量子力學入門

量子力學（Quantum Mechanics，或稱量子論）是描述微觀物質（原子，亞原子粒子）行為的物理學理論，量子力學是我們理解除萬有引力之外的所有基本力（強相互作用，電磁相互作用，弱相互作用，引力相互作用）的基礎（關於引力的量子力學理論請參見「量子引力」）。

量子力學是許多物理學分支的基礎，包括電磁學，粒子物理，凝聚態物理，以及宇宙學的部分內容。量子力學也是化學鍵理論（因此也是整個化學的基礎），結構生物學以及電子學，信息技術，納米技術等學科的基礎。一個世紀以來的實驗和實際應用已經充分證明了量子力學的成功和實用價值。

量子力學始於20世紀初馬克斯·普朗克和尼爾斯·玻爾的開創性工作，馬克斯·玻恩於1924年創造了「量子力學」一詞。因其成功的解釋了經典力學無法解釋的實驗現象，並精確地預言了此後的一些發現，物理學界開始廣泛接受這個新理論。量子力學早期的一個主要成就是成功的解釋了波粒二象性，此術語源於亞原子粒子同時表現出粒子和波的特性。量子力學已經滲透到了比廣義相對論更廣泛的應用範圍，^{[來源請求]}比如微觀領域（原子或亞原子），高能或低能狀態以及超低溫狀態。

熱輻射即物體因其自身溫度而從物體表面發射出來的電磁輻射。如果有一個物體經過充分加熱以後，會開始發射出光譜中紅色端的光線而變得火紅。再進一步加熱物體時會使顏色發生變化，發射出波長較短（頻率較高）的光線。而且這個物體既可以是完美的發射體，同時也可以是完美的吸收體。當物體處於冰冷狀態時，看起來是純粹的黑色，此時物體幾乎不會發射出可見光，而且還會吸納落在物體上的光線。這個理想的熱發射體就被視為黑體，而黑體發出的輻射就稱為黑體輻射。

在19世紀末期，熱輻射在實驗上已有相當清晰的描述。維恩位移定律指出輻射最強處的波長，斯特凡-波茲曼定律指出每一單位面積發射出的總能量。當溫度逐步遞增時，光的顏色會從紅色轉成黃色，再轉成白色、藍色。當峰值波長移向紫外線時，藍色波長中仍有足夠的輻射會發射出來，使物體持續顯現成藍色。物體絕對不會變得看不見，可見光的輻射會以單調形式逐步增強。^[1]所有頻率段所發射的輻射量都會增強，但較短波長處的增強幅度相對要大的多，因此在強度分佈裏的峰值就會移向較短的波長。

瑞利－金斯定律符合實驗數據中的長波長部分。但在短波長部分，古典物理預測熾熱物體所發射出的能量會趨於無窮大。這個被稱為紫外災難的結果顯然是錯的。

第一個能夠完整解釋熱輻射光譜的模型是由馬克斯·普朗克於1900年提出的^[2]普朗克把熱輻射建立成一群處於平衡狀態的諧振子模型。為了符合實驗結果，普朗克不得不假設每一個諧振子必定以自身的特徵頻率為能量單位的整數倍，而不能隨意發射出任意量的能量。也就是說，每一個諧振子的能量都經過「量子化」。^[3]每一個諧振子的能量量子與諧振子的頻率成一比例，這個比例常數就稱為普朗克常數。普朗克常數的符號為h，其值為 Template:Val，頻率f的諧振子能量E為

${\displaystyle E=nhf,\,}$ 此處 ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$^[4]

普朗克定律是物理學中第一個量子理論，也使普朗克榮獲1918年的諾貝爾獎「為表揚普朗克對於能量量子的發現和促使物理學進步的貢獻」。^[5]但當時普朗克認為量子化純粹只是一種數學把戲，而非（我們今日所知的）改變了我們對世界的理解的基本原理。^[6]

19世紀末，人們普遍認為，經典物理的宏偉框架似乎已經接近完成了，但對於一些新的實驗發現，經典物理不能作出合理解釋，因此，這種觀念受到了挑戰。在宏觀尺度（比如人，時空尺度）低速運動狀態下，經典物理學理論有着完美的應用，但在解釋大量微觀粒子運動或物體以極高的速度運動時，經典理論遭受了巨大的困難。一種關於全局的觀點認為，總的來說，從普通的觀測中得到的結果受到了觀測和理論預言的挑戰（經典物理已經給不出可能的解釋）。逐漸顯露的景象是，宇宙表現出的行為倔強地違背着我們的常識。

在大尺度層面，相對論告訴我們對不同的觀測者來說時間流逝的快慢並不相等。物質能轉變為能量，反之亦然。兩個以超過0.5倍光速的速度相向而行的物體無法以超過光的相對速度接近對方，時間歷程會在接近大質量物體時變慢等等。事物並不是以我們的經驗所習慣的方式運作着的。

在小尺度層面，奇異的現象更是無處不在。我們無法描述一個光子或電子從出發點到它被發現點之間的確定的位置或是運動軌跡。我們無法用日常的經驗來判斷一個粒子將在何處出現。它甚至會有一定的概率在一個封閉邊界外出現。概率成為這個尺度上一切相互作用的關鍵因素。討論任何原子尺度上的粒子的運動軌跡是沒有意義的，因為如果我們要精確的測量粒子的位置，對其速度的測量的準確度就會降低，反之亦然。

在經典物理的時代，牛頓和他的追隨者們相信光的本質是粒子，而另外一部分人（惠更斯等人）則認為光是在某種介質中傳播的波。物理學家們並沒有去尋找實驗去證明某一方觀點是否正確，而是設計了能夠顯示出光的頻率等屬於「波動性」的特徵的實驗，同時也有能顯示出動量等「粒子性」特徵的實驗。而在此後的一些實驗觀測中，尺度較大的粒子，比如原子甚至是一些分子都顯示出了「波動性」的特徵。

最受人尊敬的物理學家謹慎的提醒道：「如果關於量子力學的某些解釋顯得「有意義」了，那麼它多半會有瑕疵。」^{[來源請求]}1927年，尼爾斯·波爾這樣寫到：「如果有人沒有被量子論所震驚的話，他就沒有理解它。」

量子力學的基本問題源自17世紀對光的本質的研究以及19世紀初電和磁的本質被揭示出來。1690年，惠更斯提出了光的波動學說用以解釋干涉和折射現象，^[7]而艾薩克·牛頓堅信光是由極其微小的粒子構成的，他把這種粒子叫作「光子（corpuscles）」。由於牛頓本人的高度權威，微粒說在很長的一段時間佔據着上風，1827年，托馬斯·楊和奧古斯丁·菲涅爾用實驗證明了光存在干涉現象，這是和「微粒說」不相容的。隨着波動學說的數學理論逐漸完善，到19世紀末，無論是實驗還是理論上，牛頓的理論都失去了以往的地位。

不久之後的一些實驗現象如光電效應，只能把光看作「一份一份」的或是將其量子化才能得到合理的解釋。當光照射在金屬表面，電子會離開初始位置逸出。這種現象的一些特點只能在光的能量不連續的假設下才能被合理解釋。在一個光電設備（照相機的曝光表等），光照射在金屬感應器表面使得電子逸出。增加光的強度（同一頻率的光）能夠讓更多的電子逸出。而如果想要使電子的速度更快也就是動能更大，必須增加光的頻率。因此，光強只決定了光電流的大小，也可以說是電路中電壓的大小。這個現象和傳統的波動模型相悖，因為傳統模型是源自對聲波和海洋波的研究，這個模型的結論是，振動源的初相位也就是強度大小決定了所產生波的能量大小。同時，如何讓表現出光的粒子性和波動性的實驗現象和諧共處的問題，也擺在了物理學家的面前。

1874年，喬治·強斯頓·史東尼 首次提出了電荷的概念，它是帶電體的基本量，不能再被拆分成更小的部分。電荷也就成為了第一個被量子化的物理量。1873年，詹姆斯·克拉克·麥克斯韋給出了著名的麥克斯韋方程，在理論上證明振盪的電路能夠產生電磁波，這使得純粹的通過電磁測量手段來測量電磁波的速度成為了可能。而測量結果顯示電磁波的速度非常的接近於光速。也就是說，光也是一種電磁波。^[8]亨里克·赫茲製作了一個能夠產生低於可見光頻率的電磁波（現在我們稱之為微波）的儀器。^[9] 早期研究的爭議在於如何解釋電磁輻射的本質，一些人認為這是因為其的粒子性，而另一些人宣稱這是一種波動現象。在經典物理里，這兩種思想是完全相悖的。

量子力學正式開始於馬克斯·普朗克里程碑式的於1900年發表的關於黑體輻射的論文，^[10]在這篇論文裏，第一次出現了量子假設。普朗克的工作讓人們認識到，無論是波動說還是粒子說都不能單獨地合理地說明電磁輻射現象。1905年，愛因斯坦擴展了普朗克的量子假設，並用其成功的解釋了光電效應現象。^[11] 波爾給出了他的原子模型，這個模型充分的吸收了普朗克的量子假設。^[12] 這些工作和20世紀初的其他一些工作創立了「舊量子論」。

1924年，路易·德布羅意提出了物質波假設。此假設的提出成為了一個轉折點，從那以後，一個更高級且更完整的量子力學逐漸出現了。^[13] 在20年代中期對「新量子力學」或「新物理學」做出了重要貢獻的物理學家還有，馬克斯·波恩，^[14] 保羅·狄拉克，^[15] 維爾納·海森堡，^[16] 沃爾夫岡·泡利，^[17] 以及 埃爾溫·薛定諤。^[18] 20世紀40代末到50年代初，朱利安·施溫格，朝永振一郎，理查德·費曼和弗里曼·戴森 合作或分別同時發展了量子電動力學，它研究的對象是電磁相互作用的量子性質（即光子的發射和吸收）、帶電粒子的產生和湮沒、帶電粒子間的散射、帶電粒子與光子間的散射等等。此後，穆雷·格爾曼 發展了關於強力的量子力學理論--量子色動力學。

當一束白光通過光學稜鏡，光柵，錐面鏡或者是雨後的彩虹時，它就被分解成了各種顏色的光。這樣的光譜說明了，白光是由所有頻率的有色光組成的。

在受熱或者是受某種能量激發時，由單一元素組成的樣品能夠輻射出可見光，它的光譜被稱為放射光譜。光譜和元素的種類以及外界加熱的溫度有關。和白光的光譜不同，這種光譜是間斷的，並不是從紫色到紅色連續出現每種顏色，而是分別形成了一些具有不同顏色的窄帶（亮線），窄帶與窄帶之間存在黑色暗帶，這就是所謂的「線狀光譜」。放射光譜的譜線能夠超出可見光的範圍，我們能使用特殊的照相設備和電子設備檢測到它們。

最初，人們認為原子電磁輻射的模式是類似於小提琴的一根弦「輻射」出聲波那樣的--不僅僅只有一種基本頻率（整個弦一起在最低頻率振動，同時向一個方向運動），還應該有高頻諧波（頻率是基頻的整數倍，弦上不同的地方位移可能相反，類似於正弦波）的成分。但如何用數學語言簡潔合理的描述某種元素的譜線分佈一直困擾着人們，直到1885年，才由約翰·雅各布·巴耳末給出了一個簡單的公式來描述氫原子的譜線，如下：

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{2^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \lambda }$ 表示波長, R是里德伯常量，而n 是大於2的整數 這個公式還能推廣到適用於別的一些元素的原子光譜，但這不是關鍵的，我們感興趣的是，為何第一個分數的分母是一個整數的平方？

進一步的發展便是彼得·塞曼發現了塞曼效應，隨後亨得里克·洛侖茲給出了其物理解釋（兩人一起獲得了1902年諾貝爾物理學獎）。洛倫茲假設氫原子的譜線是由電子躍遷產生的，這很容易由對原子本身的分析得到。由於運動的電子會產生電磁場，因此電子的行為就能夠被外磁場所影響，就想磁鐵之間互相吸引一樣。

若假設電子在特定的不同的軌道上躍遷時向外輻射電磁波而形成譜線，賽曼效應就得到了合理的解釋。但經典物理做不到這些，它不能告訴我們電子為何不螺線狀墜入原子核，不能告訴我們為何原子的軌道有輻射譜線需要的性質來描述巴爾末公式，不能告訴我們為什麼電子的光譜都不是連續的。而這一切，都預示着，變革即將到來。

量子力學始於對電磁波的譜系分析。我們最熟悉的電磁波就是可見光了。電磁波的頻率（或波長）決定了它的能量，紫外線，X射線和伽瑪射線具有比光更大的能量，而紅外線，微波,無線電波的能量比光小。電磁波在真空中以光速傳播。從此以後，粒子通常是指基本粒子或亞原子粒子。

經典物理有一個關於黑體輻射問題的推論：當頻率增大時，黑體輻射將會釋放出無限大的能量（瑞利-金斯定律）。這個結論當然是荒謬的，可觀測到的實驗現象也是讓人無法理解：黑體的輻射光譜的能量密度隨着頻率從零開始遞增達到一個峰值（峰值頻率和輻射源的溫度有關）後再逐漸衰減至零。1900年，馬克斯·普朗克給出了一個能夠解釋黑體光譜實驗現象的經驗公式（利用數學插值法），但他不能使之和經典物理相協調。 他得出的結論是，和從前大家所普遍相信的不一樣，經典物理並不適用於微觀世界。

普朗克的公式適用於任意的波長和頻率的情況下，同時限制了發散的能量傳輸。「在經典物理里，...振動的能量僅僅取決於其振幅，而振幅的大小是沒有任何限制的。」^[19] 他的理論導出了一個重要推論，輻射的能量和輻射的頻率成正比關係，頻率越高，能量越大。為了解釋這個推論，他做了這樣的假設：宏觀的輻射源（如黑體）是由數量巨大的基本諧振子構成的，振子的頻率在零到無窮大之間分佈（不久以後證實了這種基本諧振子就是原子或分子），於是普朗克做了更進一步的假設：任一振子的能量「E」和它的頻率「f」成正比，而且是某種整倍數關係。如下所示：

${\displaystyle E=nhf,\,\!}$

在此式里，n =1, 2, 3,..。「h」由普朗克首先引入的是基本物理學常數，為了紀念他的功績，被命名為「普朗克常數」。^[20] h 是一個非常小的量, 大約是 6.6260693 × 10^-34 焦耳-秒。

如果我們知道「h」和光子的頻率，就能用這個方程計算出光子的能量。 給出一個例子：如果一束光的頻率是540× 10¹² 赫茲。那麼這束光的每一個光子的能量就是「h」× （540×10¹² hertz）。因此光子的能量就是3.58 × 10^-19 焦, 就是大約2.23 電子伏特。

如果用這種方式來描述波所具有的能量，波所攜帶的能量就成了一份一份的。普朗克將這種「份」命名為「量子」 ，就這樣，電磁波被重塑成了類似於粒子的物質。電磁波的能量被量子化後，量子力學誕生了。能量的大小和電磁波的頻率息息相關。對於可見光來說，能量和顏色相關，因為顏色是由其頻率決定的。但讀者應該認識到，我們雖然用了諸如「份」，「波」，「粒子」等來自於宏觀世界的概念來描述量子世界，但實際情況比這複雜的多，我們這樣做是為了方便讀者理解。

在早期關於光的研究中，存在兩種相互競爭的描述方式光：作為波在真空中傳播，或是作為微小粒子沿直線傳播。普朗克表述了光的能量是量子化的，凸顯出了它的粒子性。這種表述讓我們明白了光是如何以量子化形式傳播能量的。但是，光的波動性又是我們理解衍射和干涉之類的現象所必須的。

1905年，愛因斯坦引入普朗克常量來解釋光電效應而獲得成功，他假設一束光是由大量的光量子（也就是後來的光子）組成的，^[21]在這個前提下，一個光子具有的能量是不變的且和其頻率成正比關係（不同的光子具有不同的能量）。儘管這個建立在普朗克量子化假設上的理論聽起來類似於牛頓的微粒學說，但愛因斯坦的光子同時還具有頻率這種性質，其能量還和頻率成正比，這是和過去不一樣的，但無論如何，光的「粒子說」以一種折中的方式回來了。^[22]

粒子和波的概念都源自於我們日常生活中的經驗。我們不看「看見」單獨的光子（事實上我們的觀測就是利用光子來進行的），我們只能間接的觀察它們的一些性質。比如我們從表面覆蓋着油膜的水坑裏看見光反射出各種顏色。把光看做某種波，我們能解釋這種現象。^[23]而對於其它一些現象，比如照相機中的曝光表的工作原理，我們又習慣把光看做某種和感光屏相撞的粒子。無論是哪種方式，我們都是在用日常生活中由經驗得到的一些概念來描述那一個我們永遠無法直接看到或者感知到的世界。

當然，無論是波動說或者粒子說都不能讓人完全滿意。總的來說，任何一種模型都只是對實際情形的近似描述。每一種模型都有它適用的範圍，超出這個範圍後，該模型也許就不能作出精確的描述了。牛頓力學對於我們的宏觀世界來說仍是足夠實用的。我們應該認識到波和粒子的概念都是源自於我們的宏觀世界的，我們用它們來解釋微觀世界在一定程度上並不合理。有些物理學家，比如班尼旭·霍夫曼使用了「波粒二象性」來描述這種微觀世界的「實在」，而在接下來的討論中，使用「波」還是「粒子」將取決於我們從哪個方向去研究量子力學的現象。

普朗克常數最初只是連接光的能量和頻率的比例因子。波爾在他的理論中推廣了這個概念。波爾用原子的行星模型來描述電子的運動，但起初他並不理解為何2π和普朗克常數一起出現在了他推導出的數學表述中。

不久之後，德布羅意假設電子也如同光子那樣具有頻率，而其此頻率必須滿足電子在特定軌道穩定存在的駐波條件。這就是說，電子波圓周運動的軌跡必須光滑的銜接起來，波峰和波谷連續分佈。中間不能有間斷，周長的每一段都是振動的一部分，而且波形不能重疊。很自然的我們可以得出軌道的周長「C」是波長「λ」的正整數倍。我們在知道軌道半徑「r」之後就能夠計算出周長，在利用周長計算出電子的波長，數學表述如下：

${\displaystyle C=2\pi r=n\lambda \,\!}$

解出λ得:

${\displaystyle \lambda =2\pi r/n\,\!}$

這個方程用半徑「r」表示出了決定頻率和波長的軌道周長，就這樣，因為半徑和周長之間的固有關係，2π再一次出現在了量子力學中。^[24]

1925年，當維爾納·海森堡在完成他的完整量子理論表述過程中（原文可能有問題，寫的是波函數，懷疑寫錯了人），傅里葉級數是計算中經常出現的數學形式，而在傅里葉級數中2π這個因子可以說是無處不在。引入約化普朗克常數（h/2π）後，可以約去表達式中大多數的2π，從而使方程更加簡潔。數年之後，約化普朗克常數出現在了狄拉克方程中，它也因此得名「狄拉克常數」。現在，雖然我們已經談了這麼多關於這個常數的發展和歷史，卻還沒有涉及到更深層的意義---為什麼在理論運用中它比普朗克常數更簡便或是更普適？

如上所述，任何電磁波的能量等於它們的頻率乘以普朗克常數，而波長等於頻率乘以光速。波是由波峰和波谷組成的。經過一個完整的周期，波上的各點會回到振動的初始位置。例如，某一點開始的時候是波峰，經過一個周期後它將再次回到波峰。一個周期恰好和一個圓周相對應，都是360度，也就是2π弧度。1度是指弧長是圓周長的1/360的圓弧所對應的角度的大小。隨着圓的轉動，圓周上的一點會畫出正弦曲線的軌跡。（觀看相關演示動畫，請訪問[1]）

現在取一段圓弧，使其長度等於其半徑。用直線把圓心和圓弧的兩端分別連起來。這兩條半徑的夾角就是1弧度。圓周和波的周期都是2π弧度。既然一個周期等於2π弧度，「h」除以2π後，這兩個2π就相互抵消了，只留下一個以弧度為單位的變量。因此如果把h/2π表示成一個常數，乘以波的頻率（周期除以2π）時，一弧度就對應着一焦耳的能量。約化普朗克常數，讀作「h一橫(h-bar)」，表示為：

${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}\ }$.

約化普朗克函數使計算電磁波的能量時使用的單位由周期變成了弧度。h和ħ的作用只是將頻率的單位（量綱）轉換成能量的單位（量綱）。

之所以在量子力學的數學表述中更多出現的是約化普朗克常數，主要有以下原因：角動量和角頻率都是以弧度為單位的，使用ħ可以免去角度和弧度之間的相互轉換。在量子力學的方程中使用ħ可以化簡很多分式。而在其他一些情況下，比如波爾的原子模型中，表述軌道角動量時自然而然的就出現了ħ（h/2π）。

h 的數值取決於波長以及能量的單位的選取。如果能量使用電子伏特（eV，粒子物理學的常用單位）而波長使用埃（ångström，10^-10m）作為單位，那麼一個光子的能量大約是_eV = 12400/λ_ångström。這種表示方式容易記憶且避免了使用國際單位制中的小值。^[25]

1887年，J·J·湯姆生領導的一個研究小組發現了一種帶着一個單位負電荷且質量極小的基本粒子並把它命名為電子。通過金箔實驗，物理學家認識到物質的內部幾乎是真空的，原子核只佔了原子很小的一部分。^[26] 這個事實清楚之後，就可以很自然的假設負電子在軌道上環繞着原子核運動，就像太陽系的行星那樣。但這種簡單的類比的後果就是：根據經典電動力學，電子在運動時會不斷向外輻射電磁波，失去能量的電子最終將會墜入原子核中。以此推論，電子大約只能存在百分之一微秒^[27]。因此，20世紀初困擾物理學家們最大的問題就是：電子是如何保持穩定軌道的？

1913年，為了解決這個問題，尼爾斯·玻爾假設了電子的軌道是量子化的（不連續）。這就是著名的玻爾原子模型。玻爾的基本假設是：電子只能佔據原子核外的特定軌道^[28]這些軌道能夠在對單一元素的原子的光譜分析後得出。

玻爾指出了粒子說和波動說都不能獨立的說明經實驗觀測到得光的特性。所有形式的電磁輻射都在一些實驗中表現出波動性，卻又在別的一些實驗中表現出粒子性。以此為根據，玻爾闡明了對應原理，此原理針對一些相對應的概念，如波動性和粒子性，位置和動量等。

1924年，德布羅意從玻爾的發現中發展出了波粒二象性理論用以描述亞原子粒子同時具有的波和粒子性質的特性，並給出了數學表述。德布羅意推廣了玻爾模型，一個繞着原子核旋轉的電子能夠被看作具有一些類似於波德性質。特別的是，只有環繞原子核形成駐波時，電子才能被觀測到。「駐波」的波形無法前進，因此無法傳播能量。它的一個典型例子是兩端固定的一根弦，撥動兩端固定張緊的弦使其振動，一開始需使弦的兩端的振幅為零，使波經兩固定端反射可干涉產生駐波。同時，弦的兩固定端必為節點（也就是振幅為零的點）。當弦上產生駐波時，弦長L為半波長的正整數倍。而回到原子模型上，如果要使波動運動軌跡光滑銜接形成一個簡單閉合曲線，波必須由波峰和波谷連續構成。而電子的軌道是圓周軌道，每一個電子就必須以它自己的駐波形式來佔據特定軌道。

1932年諾貝爾物理學獎獲得者，維爾納·海森堡在1925年建立起了完整的量子力學理論。

1925年，基於德布羅意的物質波模型，埃爾溫·薛定諤假設電子就是那樣環繞原子核的波，然後對電子的行為進行了數學分析。他並沒有把電子比作繞行星轉動的衛星，而是直接把它們看作在原子核周圍的某種波，並且指出描述各個電子的波函數都是互不相同的。而這種波函數所遵守的方程式被命名為薛定諤方程，以紀念他為量子力學做出的貢獻。薛定諤方程分別從三個性質出發描述了波函數（後來沃爾夫岡·泡利又加入了第四個性質：自旋）：

1. 軌道的名稱表明了粒子波的能量高低（離原子核越近能量越低）。
2. 軌道的形狀，球形或者其他。
3. 軌道的傾角，決定了電子對z軸的磁矩。

這三種特性被歸納成描述電子量子態的波函數 。量子態代表着電子的這些特性，它適時的描述了電子的狀態。電子的量子態由它的波函數給出數學描述，我們用希臘字母${\displaystyle \psi }$ 來表示波函數(${\displaystyle \psi }$， 讀作"[sai]").

這三個被波函數描述的特性分別被稱之為電子的量子數。第一個描述軌道能量的量子數叫作主量子數，這個量子數對應着波爾原子模型里決定原子能級的n。

第二個量子數，角量子數，用用l（小寫L）來表示。它描述了軌道的形狀，軌道的角動量 決定了軌道的形狀。角動量的變化率等於系統所受合外力的力矩。換句話說，角動量反映了旋轉物體在外力作用下其速度改變的難易程度。角量子數 "l"代表着電子對原子核的角動量。而每一種軌道形狀有不同的符號表示。第一種形狀用字母s表示 ("因為球形『spherical』首字母是S"). 第二種形狀用字母p表示啞鈴形。另外還有一些複雜的形狀（請訪問 Atomic Orbitals）分別用字母 d, f以及g來表示。 碳原子的條目詳細的描繪了碳原子的軌道。

薛定諤方程的第三個量子數描述了電子的磁矩，此量子數用m或帶下標l的m來表示，這是因為磁矩跟第二個量子數l有關。

1926年5月，薛定諤證明了海森堡的矩陣力學和他的波動力學對電子性質和行為的預測結果是相同的；而它們在數學上也是等價的。但他們仍然在對各自理論的物理詮釋上無法取得一致的意見。海森堡認為間斷的量子躍遷的存在是很自然的，但薛定諤仍寄希望於得到一個連續性的，傳統的，如同波動說那樣的理論來讓（用威廉·韋恩的話來說^[29])"海森堡的愚蠢的量子躍遷"從物理學裏徹底消失。^[30]

1927年，海森堡利用他的矩陣力學和一些理想實驗推導出了一個微觀尺度下物質和能量的重要結論。他發現在測量粒子動量和位置的時候會導致h/4π的誤差（兩者誤差相乘）。測量時位置的誤差越小，動量的誤差就會變得相當大。而h/4π就是這個誤差的下限（也就是說兩者誤差的乘積大於等於h/4π）。這一結論最終被稱作不確定性原理。

量子力學嚴格限制了測量處於運動狀態的亞原子粒子時的精確度。觀測者可以精確測量粒子的位置或是動量，但無法同時精確測量兩者。這個限制意味着對其中一種屬性的測量達到極高的精確度時，對另一種屬性的測量的誤差將會趨於無窮大。

海森堡在早期一個關於不確定原理的演講里這樣提到了玻爾模型：

"你大可以認為，電子的軌道並不是真正的軌道。實際上,在每一時刻電子總有一個屬性是我們無法確定的，要麼是動量，要麼是它的位置，這是不確定關係得出的結論。只有接受了這種理念，我們才可能描述電子的軌道是什麼，而它的確是這樣的。" ^[31]

不確定性原理給出的一個重要結論就是在某一時刻，我們不能確定電子在軌道上的確切位置，我們只能給出電子在某一位置出現的可能性。計算出電子可能出現的位置，給出可能出現的相關軌道，我們就可以給出一種和傳統圖景不同的原子描述——電子在原子核周圍形成了電子云,它分佈在原子核周圍，在靠近原子核的一些區域，電子云擁有最大的密集度，這代表電子在這些區域出現的概率最大，在遠離電子的區域，電子云變得稀疏了，電子在這些區域出現的概率較小。數學上我們把這種點狀雲稱為概率分佈，這是它的一種較形象的表述方式。波爾的原子模型中每個軌道對應的量子數n就成為了n維球面，被描繪成環繞原子核的概率電子云。

如果一個電子的位置無法被測量出，我們就不能描述它處於哪一個特殊的位置了。我們能做的就是計算出電子在軌道上某些位置出現的機率。 換句話說，量子力學只能給出發生某種可能的結果的機率。海森堡從不確定原理出發，繼續思考觀測電子的問題，得出的結論居然是微觀粒子只在我們觀察它的時候才存在！注意他針對的是粒子本身，而不是它們的軌道。儘管他所闡述的理論看上去是荒誕且強烈的違背者我們的直覺的，量子力學仍然只能從概率分佈出發來計算給定軌道下電子的位置。

儘管海森堡的矩陣力學允許電子出現在無限多的位置，這並不意味着電子可以出現在空間中的每一個地方。有一些條件限制了電子，使其必須佔據某些特定的概率分佈描述的位置。波爾模型是通過電子的能級來描述電子行為的，矩陣力學和它是相容的。因此，一個電子所出現的n維球面對應着離原子核某一特定距離，而正是這個距離決定了電子的能量。正是這個條件制約了電子的位置。電子可能存在的位置的數目又被稱為相空間中的相格數^[32]根據不確定原理，經典相空間不能被無限細分，因此在一個軌道上電子能佔據的位置數就是有限的了。電子在原子裏的位置取決於它的軌道，而一個軌道終止於原子核，並且離下一個軌道開始的位置很近。

自牛頓以來的經典物理學告訴我們，如果我們知道某一時刻行星和恆星的位置和運動狀態，我們就能夠預測它們在未來任何時刻運動狀態。不確定原理則告訴我們這對於亞原子世界是不適用的。我們不能同時精確測量出微觀粒子位置和動量，對於粒子未來的運動狀態，我們只能給出一種概率分佈，該分佈只能告訴我們在未來它處在這種狀態的可能性。

源自波粒二象性的不確定性原理的影響只在亞原子尺度時顯現出來。儘管這些現象違背了我們的直覺，以不確定原理著稱的量子力學仍然不斷引領着科學技術的進步，如果沒有它，我們也就不會擁有電子計算機，熒光燈以及醫學影像設備。

對於單個電子而言，薛定諤的波動方程及其獨特的波函數和海森堡的量子化的點粒子的概率分佈一樣在空間中散開，因為波本身就是分佈很廣的擾動而不是點粒子。因此，薛定諤的波動方程能夠得到和不確定性原理相同的結果，因為位置的不確定性在波的擾動的定義中就表現出來了。只有海森堡的矩陣力學才需要定義不確定性，因為它是從粒子的觀點出發的。薛定諤的波函數顯示電子總是處於概率雲中，在它像波一樣展開的概率分佈中。

馬克斯·玻恩在1928年發現，薛定諤的波函數的平方（為了得到振幅的平方）是電子位置的概率分佈。^[33]對於電子的位置可以直接測量而不會得到一個概率分佈，是因為電子暫時失去了波的性質。沒有了波的性質，薛定諤的關於電子的波的特性的預言也都失效了。對粒子的位置的測量使粒子失去了波的性質，以至於薛定諤的波動方程失效了。電子一經測量再也不能被波函數所描述，它的波長變得很短並且它與測量設備的粒子相互糾纏，這種現象就是所謂的坍縮。

泡利不相容原理表明了一個原子裏的每一個費米子必然具有不相同的量子狀態。它的一個非常重要的推論就是對任何原子，兩個電子都不能具有同樣的量子態。

沃爾夫岡·泡利給出了泡利不相容原理的簡單表述:

"一個原子中沒有量子數完全相同的兩個電子。"^[34]

沃爾夫岡·泡利 的不相容原理是從他稱做「量子自由度的雙重值」的理論發展而來的。這個理論是為了解釋氫原子光譜中成對出現的兩根非常接近的譜線。這個現象意味着原子的磁矩比預先設想的要大。

1925年初，喬治·烏倫貝克和塞繆爾·高德斯密特提出電子可能像地球那樣繞自身的軸自轉的假設，他們把這種特性稱之為自旋。自旋能夠解釋多出來的那部分磁矩，並且讓兩個電子在不違反不相容原理的條件下佔據同一個軌道成為了可能——只需要它們自旋方向相反。這時就需要一個新的量子數來描述原子自旋的動量。^[35]

就這樣，我們已經確定電子具有四個量子數:

• n, 主量子數；
• l, 角量子數；
• m_l, 磁量子數；
• m_s, 自旋量子數。

泡利舉了一個例子:

「在氦原子中有兩個電子佔據1 s軌道，根據不相容原理，這兩個電子必須有不同的量子數，而n, l, and m_l這幾個量子數是相同的，而且他們的自旋量子數s的值都等於1/2^[34]，因此它們的m_s一個是+1/2,而另一個是-1/2.」

1928年,保羅·狄拉克推廣了用於描述自旋電子的泡利方程而使之與狹義相對論相容.於是這個理論便能夠處理速度接近光速的微觀粒子的運動問題，比如在軌道上運動的電子。使用最簡單的電磁相互作用理論，狄拉克算出了由電子自旋而產生的磁矩，他發現實驗觀測到的值和經典物理所想像的那種自旋所得出的值大了很多。他完全的解決了氫原子光譜的問題，並從他的理論中推導出了索末菲關於氫原子光譜精細結構的公式。

狄拉克方程有時會解出電子具有負能階，於是他提出了一個新穎的假設：在動力學空間中存在着正電子。這最終導致了多粒子量子場論的誕生。1930年，狄拉克編寫了關於量子力學的第一本現代意義上的教科書，書中整合了海森堡的矩陣力學，薛定諤的波動力學和他自己的量子變換理論,同時也使之與狹義相對論相適應。量子力學原理（The Principles of Quantum Mechanics）是公認的經典著作，直到今天也具有相當的參考價值。

直到現在，所有的量子理論主要都是集中在對氫原子光譜的研究上。根據舊量子論，每一種元素的原子的光譜都是獨特的。由於電子和原子核不能被直接觀測到，科學家們不可能直接去研究它們的行為。即使在今天，我們使用掃描隧道顯微鏡，也只能得到模糊不清的原子圖像。迄今為止，對量子力學的實驗驗證還只是在對氦和氫原子的輻射光譜研究上，它的數學表述被用來解釋和說明輻射光譜。因此，量子力學有時也被認為是一種數理物理學。

包立不相容原理指出在同一系統下的兩個電子不可能處於同一狀態。大自然拋棄了這種可能性，但卻允許兩個電子可以在上面「疊」有兩種狀態。回想波函數穿過雙狹縫並在一瞬間以疊加的其中一種狀態呈現在顯示屏幕上。沒有什麼是確定的，除非疊加的波「坍縮」，這時候就會有一個電子以符合概率的方式立即顯示在某個地方，這個概率即波形疊加後的振幅的平方。上述情況已十分抽象難解了。關於光子的纏結，在此有一個較為具體的思考方式，有兩個光子在同一事件中疊加了兩個相對立的狀態，如下︰

可以試着在腦海中想像，把疊加的其中一個狀態標記為藍色，再把另一個狀態標記為紅色，在稍後會顯現成紫色的狀態。兩個光子是在同一個原子事件中產生出來的。這兩個光子可能是水晶吸收特定頻率的光子並發射出頻率為原始值之半的兩個光子所激發而成的。因此這兩個光子顯現出「紫色」。如果有位實驗者現在要作測定光子是紅或藍的實驗，這個實驗會把光子從原本具有「紅」、「藍」兩個狀態改變成只有其中一個狀態。這個愛因斯坦曾經如此想像過的問題是，如果其中一個光子不斷在實驗室的鏡子之間持續彈跳，而另一個光子已經移動到最近的星星的一半路程，當成對的其中一個光子顯現出自身是紅或是藍的時候，就意味着那顆遠在千里之遙的光子也必須失去「紫色」的狀態。故每當檢查光子的時候，光子就必定顯現成相對於成對光子的另一個狀態。

假設有某些物種帶有雄性或雌性這兩種性別特徵的遺傳潛力。牠們會隨着環境的變化轉變成雄性或雌性。牠們也許會一直保持着不確定的狀態直到天氣轉變成嚴寒或酷暑。然後牠們會顯現出一種性別特徵，以後天改變的方式、雄激素或雌激素等高階系統鎖定到那個性別狀態。自然界中確實有符合上述情節的情況，不過現在要再想像如果有一對雙胞胎出生，並且有一股自然之力禁止這對雙胞胎顯現出同一性別。之後如果雙胞胎的其中一個到了南極，並轉變成雌性，此時另一個雙胞胎將無視當地氣候直接轉變成雄性。這樣的世界相當難以解釋。在南極洲的一隻動物會影響到牠那遠在紅木市的雙胞胎兄弟這種事要怎麼樣才會發生？美國加州？心電感應？什麼？要怎麼樣才能瞬間作出變化？即使是來自南極洲的無線電訊息都要花費一段時間。

為了證明量子力學是個不完全的理論，愛因斯坦從理論的預測開始着手，爲了展現量子力學是一個尚不完備的理論，愛因斯坦從該理論對於那些過去已經相互作用的兩個或更多粒子在之後的測量中可以顯示出很強的聯繫這一預言入手。He sought to explain this seeming interaction in a classical way, through their common past, and preferably not by some "spooky action at a distance." The argument is worked out in a famous paper, Einstein, Podolsky, and Rosen (1935; abbreviated EPR), setting out what is now called the EPR paradox. Assuming what is now usually called local realism, EPR attempted to show from quantum theory that a particle has both position and momentum simultaneously, while according to the Copenhagen interpretation, only one of those two properties actually exists and only at the moment that it is being measured. EPR concluded that quantum theory is incomplete in that it refuses to consider physical properties which objectively exist in nature. (Einstein, Podolsky, & Rosen 1935 is currently Einstein's most cited publication in physics journals.) In the same year, Erwin Schrödinger used the word "entanglement" and declared: "I would not call that one but rather the characteristic trait of quantum mechanics." ^[36] The question of whether entanglement is a real condition is still in dispute.^[37] The Bell inequalities are the most powerful challenge to Einstein's claims.

量子電動力學是關於電磁力的量子理論。要理解它需要先理解電磁學。電磁學之所以被稱作「電動力學」因為它描述了電和磁力之間的動力學作用。而電磁學又要從電荷開始講起。

電荷是電場的源，也可以說是它產生了電場。電場是能夠對空間中任意位置的任何帶電粒子施加作用力的場。這些粒子包括電子，質子，甚至是夸克等等。當有力施加時，電荷開始運動，於是就產生了電流和磁場。而變化的磁場又導致了電流的產生（運動的電子）。這個電和磁相互作用的場被作為一個整體而成為電磁場。

描述帶電粒子的相互作用，電流，電場，以及磁場的物理學理論就是電磁學。

1928年，保羅·狄拉克給出了關於電磁學的相對論性質的量子理論。這就是現代量子電動力學的原型， 在這個理論里已經有了現代理論中的很多重要基礎。但是，在這個理論中的計算中出現了無法消除無窮大的問題。這個問題最初被理論的創始人看做暫時的疑難並終將得到解決。而重正化方法的出現最終解決了這個問題，它也成為量子電動力學和其他一些物理學理論自我完善的重要工具。並且，在1940年代末，費因曼圖向人們展示了所有相互作用的圖景。它展示出了電磁力的本質是帶電粒子交換光子的相互作用。

量子電動力學所預測的一個例子是已經被實驗證實的蘭姆移位。由於電磁場的量子效應，一個原子或離子的能級會輕微的偏離沒有量子效應時的位置。而表觀上，光譜譜線會平移或分裂。

20世紀60年代，物理學家們意識到量子電動力學在高能狀態將徹底失效。這也導致了粒子物理學標準模型的建立，它的出現解決了高能狀態下的失效問題。標準模型使得電磁作用和弱相互作用相統一。這就是弱電作用理論。

毫無疑問，量子力學的威力是人類之前建立的任何一個理論無法匹敵的。它完美的解釋了經典力學無法解釋的實驗現象，成功的預言了許多實驗發現，並把大量的其他理論歸納入自己的體系中。 量子力學（特別是量子電動力學被稱為人類有史以來最精確的理論）在實驗預測上的精確度超出了幾乎其餘所有科學理論。 而且，現代物理學幾乎所有的基礎理論，甚至是狹義相對論都被量子力學所歸納入量子場論。幾乎所有的經典物理的內容都可以被看做是量子物理和相對論的特殊近似。經典物理仍能處理自然界的一種基本力--因質量而產生的萬物之間相互吸引的萬有引力的問題,^[38]廣義相對論是成熟的並被廣泛接受的引力理論，目前量子場論還沒有真正的滲透到廣義相對論中。將廣義相對論和相對論性量子力學聯合起來的終極理論被譽為當代理論物理學的聖杯。

儘管量子力學在預言和實用上取得了空前的成功，它的很多方面卻一直在挑戰着我們的直覺。量子力學所描述的微觀物質的行為，和我們由日常經驗所能想像的實在是相差甚遠。

有趣的是，對應原理和埃倫費斯特定理 預言了當一個系統尺度增大到一定程度時（使得普朗克常數可以忽略不計而趨於0），量子力學將會退化到經典力學（有一些例外，比如超流動性和超導性等等）。對於我們的日常生活來說，量子力學的效應完全可以忽略不計，經典描述已經足夠了。但即便如此，物理學家們為了理解這個量子世界，已經做出了許多的量子力學詮釋，從最正統的哥本哈根詮釋到隱變量詮釋再到多世界詮釋等等。這些詮釋已經超出了物理學的範圍，也引起了更多人對它的關注。

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以下的書目全部是由專業物理學家撰寫的通俗著作，旨在讓更多的人了解量子力學，都儘量避免了使用過多的專業術語。

• 理查德·費曼，1985. QED: The Strange Theory of Light and Matter（量子電動力學：光和物質的奇異理論）, Princeton University Press. ISBN 0-691-08388-6
• Ghirardi, GianCarlo, 2004. Sneaking a Look at God's Cards, Gerald Malsbary, trans. Princeton Univ. Press. The occasional passages using algebra，trigonometry，and bra-ket notation can be passed over on a first reading.
• Victor Stenger，2000. Timeless Reality: Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes. Buffalo NY: Prometheus Books. Includes much non-quantum physics and philosophy。

再推薦一本在網絡上流傳很廣的通俗量子力學著作（現已出版）。

簡體：

• 曹天元，上帝擲骰子嗎？：量子物理史話，ISBN 978-7-5382-7637-4，遼寧教育出版社。

繁體：

• 曹天元，上帝擲骰子嗎？：量子物理史話，八方出版股份有限公司 2007。

該書介紹了量子力學的發展歷史和現狀，基本上就是20世紀的物理學史，還通俗的闡述了量子力學的各種主流詮釋。雖然形式上不夠專業，還有一些大大小小的錯誤，但對於想了解量子力學的業餘讀者來說還是很適合的。沒有高等數學基礎也可以閱讀(其實有中學水平的就可以勝任了)。

• Bernstein, Jeremy, 2005, "Max Born and the quantum theory," Am. J. Phys. 73(11).
• Beller, Mara, 2001. Quantum Dialogue: The Making of a Revolution. University of Chicago Press.
• Bohr, Niels. Atomic Physics and Human Knowledge. John Wiley and Sons. 1958. Template:OCLC Template:ASIN. 
• Louis de Broglie，1953. The Revolution in Physics. Noonday Press.
• Albert Einstein，1934. Essays in Science. Philosophical Library.
• Herbert Feigl and May Brodbeck, 1953. Readings in the Philosophy of Science, Appleton-Century-Crofts.
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• Werner Heisenberg，1958. Physics and Philosophy. Harper and Brothers.
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• Planck's original paper on Planck's constant.
• Everything you wanted to know about the quantum world. From the New Scientist.
• Quantum Articles.
• This Quantum World.
• The Quantum Exchange (tutorials and open source learning software).
• Theoretical Physics wiki
• "Uncertainty Principle,"維爾納·海森堡的口述錄音。