到达域:修订间差异
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{{NoteTA |
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|G1 = Math |
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|T=zh-cn:到达域; zh-tw:對應域; |
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|1=zh-cn:上域; zh-tw:對應域; |
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{{not|值域}} |
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|2=zh-cn:靶; zh-tw:目標集合;}} |
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[[File:Codomain2.SVG|thumb|250px|<math>f</math>是一個將所有[[定義域]]<math>X</math>(紅色區塊)中的點<math>x \in X</math>對應到點<math>f(x) \in Y</math>的函數。蒐集所有點<math>f(x)</math>的集合(黃色區塊)為函數<math>f</math>的值域,<math>Y</math>(藍色區塊)為<math>f</math>的對應域。]] |
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'''對應域''' |
'''對應域'''({{Lang-en|Codomain}}),或稱為'''陪-{}-域'''、'''餘定義域'''、'''上-{}-域'''、'''终域'''、'''共变域'''、'''目標集合'''。 |
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在數學 |
在數學領域中,一個[[函數]]的對應域指的是至少包含所有此函數的輸出值的一個集合。在函數符號<math>f\colon X \rightarrow Y</math>中,<math>Y</math>是函數<math>f</math>的對應域。 |
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<math>f</math>的[[值域]]是<math>Y</math>的一個[[子集]],若<math>f</math>是一個[[滿射 |
<math>f</math>的[[值域]]是<math>Y</math>的一個[[子集]],若<math>f</math>是一個[[滿射函數]],則<math>f</math>的對應域和值域相等,反之則代表有<math>y \in Y</math>不存在於<math>f</math>的值域中,使得方程式<math>f(x)=y</math>無解。 |
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== 例 == |
== 例 == |
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===例一=== |
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定義三個函數: |
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:<math>h\colon\mathbb{R}^+_0\rightarrow\mathbb{R}, \ h(x)=\sqrt x</math> |
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其中<math>\mathbb{R}^+_0 = \mathbb{R}^+\cup \{0\}</math>。 |
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# 因為<math>f(x)=x^2</math>,函數<math>f</math>的輸出值皆為非負數,所以<math>f</math>的值域為<math>\mathbb{R}^+_0</math>,也就是<math>[0,\infty)</math>區間。又因<math>\mathbb{R}^+_0 \subset \mathbb{R}</math>,即<math>f</math>的對應域不等於值域,所以<math>f</math>不是一個滿射函數。 |
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设函数<math>f</math>为一个[[实函数]],即: |
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# 因為<math>f</math>的對應域不等於<math>h</math>的定義域,[[合成函數]] <math>h \circ f</math>為無效的函數。唯有合成符號右側函數的對應域和左側函數的定義域相同時,該合成函數才有效,例如<math>h \circ g</math>。 |
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===例二=== |
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定義<math>T</math>為介於兩個[[線性空間]]的線性變換: |
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:<math>T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2</math> |
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<math>T</math>也可以被表達成一個{{math|2×2}}的實數矩陣,代表一個從定義域<math>\mathbb{R}^2</math>到對應域<math>\mathbb{R}^2</math>的對應方式。 |
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假設 |
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:<math>T = \begin{bmatrix} |
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1 & 0 \\ |
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1 & 0 \end{bmatrix}</math> |
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則代表把所有定義域中的點<math>(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> 對應到對應域中的點 <math>(x,x)\in \mathbb{R}^2</math>。由於<math>T</math>的值域只蒐集了所有<math>x=y</math>的點,例如點<math>(2,3)</math>不在<math>T</math>的值域中,但在<math>T</math>的對應域<math>\mathbb{R}^2</math>中,因此<math>T</math>不是一個滿射函數。 |
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在此例中,{{math|2×2}}的矩陣在[[秩]]({{Lang|en|rank}})等於2時,為滿射函數,小於2時則非。對應域和值域是否相等可做為判斷矩陣是否有滿秩({{Lang|en|full rank}})的依據,因為<math>T</math>的值域小於對應域,所以<math>T</math>沒有滿秩。 |
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定义为 |
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: <math>f\colon\,x\mapsto x^2</math> |
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这里<math>f</math>的上域为实数集<math>\mathbb{R}</math>,但明顯地函数<math>f(x)</math>不会有负的函数值,因此,事实上这里的值域为非负实数集<math>\mathbb{R}^+\cup\{0\}</math>,即: |
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: <math>0\leq f(x)<+\infty</math> |
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这里可以定义另外一个函数<math>g</math>: |
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: <math>g:\,x\mapsto x^2</math> |
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函数是否為[[滿射]],這點跟上域的選取很有關係。在上面的例子中,<math>g</math>是一个满射,而<math>f</math>不是。 |
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== 相关条目 == |
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* [[定义域]] |
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* [[值域]] |
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[[Category:集合論基本概念|S]] |
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2023年1月12日 (四) 02:07的最新版本
對應域(英語:Codomain),或稱為陪域、餘定義域、上域、终域、共变域、目標集合。
在數學領域中,一個函數的對應域指的是至少包含所有此函數的輸出值的一個集合。在函數符號中,是函數的對應域。
的值域是的一個子集,若是一個滿射函數,則的對應域和值域相等,反之則代表有不存在於的值域中,使得方程式無解。
例
[编辑]例一
[编辑]定義三個函數:
其中。
- 因為,函數的輸出值皆為非負數,所以的值域為,也就是區間。又因,即的對應域不等於值域,所以不是一個滿射函數。
- 雖然和函數的輸出值相同,但因為兩者的對應域不同,因此不是相同的函數。
- 因為的對應域不等於的定義域,合成函數 為無效的函數。唯有合成符號右側函數的對應域和左側函數的定義域相同時,該合成函數才有效,例如。
例二
[编辑]定義為介於兩個線性空間的線性變換:
也可以被表達成一個2×2的實數矩陣,代表一個從定義域到對應域的對應方式。 假設
則代表把所有定義域中的點 對應到對應域中的點 。由於的值域只蒐集了所有的點,例如點不在的值域中,但在的對應域中,因此不是一個滿射函數。
在此例中,2×2的矩陣在秩(rank)等於2時,為滿射函數,小於2時則非。對應域和值域是否相等可做為判斷矩陣是否有滿秩(full rank)的依據,因為的值域小於對應域,所以沒有滿秩。