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小 0和正數稱為非負數(根據正數的詞條定義) |
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{{
|G1 = Math
}}
{{not|值域}}
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'''對應域'''
在數學
<math>f</math>的[[值域]]是<math>Y</math>的一個[[子集]],若<math>f</math>是一個[[滿射
== 例 ==
===例一===
定義三個函數:
:<math>h\colon\mathbb{R}^+_0\rightarrow\mathbb{R}, \ h(x)=\sqrt x</math>
其中<math>\mathbb{R}^+_0 = \mathbb{R}^+\cup \{0\}</math>。
# 因為<math>f(x)=x^2</math>,函數<math>f</math>的輸出值皆為非負數,所以<math>f</math>的值域為<math>\mathbb{R}^+_0</math>,也就是<math>[0,\infty)</math>區間。又因<math>\mathbb{R}^+_0 \subset \mathbb{R}</math>,即<math>f</math>的對應域不等於值域,所以<math>f</math>不是一個滿射函數。
# 因為<math>f</math>的對應域不等於<math>h</math>的定義域,[[合成函數]] <math>h \circ f</math>為無效的函數。唯有合成符號右側函數的對應域和左側函數的定義域相同時,該合成函數才有效,例如<math>h \circ g</math>。
===例二===
定義<math>T</math>為介於兩個[[線性空間]]的線性變換:
:<math>T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2</math>
<math>T</math>也可以被表達成一個{{math|2×2}}的實數矩陣,代表一個從定義域<math>\mathbb{R}^2</math>到對應域<math>\mathbb{R}^2</math>的對應方式。
假設
:<math>T = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
1 & 0 \end{bmatrix}</math>
則代表把所有定義域中的點<math>(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> 對應到對應域中的點 <math>(x,x)\in \mathbb{R}^2</math>。由於<math>T</math>的值域只蒐集了所有<math>x=y</math>的點,例如點<math>(2,3)</math>不在<math>T</math>的值域中,但在<math>T</math>的對應域<math>\mathbb{R}^2</math>中,因此<math>T</math>不是一個滿射函數。
在此例中,{{math|2×2}}的矩陣在[[秩]]({{Lang|en|rank}})等於2時,為滿射函數,小於2時則非。對應域和值域是否相等可做為判斷矩陣是否有滿秩({{Lang|en|full rank}})的依據,因為<math>T</math>的值域小於對應域,所以<math>T</math>沒有滿秩。
▲: <math>f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math>
▲: <math>g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^+</math><math>\cup\{0\}</math>
▲虽然<math>f</math>和<math>g</math>對於輸入值具有相同的效果,但從现代观点来看,它们由于拥有不同的上域而不被視为是相同的函数。
== 相关条目 ==
第38行:
* [[定义域]]
* [[值域]]
* [[函數]]
[[Category:集合論基本概念|S]]
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