de Betti, asina que pueden usase los grupos d'homoloxía d'un complexu simplicial pa calcular el so carauterística de Euler-Poincaré. Si un grupu de n-homoloxía d'un complexu simplicial tien torsión, entós el complexu ye non-orientable. Asina que la homoloxía "codifica" gran parte de la información topolóxica d'un espaciu topolóxicu dadu.

Más allá de la homoloxía simplicial, podemos usar la estructura diferencial de les Variedaes per mediu de la Cohomología de De Rham, o la de Cech o cola cohomología de faes pa investigar la resolubilidad de les ecuaciones diferenciales definíes na variedá en cuestión. De Rham demostró que toos estos tipos d'aproximamientu tán interrellacionaos y que los númberos de Betti que se deriven de la homoloxía simplicial yeren los mesmos númberos de Betti qu'aquellos que se deriven de la cohomología de De Rham.

Ente l'aplicaciones clásiques de la topoloxía alxebraica atópense:

• El teorema del puntu fixu de Brouwer: toa aplicación continua f d'un discu zarráu en sí mesmu almite siquier un puntu fixu.
• La n-esfera almite un campu vectorial unitariu continuu, que nun s'anula nunca, si y solu si n ye impar (pa n = 2, esta resultancia tamién se conoz como teorema de la bola peluda).
• El teorema de Borsuk–Ulam.

Polo xeneral, toles construcciones de la topoloxía alxebraica son funtoriales: les nociones de categoría, funtor y tresformamientu natural aniciáronse equí. Los grupos fundamentales, d'homoloxía y cohomología nun son namái invariantes del espaciu topolóxicu subxacente, nel sentíu de que dos espacios topolóxicos son homeomorfos si tienen acomuñaos los mesmos grupos; una aplicación continua d'espacios induz un homomorfismo ente los grupos asociaos, y estos homomorfismos pueden ser usaos pa probar la non-esistencia (o, más fondamente, la esistencia) d'aplicaciones.

El problema xeométricu, abiertu per cerca d'un sieglu, y más famosu de la topoloxía alxebraica ye la Conxetura de Poincaré, resueltu pol rusu Grigori Perelmán en 2002. El campu de la Teoría de homotopía contién munchos misteriossobremanera la manera correuta de describir los grupos de homotopía de les esferes.

Les ferramientes importantes (como teoremas fundamentales) pal cálculu de invariantes d'esta teoría son:

• Teorema de Seifert-van Kampen
• Socesión de Mayer-Vietoris
• Fórmula de Künneth

• Homeomorfismo
• Topoloxía xeométrica
• Teoría xeométrica de grupos

• El llibru de Allen Hatcher: Algebraic Topology, puede descargase llibremente nos formatos de PDF y PostScript: http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
• Llibru completu en PDF de Carlos Ivorra (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión).