吸引子

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吸引子（Attractor）是微積分和系統科學論中的一個概念。一個系統有朝某個穩態發展的趨勢，這個穩態就叫做吸引子。

吸引子分為平庸吸引子和奇異吸引子（Strange Attractor）。例如一個鐘擺系統，它有一個平庸吸引子，這個吸引子使鐘擺系統向停止晃動的穩態發展。平庸吸引子有不動點（平衡）、極限環（週期運動）和整數維環面（概週期運動）三種模式。而不屬於平庸的吸引子的都稱為奇異吸引子，它表現了混沌系統中非週期性，無序的系統狀態，例如天氣系統。

對於吸引子，學術上並沒有完善的定義，目前僅處於概念階段。吸引子中的奇異吸引子對於混沌系統的研究意義重大。

設${\displaystyle t}$代表時間、${\displaystyle f(t,\cdot )}$是用來確定動態系統狀態的函數。也就是說，如果${\displaystyle a}$是${\displaystyle n}$維相空間的一個點，代表系統的初始狀態，則${\displaystyle f(0,a)=a}$且對每個正實數${\displaystyle t}$有${\displaystyle f(t,a)}$代表經過${\displaystyle t}$單位時間後的狀態。舉例來說，如果一系統描述一維上某不受力粒子的演進，此時相空間是平面${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$，其坐標${\displaystyle (x,v)}$中的${\displaystyle x}$是粒子的位置，${\displaystyle v}$是粒子的速度。那麼就有

${\displaystyle f(t,(x,v))=(x+tv,v).\ }$

而吸子是相空間中的子集${\displaystyle A}$，並有以下幾個特徵：

• ${\displaystyle A}$在${\displaystyle f}$下不隨時間變化，從而如果${\displaystyle a\in A}$就有${\displaystyle f(t,a)\in A}$對所有正實數${\displaystyle t}$。
• 存在${\displaystyle A}$的鄰域${\displaystyle B(A)}$（英文是basin of attraction），使得該域中任何點在時間趨於無限時都會趨近${\displaystyle A}$，或者更精準的是滿足以下敘述：

對任何${\displaystyle A}$的鄰域${\displaystyle N}$和${\displaystyle b\in B(A)}$，存在正實數${\displaystyle T}$使得${\displaystyle f(t,b)\in N}$對所有${\displaystyle t>T}$。

• 不存在${\displaystyle A}$的非空子集可以取代${\displaystyle A}$滿足前面兩點性質。

吸子還有許多其它種的定義，例如有些作者要求吸子有正的測度（以避免吸子中只有一個點），但其他作者只要求${\displaystyle B(A)}$是鄰域^[1]。

吸子是動態系統中相空間的子集。在西元1960年代前，吸子仍被認為有「簡單的」幾何形狀，例如點、直線、平面等。但吸子的形狀事實上可能相當複雜， 斯梅爾證明其馬蹄映射的吸子有康托爾集的結構。

兩種簡單的吸子是不動點和極限環。也有的吸子無法使用基本的幾何物件的組合來描述，那麼他就被稱作奇異吸子。

一個吸子被稱為奇異（strange）如果他具有碎形結構^[2]，這常常出現在動態系統是混亂的時，但奇異非混亂吸子也是存在的。

若一奇異吸子是混沌的，則其對初始條件敏感。也就是任意兩個極為接近的初始點，在一定數量的疊代運算後，兩者可以相距甚遠；也可以再經過一定數量的疊代運算後又變得極為靠近。也因此，一個具有混沌吸子的動態系統在局域是不穩定的，然而廣域來看卻可以是穩定的，因為這些動態點再怎麼彼此分離，也都不會離開吸子。

奇異吸子這個詞最早是由呂埃勒與Floris Takens（英語：Floris Takens）所命名，用以描述流體系統經一連串分岔所產生的吸子結果。^[3]

奇異吸子在一些方向上常是可微的，但一些例子則如同康托塵則不可微。奇異吸子亦可出現在有雜訊的場合。^[4]

奇異吸子的例子包括多卷波混沌吸引子、艾儂吸子、熱斯勒吸子，以及勞侖次吸子。

維基教科書中的相關電子教學：吸引子