Centru de mases

Centru de mases
point in physical space (en)

El centru de mases d'un sistema discretu o continuu ye'l puntu xeométricu que dinámicamente pórtase como si nél tuviera aplicada la resultante de les fuercies esternes al sistema. De manera análoga, puede dicise que'l sistema formáu por tola masa concentrada nel centru de mases ye un sistema equivalente al orixinal. De normal embrívese como c.m..

Nun tratamientu de sistemes de mases puntuales el centru de mases ye'l puntu onde, a efeutos inerciales, supónse concentrada tola masa del sistema. El conceutu utilizar p'analises físicos nos que nun ye indispensable considerar la distribución de masa. Por casu, nes órbites de los planetes.

En física, el centroide, el centru de gravedá y el centru de mases pueden, so ciertes circunstancies, coincidir ente sigo. Nestos casos suelse utilizar los términos de manera intercambiable, anque designen conceutos distintos. El centroide ye un conceutu puramente xeométricu que depende de la forma del sistema; el centru de mases depende de la distribución de materia, ente que'l centru de gravedá depende tamién del campu gravitatoriu. Asina vamos tener que:

• el centru de mases coincide col centroide cuando la densidá ye uniforme o cuando la distribución de materia nel sistema tien ciertes propiedaes, tales como simetría.
• el centru de mases coincide col centru de gravedá, cuando'l sistema atopar nun campu gravitatoriu uniforme (el módulu y la direición de la fuercia de gravedá son constantes).

Pa un sistema de mases discretu, formáu por un conxuntu de mases puntuales, el centru de mases puede calculase como:

${\displaystyle \mathbf {r} _{\text{cm}}={\frac {\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{\sum _{i}m_{i}}}={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}}$

${\displaystyle M}$, masa total del sistema de partícules.

${\displaystyle m_{i}\,}$, masa de la partícula i-ésima.

${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$, vector de posición de la masa i-ésima respectu al sistema de referencia supuestu.

Un pocu más esplícitu si A₁,... A_n son n puntos, y m₁,... m_n n númberos (m como masa). Entós el centru de masa de los (A_i, m_i) ye'l puntu G definíu como sigue:

${\displaystyle {\overrightarrow {OG\,}}={\frac {\sum {m_{i}{\overrightarrow {O\!A_{i}}}}}{\sum {m_{i}}}}={\frac {m_{1}{\overrightarrow {O\!A_{1}}}+...+m_{n}{\overrightarrow {O\!A_{n}}}}{m_{1}+...+m_{n}}},\quad {\mbox{con}}\quad \sum {m_{i}}\neq 0}$

Esta definición nun depende del puntu O, que puede ser cualesquier. Si toma l'orixe del planu o del espaciu, llógrense les coordenaes del baricentru como permediu ponderáu polos m_i de les coordenaes de los puntos A_i:

${\displaystyle \mathbf {r} _{\text{cm}}=\mathbf {r} _{G}={\frac {\sum {m_{i}\mathbf {r} _{i}}}{\sum {m_{i}}}}={\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+\dots +m_{n}\mathbf {r} _{n}}{m_{1}+\dots +m_{n}}}}$

La definición anterior equival a la fórmula siguiente, más práutica pal cálculu vectorial, pos prescinde de les fracciones (llógrase tomando O = G):

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{m_{i}{\overrightarrow {G\!A_{i}}}}={\vec {0}}\quad {\mbox{o bien}}\quad m_{1}{\overrightarrow {G\!A_{1}}}+...+m_{n}{\overrightarrow {G\!A_{n}}}={\vec {0}}}$

Nel casu d'un sistema de cuerpos cuasipuntuales, o cuerpos que falten ente sigo muncho más que les dimensiones de cada unu de los cuerpos, el cálculu anterior resulta abondo averáu.

Pa sistemes de mases continuos o distribuciones continues de materia tenemos de recurrir al cálculu infinitesimal ya integral, de cuenta que la espresión anterior escribir na forma:

${\displaystyle \mathbf {r} _{\text{cm}}={\frac {\int \mathbf {r} \ dm}{\int dm}}={\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \ dm}$

• Distribución de masa homoxéneo: si la masa ta distribuyida homogéneamente, la densidá va ser constante polo que puede sacase fora de la integral faciendo usu de la rellación siguiente: ${\displaystyle dm=\rho \ dV}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{\text{cm}}={\frac {\rho \int _{V}\mathbf {r} \ dV}{\rho \int \ dV}}={\frac {\int _{V}\mathbf {r} \ dV}{V}}}$

siendo V el volume total.

Pa cuerpos bidimensionales (superficies) o monodimensionales (llinies) va trabayar con densidaes superficiales y llonxitudinales respeutivamente.

Pal casu de cuerpos con densidá uniforme, el centru de mases va coincidir col centroide del cuerpu.

• Distribución de masa non homoxéneo: los centros de mases en cuerpos de densidá variable pueden calculase si conoz la función de densidá ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$. Nesti casu calcula'l centru de mases de la siguiente forma.

${\displaystyle \mathbf {r} _{\text{cm}}={\frac {\int _{V}\mathbf {r} \ \rho (\mathbf {r} )\ dV}{M}}}$

Pa calcular la integral hai que conocer la función de densidá.

Pal cálculu de sólidu de revolución sólidos de revolución resulta bien útil el teorema de Pappus-Guldin.

• Baricentru
• Centroide
• Centru de gravedá

• Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de les partícules y sistemes (en castellanu). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8.
• Ortega, Manuel R. (1989-2006). leición de Física (4 volumes) (en castellanu). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (n'inglés). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers, 6ª (n'inglés), Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
• Tipler, Paul A. (2000). Física pa la ciencia y la teunoloxía (2 volumes) (en castellanu). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3.

• Centru de mases en heurema.com Archiváu 2018-04-16 en Wayback Machine