泊松分布

若${\displaystyle X}$ 服从参数为${\displaystyle \lambda }$ 的泊松分布，记为${\displaystyle X\sim \pi (\lambda )}$ ，或记为${\displaystyle X\sim Poisson(\lambda )}$ .

1、服从泊松分布的随机变量，其数学期望与方差相等，同为参数${\displaystyle \lambda }$  : ${\displaystyle E(X)=V(X)=\lambda }$ 

2、两个独立且服从泊松分布的随机变量，其和仍然服从泊松分布。更精确地说，若 ${\displaystyle X\sim Poisson(\lambda _{1})}$ 且 ${\displaystyle Y\sim Poisson(\lambda _{2})}$ ，则${\displaystyle X+Y\sim Poisson(\lambda _{1}+\lambda _{2})}$ 。反过来若两个独立随机变量的和服从泊松分布，则这两个随机变量经平移后皆服从泊松分布（Raikov定理（英语：Raikov's theorem））。

3、其矩母函数为：

${\displaystyle M_{X}(t)=E[e^{tX}]=\sum _{x=0}^{\infty }e^{tx}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}=e^{-\lambda }\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {({e^{t}}\lambda )^{x}}{x!}}=e^{{\lambda }(e^{t}-1)}}$ 

期望：(倒数第三至第二是使用泰勒展开式)

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} (X)&=\sum _{i=0}^{\infty }\displaystyle iP(X=i)\\&=\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle i{e^{-\lambda }\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }e^{\lambda }\\&=\lambda \end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} (X^{2})&=\sum _{i=0}^{\infty }\displaystyle i^{2}P(X=i)\\&=\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle i^{2}{e^{-\lambda }\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {i\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {1 \over (i-1)!}{d \over d\lambda }(\lambda ^{i})\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }\left[\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i} \over (i-1)!}\right]\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }\left[\lambda \sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\right]\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }(\lambda e^{\lambda })=\lambda e^{-\lambda }(e^{\lambda }+\lambda e^{\lambda })=\lambda +\lambda ^{2}\end{aligned}}}$ 

我们可以得到：${\displaystyle Var(X)=(\lambda +\lambda ^{2})-\lambda ^{2}=\lambda }$ 

如同性质：${\displaystyle E(X)=Var(X)=\lambda }$ 、${\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {\lambda }}}$ 

相互独立的泊松分布随机变量之和仍服从泊松分布：

${\displaystyle X\sim Poisson(\lambda _{1}),Y\sim Poisson(\lambda _{2}).}$ 

${\displaystyle P(X=k_{1})={\dfrac {\lambda _{1}^{k_{1}}e^{-\lambda _{1}}}{k_{1}!}},P(Y=k_{2})={\dfrac {\lambda _{2}^{k_{2}}e^{-\lambda _{2}}}{k_{2}!}}.}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X+Y=k)&=\sum _{i=0}^{k}P(X=i)P(Y=k-i)\\&=\sum _{i=0}^{k}{\frac {\lambda _{1}^{i}\lambda _{2}^{k-i}e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}{i!(k-i)!}}\\&={\frac {e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}{k!}}\sum _{i=0}^{k}C_{k}^{i}\lambda _{1}^{i}\lambda _{2}^{k-i}\\&={\frac {e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{k}}{k!}}\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle X+Y\sim Poisson(\lambda _{1}+\lambda _{2})}$ 

在二项分布的伯努利试验中，如果试验次数${\displaystyle n}$ 很大，二项分布的概率${\displaystyle p}$ 很小，且乘积${\displaystyle \lambda =np}$ 比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散时间上的对应物。

证明如下。首先，回顾自然对数${\displaystyle e}$ 的定义：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n}=e^{-\lambda },}$ 

二项分布的定义：

${\displaystyle P(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$ 。

如果令${\displaystyle p={\frac {\lambda }{n}}}$ ， ${\displaystyle n}$ 趋于无穷时${\displaystyle P}$ 的极限：

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }P(X=k)&=\lim _{n\to \infty }{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{n! \over (n-k)!k!}\left({\lambda \over n}\right)^{k}\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }\underbrace {\left[{\frac {n!}{n^{k}\left(n-k\right)!}}\right]} _{F}\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to \exp \left(-\lambda \right)}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&=\lim _{n\to \infty }\underbrace {\left[\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\ldots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)\right]} _{\to 1}\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to \exp \left(-\lambda \right)}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&=\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\exp \left(-\lambda \right)\end{aligned}}}$ 

给定${\displaystyle n}$ 个样本值${\displaystyle k_{i}}$ ，希望得到从中推测出总体的泊松分布参数${\displaystyle \lambda }$ 的估计。为计算最大似然估计值，列出对数似然函数：

${\displaystyle {\begin{aligned}L(\lambda )&=\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\\&=\sum _{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}\right)\\&=-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)\ln(\lambda )-\sum _{i=1}^{n}\ln(k_{i}!).\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}L(\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0.\!}$ 

解得λ从而得到一个驻点（stationary point）：

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}.\!}$ 

检查函数${\displaystyle L}$ 的二阶导数，发现对所有的${\displaystyle \lambda }$ 与${\displaystyle k_{i}}$ 大于零的情况二阶导数都为负。因此求得的驻点是对数似然函数${\displaystyle L}$ 的极大值点：

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda ^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}-\lambda ^{-2}k_{i}}$ 

对某公共汽车站的客流做调查，统计了某天上午10:30到11:47来到候车的乘客情况。假定来到候车的乘客各批（每批可以是1人也可以是多人）是互相独立发生的。观察每20秒区间来到候车的乘客批次，共观察77分钟*3=231次，共得到230个观察记录。其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100次、81次、34次、9次、6次。使用极大似真估计（MLE），得到${\displaystyle \lambda }$ 的估计为${\displaystyle {\frac {81\times 1+34\times 2+9\times 3+6\times 4}{230}}\approx 0.87}$ 。

一个用来生成随机泊松分布的数字（伪随机数抽样）的简单算法，已经由高德纳给出（见下文参考）：

algorithm poisson random number (Knuth):
    init:
         Let L ← e−λ, k ← 0 and p ← 1.
    do:
         k ← k + 1.
         Generate uniform random number u in [0,1] and let p ← p×u.
    while p > L.
    return k − 1.

尽管简单，但复杂度是线性的，在返回的值${\displaystyle k}$ ，平均是${\displaystyle \lambda }$ 。还有许多其他算法来克服这一点。有些人由Ahrens和Dieter给出，请参阅下面的参考资料。同样，对于较大的${\displaystyle \lambda }$ 值，${\displaystyle e^{-\lambda }}$ 可能导致数值稳定性问题。对于较大${\displaystyle \lambda }$ 值的一种解决方案是拒绝采样，另一种是采用泊松分布的高斯近似。

对于很小的${\displaystyle \lambda }$ 值，逆变换取样简单而且高效，每个样本只需要一个均匀随机数u。直到有超过${\displaystyle u}$ 的样本，才需要检查累积概率。

algorithm Poisson generator based upon the inversion by sequential search:[1]
    init:
         Let x ← 0, p ← e−λ, s ← p.
         Generate uniform random number u in [0,1].
    do:
         x ← x + 1.
         p ← p * λ / x.
         s ← s + p.
    while u > s.
    return x.

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