周边昏暗

周边昏暗（英语：limb darkening）是恒星因为密度由中心向边缘逐渐降低而呈现出影像向边缘的强度减少。周边昏暗是两种效应造成的结果：

恒星的密度由中心向外逐渐降低

周边昏暗的太阳－以可见光观察的太阳影像，因为密度向边缘逐渐降低而在太阳盘面的外缘显示出周边昏暗的效应。

恒星的温度因为与中心距离的增加而逐渐降低。

周边昏暗的理想状况。半径的最外缘是来自恒星向外辐射的光子不再被吸收的区域，L 是光深度为1单位的距离。由A处辐射出的高温光子和由B处辐射出的低温光子都正好在可以逃脱的距离上。

光深度的观念是了解周边昏暗的关键想法。光深度在光学上的1单位是由吸收气体能逃逸出来的比率达到1/e光子数量的厚度。这是为何定义了恒星可见的边缘之后，在光深度为1单位之处恒星就会变得不透明的原因。到达我们的辐射非常接近恒星释放出的能量沿著视线方向朝向我们，直至光深度为1单位处点的总量。当我们观察恒星的边缘时，我们不能看见如同观察中心一样的光深度，因为当观测边缘时，视线是以倾斜的角度在恒星的气体中行进。换言之，当我们观察太阳时，1光深度单位对应的长度在移向边缘时会逐渐增加。

第二个作用的事实是，恒星大气的有效温度（通常）是随著相对于中心距离的增加而降低。来自气体的辐射放射与温度的增加又强列的关联性，例如，对一个黑体而言，强度与温度的四次方成正比（斯特凡-波兹曼定律）。因此当我们观察一颗恒星时，辐射来自光深度最接近1单位的点。而相较于观察恒星的边缘，这一点在观察恒星中心点时，越是深入温度就越高，强度也就越大。

事实上，我们太阳内部的温度并不是随著距离的增加而均匀的衰减，来自谱线的证据显示每个区域的光深度与温度有关。在这种情况下我们能看见周边昏暗的现象。

周边昏暗的计算

几何学上的周边昏暗。恒星的中心点在O ,半径为R ，观测者位于P 点，与中心的距离为r ；观看表面的一个点S ，与中心连线的夹角为θ ，与恒星边缘（或周边）的夹角为Ω。

如右图所示，沿著在大气层之外的观测者的点P，观察方向为θ的强度只是角度ψ的函数，cos(ψ)的多项式是最接近与最方便的解。

{\frac {I(\psi )}{I(0)}}=\sum _{k=0}^{N}a_{k}\,{\textrm {cos}}^{k}(\psi )

此处， I_(ψ)是在P点看沿著视线与中心形成角度为ψ之处的强度，I₍₀₎是中心点的强度。可以看出，当ψ=0时，单位为1，因此我们必可得到：

\sum _{k=0}^{N}a_{k}=1

例如，从朗伯辐射体（没有周边昏暗），我们可以得到得到,除了a₀=1之外，所有的a_k=0。另一个例子，在550奈米的太阳，周边昏暗可以用N=2来表示，并且

a_{0}=1-a_{1}-a_{2}\,

a_{1}=0.93\,

a_{2}=-0.23\,

（参考Cox, 2000）。注－周边昏暗方程式有时也会写成：

{\frac {I(\psi )}{I(0)}}=1+\sum _{k=1}^{N}A_{k}\,(1-\cos(\psi ))^{k}

在此处的N 相较于N+1 是独立的函数，并且其总和为1单位。

我们能利用下面的关系式将ψ转换为θ：

\cos(\psi )={\frac {\sqrt {\cos ^{2}(\theta )-\cos ^{2}(\Omega )}}{\sin(\Omega )}}

此处的Ω是观测者至恒星边缘的角度。

上面的近似可以用于获得中心强度平均强度比率的解析解。平均强度I_m是在恒星盘面上包含立体角划分的积分：

I_{m}={\frac {\int I(\psi )d\omega }{\int d\omega }}

此处，dω=sin(θ)dθdψ，是立体角的元素，在盘面上的积分为：0≤ψ≤2π和0≤θ≤Ω。虽然这个方程式可以分析来求解，但其仍是相当复杂的。当观测者在很遥远的距离上观察天体时，上述的等式可以简化为：

{\frac {I_{m}}{I(0)}}=2\sum _{k=0}^{N}{\frac {a_{k}}{k+2}}

参考资料

Billings, Donald E. A Guide to the Solar Corona. Academic Press, New York. 1966.
Cox, Arthur N. (ed). Allen's Astrophysical Quantities 14th ed. Springer-Verlag, NY. 2000. ISBN 0-387-98746-0.
Milne, E.A. Radiative equilibrium in the outer layers of a star. MNRAS. 1921, 81: 361–375. Bibcode:1921MNRAS..81..361M  .
Minnaert, M. On the Continuous Spectrum of the Corona and its Polarisation. Zeitschrift für Astrophysik. 1930, 1: 209. Bibcode:1930ZA......1..209M  .
Neckel, H. and Labs, D. Solar Limb Darkening 1986-1990. Solar Physics. 1994, 153: 91–114. doi:10.1007/BF00712494  .
van de Hulst, H. C. The electron density of the solar corona. Bull. Astron. Inst. Netherlands. 1950, 11 (410): 135. Bibcode:1950BAN....11..135V  .