測度

在數學中，測度是一種將幾何空間的度量（長度、面積、體積）和其他常見概念（如大小、質量和事件的機率）廣義化後產生的概念。傳統的黎曼積分是在區間上進行的，為了把積分推廣到更一般的集合上，人們就發展出測度的概念。一個特別重要的例子是勒貝格測度，它從 ${\displaystyle n}$ 維歐式空間 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ 出發，概括了傳統長度、面積和體積等等的概念。

研究測度的學問被統稱為測度論，因為指定的數值通常是非負實數，所以測度論通常會被視為實分析的一個分支，它在數學分析和機率論有重要的地位。

直觀上，測度是「體積」的推廣；因為空集合的「體積」當然為零，而且互相獨立的一群（可數個）物體，總「體積」當然要是所有物體「體積」直接加總（的極限）。而要定義「體積」，必須先要決定怎樣的一群子集合，是「可以測量的」，詳細請見σ-代數。

如果將 ${\displaystyle \mu }$ 的值域擴展到複數，也就是說 ${\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {C} }$ ，那 ${\displaystyle \mu }$ 會被進一步稱為複數測度。^[1]

若照著上述定義，根據可數可加性，不少母集合本身的測度值會變成無窮大（如對 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ 本身取勒貝格測度），所以實際上不存在。但某些書籍^[2]會形式上將無窮大視為一個數，而容許測度取值為無窮大；這樣定義的書籍，會把只容許有限實數值的測度稱為（非負）有限測度。但這樣"定義"，會造成可數可加性與數列收斂的定義產生矛盾。

所以要延續體積是一種＂度量＂的這種直觀概念（也就是嚴謹的定義勒貝格測度），那就必須把σ-代數換成條件比較寬鬆的半集合環（英語：Semiring#Semiring_of_sets），然後以此為基礎去定義一個對應到＂體積＂的前測度（英語：Pre-measure）。

更進一步的，如果對測度空間 ${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}$ 來說，母集合 ${\displaystyle X}$ 可表示為 ${\displaystyle \Sigma }$ 內的某可測集合序列 ${\displaystyle \{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }}$ 的聯集：

${\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}$

且 ${\displaystyle \mu }$ 只容許取有限值，則 ${\displaystyle \mu }$ 會被進一步的稱為（非負）σ-有限測度。

測度${\displaystyle \mu \ }$的單調性： 若${\displaystyle E_{1}\ }$和${\displaystyle E_{2}\ }$為可測集，而且${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}$，則${\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})}$。

若${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}\cdots }$為可測集（不必是兩兩不交的），則集合${\displaystyle E_{n}\ }$的聯集是可測的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：

${\displaystyle \mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}$

如果還滿足並且對於所有的${\displaystyle n\ }$，${\displaystyle E_{n}\ }$⊆${\displaystyle E_{n+1}\ }$，則如下極限式成立：

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i}).}$

若${\displaystyle E_{1},E_{2},\cdots }$為可測集，並且對於所有的${\displaystyle n\ }$，${\displaystyle E_{n+1}\ }$⊆${\displaystyle E_{n}\ }$，則${\displaystyle E_{n}\ }$的交集是可測的。進一步說，如果至少一個${\displaystyle E_{n}\ }$的測度有限，則有極限：

${\displaystyle \mu (\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i})=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})}$

如若不假設至少一個${\displaystyle E_{n}\ }$的測度有限，則上述性質一般不成立。例如對於每一個${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，令

${\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} }$

這裡，全部集合都具有無限測度，但它們的交集是空集。

直觀上，因為測度的單調性，只要包含於零測集的集合，也「應該」是零測集，完備測度的定義體現了這個直觀的想法。更進一步的，任意測度可以按如下的定理擴展為完備測度：^[3]

證明

下列是一些測度的例子（順序與重要性無關）。

• 計數測度　定義為${\displaystyle \mu (S)=S\ }$的「元素個數」。
• 一維勒貝格測度是定義在${\displaystyle \mathbb {R} }$的一個含所有區間的σ代數上的、完備的、平移不變的、滿足${\displaystyle \mu ([0,1])=1\ }$的唯一測度。
• Circular angle測度是旋轉不變的。
• 局部緊拓撲群上的哈爾測度是勒貝格測度的一種推廣，而且也有類似的刻劃。
• 恆零測度定義為${\displaystyle \mu (S)=0\ }$，對任意的${\displaystyle S\ }$。
• 每一個機率空間都有一個測度，它對全空間取值為1（於是其值全部落到單位區間[0,1]中）。這就是所謂機率測度。見機率論公理。

其它例子，包括：狄拉克測度、波萊爾測度、若爾當測度、遍歷測度、歐拉測度、高斯測度、貝爾測度、拉東測度。

• 外測度（Outer measure）
• 幾乎處處（Almost everywhere）
• 勒貝格測度（Lebesgue measure）
• 勒貝格積分
• 法圖引理(Fatou's lemma)
• 富比尼定理(Fubini's theorem)
• 可測基數

• R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
• D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
• Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
• M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.

• Hazewinkel, Michiel (編), Measure, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Tutorial: Measure Theory for Dummies（為初學者準備的測度論教學） （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）