珠算

珠算，指的是用算盤進行計算，一般特指用中式算盤進行計算。珠算領域對四則運算統整出了一套系統的計算規則，統稱珠算法則。其源於中國籌算，在東漢徐岳所著《數術記遺》記載上古十四種算法，珠算為其一。不過，當時尚無現在的算盤，是把算珠放於以凹槽為檔的板上作為算盤。

2013年，聯合國教科文組織將其列入人類非物質文化遺產代表作名錄。^[1]

珠算已發展成一系統，亦衍生出許多相關術語，為便於說明，參考國珠聯的《珠算統一用語表》略簡述之：

• 算盤術語
  • 框
  • 樑
  • 上珠
  • 下珠
• 運珠相關
• 算術術語
  • 加算：即加法計算。
    • 被加數： a
    • 加數： b
    • 和： ${\displaystyle a+b=c}$ 的 c
  • 減算：即減法計算
    • 被減數： a
    • 減數： b
    • 差： ${\displaystyle a-b=c}$ 的 c
  • 乘算：即乘法計算
    • 實、被乘數： a
    • 法、乘數： b
    • 積： ${\displaystyle a\times b=c}$ 的 c
  • 除算：即除法計算
    • 實、被除數： a
    • 法、除數： b
    • 商： ${\displaystyle a\div b=c}$ 的 c
    • 餘： ${\displaystyle a\div b=c..d}$ 的 d

有兩種方式^[2]：

1. 雙手撥珠，以中國為主，另有俄羅斯、哈薩克、南非、烏茲別克、土耳其、摩洛哥及中東的伊朗、沙特阿拉伯、阿聯酋、約旦、黎巴嫩等。
2. 單手運珠，以台灣、日本、韓國為主，另有馬來西亞、新加坡、泰國、香港、美國、加拿大、巴西、澳洲等。

二五珠算盤

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一般只用拇指、食指和中指撥珠（亦有極少數非常熟練的人五指全用），三個手指的基本分工是：

• 拇指撥下珠向上靠梁。
• 食指撥下珠向下離梁。
• 中指撥上珠靠梁和離梁。

一四珠算盤

（或一五珠算盤）：兩個手指的基本分工是：

• 食指撥上珠向下靠梁。
• 食指撥上珠向上離梁。
• 拇指撥下珠向上靠梁。
• 食指撥下珠向下離梁。

一五珠算盤

兩個手指的基本分工是：

• 食指撥上珠向下靠梁。
• 食指撥上珠向上離梁。應該是拇指
• 拇指撥下珠向上靠梁。
• 食指撥下珠向下離梁。

布數是指表現數字的算珠擺放方式。

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

方法為同位值相加，逢十進一，計算時由又高位檔向低位檔依次相加。

（例）1937+284

置數		百位檔相加 ${\displaystyle +200}$		十位檔相加 ${\displaystyle +80}$		個位檔相加 ${\displaystyle +4}$
	→		→		→
${\displaystyle 1937}$		${\displaystyle 2137}$		${\displaystyle 2217}$		${\displaystyle 2221}$

口訣

可輔助學習，熟練後亦可不用。

加數	不進位加		進位加
	直加	滿五加	進十加	破五進十加
一	一上一	一下五去四	一去九進一
二	二上二	二下五去三	二去八進一
三	三上三	三下五去二	三去七進一
四	四上四	四下五去一	四去六進一
五	五上五		五去五進一
六	六上六		六去四進一	六上一去五進一
七	七上七		七去三進一	七上二去五進一
八	八上八		八去二進一	八上三去五進一
九	九上九		九去一進一	九上四去五進一

以 +3 為例:

• 「三上三」是指「（若下珠夠加）直接上撥三顆」(=+3)。
• 「三下五去二」是指「（若下珠不夠加，且沒有上珠），則撥下一顆上珠，去掉兩夥下珠」（=+5-2）。
• 「三去七進一」是指「（若下珠不夠加，且有上珠），則去掉七，再高一位進一」（=+10-7）。

其中，「三下五去二」亦是成語中「三下五除二」的由來。

方法為同位值相減，不夠借位，計算時由高位檔向低位檔依次相減。

（例）2756-957

置數		百位檔相減 ${\displaystyle -900}$		十位檔相減 ${\displaystyle -50}$		個位檔相減 ${\displaystyle -7}$
	→		→		→
${\displaystyle 2756}$		${\displaystyle 1856}$		${\displaystyle 1806}$		${\displaystyle 1799}$

口訣

可輔助學習，熟練後亦可不用。

減數	不退位減		退位減
	直減	破五減	退位減	退十補五減
一	一去一	一上四去五	一退一還九
二	二去二	二上三去五	二退一還八
三	三去三	三上二去五	三退一還七
四	四去四	四上一去五	四退一還六
五	五去五		五退一還五
六	六去六		六退一還四	六退一還五去一
七	七去七		七退一還三	七退一還五去二
八	八去八		八退一還二	八退一還五去三
九	九去九		九退一還一	九退一還五去四

以 -3 為例:

「三去三」是指「（若下珠夠減）直接撥去三顆」(=-3)。 「三上二去五」是指「（若下珠不夠減，且有上珠），則撥去上珠，並加上二顆下珠」（=-5＋2）。 「三退一還七」是指「（若下珠不夠減，且沒有上珠），則更高一位減一，並加上七」（=-10+7）。

負數

遇到小數減大數時，可以用到一種技巧叫作懸珠來代表負數。懸珠是指將算珠移到不靠樑，也不靠框。其觀念同計算機中的二補數。

基本原則就是，將乘數分解為每分數，分別乘上被乘數後相加。如：要計算 32×97

${\displaystyle 32*97}$

${\displaystyle =32*(90+7)}$

${\displaystyle =32*90+32*7}$

更進一步分解，

${\displaystyle =(30+2)*90+(30+2)*7}$

${\displaystyle =30*90+2*90+30*7+2*7}$

計算時，不用考慮位值，則只需計算一位×一位，如：30×90 ，只需計算 3×9 ，再加至百位即可。如此，可以先將每個一位×一位的結果先計算出來，此即為乘法口訣——九九歌。

而使用珠算計算時，因為數字都在盤面上，所以要考慮是否要將實（被乘數）、法（乘數）放置盤面上，放的位置（因計算結果會愈來愈長，可能會與原本被乘數、乘數放置的地方重疊而影響）、計算順序、如何定位等。而根據計算方法，主要有兩大類：

• 看頭乘法，被乘數、乘數放置盤面上。
  • 看頭乘法，又稱見乘法，乘法速算法。
• 破頭乘法，被乘數、乘數不放置盤面上。
  • 破頭乘法，又稱頭乘法
  • 破頭乘法別法，又稱新頭乘法，或稱隔位乘法。

此外，另有一種技巧 湊倍乘法^[3]，古稱金蟬脫殻，又稱迭皮乘、加減乘法、變積乘法、倍數乘法、加乘法。可將乘法轉為加減算，從而不需要九九乘法。

其基本想法為：「因為將每個乘數分解成多個一位數，最多只有 9 種可能（0 不用計算）」，而這 9 種可能，都可以改為「×1、×2、×5的某種組合」如：被乘數×8 相當於 被乘數x(10-2)。而「×1、×2、×5」這三種運算是容易心算的。

看頭乘法

破頭乘法

新頭乘法

（例）32×97

	→		→		→
32		算「2」字		2×90		+2×7
	→		→		→
		算「3」字		+30×90		+30×7	=3104

湊倍乘法

方法跟長除法類似，即逐位（由高位向低位）來決定適合的商。計算方式主要分兩步驟估商（或試商）和減積。

計算方法有：商除法、歸除法、湊倍除法。

以約率為例。為簡單起見，先以兩個算盤（一個記錄商，一個記錄餘）說明之。

（例）${\displaystyle 22\div 7}$

• 第一位

置數			估商 估為 ${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}3}}}$			減積 ${\displaystyle -3\times 7=-{\mathbf {\color {Blue}21}}}$
		→			→
${\displaystyle 000}$ (${\displaystyle 3.00}$)	${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}22}}00}$ (${\displaystyle 22.00}$)		${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}3}}00}$ (${\displaystyle 3.00}$)	${\displaystyle 2200}$ (${\displaystyle 22.00}$)		${\displaystyle 300}$ (${\displaystyle 3.00}$)	${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}01}}00}$ (${\displaystyle 1.00}$)
${\displaystyle {\begin{array}{lr}&\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {){\mathbf {\color {Red}22}}}}\\\end{array}}}$			${\displaystyle {\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}3}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\\end{array}}}$			${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}21}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}\\\end{array}}}$

• 第二位

			估商 估為 ${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}1}}}$			減積 ${\displaystyle -1\times 7=-{\mathbf {\color {Blue}7}}}$
		→			→
${\displaystyle 300}$ (${\displaystyle 3.00}$)	${\displaystyle 0100}$ (${\displaystyle 1.00}$)		${\displaystyle 3{\mathbf {\color {Red}1}}0}$ (${\displaystyle 3.10}$)	${\displaystyle 0100}$ (${\displaystyle 1.00}$)		${\displaystyle 310}$ (${\displaystyle 3.10}$)	${\displaystyle 0{\mathbf {\color {Red}03}}0}$ (${\displaystyle 0.30}$)
${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3_{.}\ \ \ \\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ }}\\&{\underline {-21\ \ \ \ }}\\&10\ \ \\\end{array}}}$			${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3_{.}{\mathbf {\color {Red}1}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ }}\\&{\underline {-21\ \ \ }}\\&10\ \\\end{array}}}$			${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3_{.}1\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ }}\\&{\underline {-21\ \ \ }}\\&10\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}7}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}3}}\ \\\end{array}}}$

• 第三位

			估商 估為 ${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}4}}}$			減積 ${\displaystyle -4\times 7={\mathbf {\color {Red}28}}}$
		→			→
${\displaystyle 310}$ (${\displaystyle 3.10}$)	${\displaystyle 0030}$ (${\displaystyle 0.30}$)		${\displaystyle 31{\mathbf {\color {Red}4}}}$ (${\displaystyle 3.14}$)	${\displaystyle 0030}$ (${\displaystyle 0.30}$)		${\displaystyle 314}$ (${\displaystyle 3.14}$)	${\displaystyle 00{\mathbf {\color {Red}02}}}$ (${\displaystyle 0.02}$)
${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3_{.}1\ \ \\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-217\ \ \ }}\\&30\ \\\end{array}}}$			${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3_{.}1{\mathbf {\color {Red}4}}\ \\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-217\ \ \ }}\\&30\ \\\end{array}}}$			${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3_{.}14\ \\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-217\ \ \ }}\\&30\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}28}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}2}}\ \\\end{array}}}$

得到 ${\displaystyle 22\div 7=3.14..0.02}$。

而實際在計算時，會使用一個算盤同時放置商數和餘數，就是分區放。要如何有效利用有限的檔位，又不影響計算，其規律就是夠除，隔位置商；不夠除，挨位置商。

以密率為例，說明完整的商除法。

以 ${\displaystyle 355\div 113}$ 為例

• 第一位

置數		估商 估為 ${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}3}}}$。夠除，隔位置商。		減積 ${\displaystyle -3\times 113=-{\mathbf {\color {Blue}339}}}$
	→		→
${\displaystyle 00}$"${\displaystyle 355000000}$		${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}3}}0}$"${\displaystyle 355000000}$		${\displaystyle 30}$"${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}016}}000000}$
${\displaystyle {\begin{array}{lr}&\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {){\mathbf {\color {Red}355}}}}\\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}3}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355}}\\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355}}\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}339}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}16}}\\\end{array}}}$

• 第二位

前次結果		估商 估為 ${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}1}}}$。夠除，隔位置商。		減積 ${\displaystyle -1\times 113=-{\color {Blue}113}}$
	→		→
${\displaystyle 310}$"${\displaystyle 16000000}$		${\displaystyle 3{\mathbf {\color {Red}1}}0}$"${\displaystyle 16000000}$		${\displaystyle 310}$"${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}047}}00000}$
${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3\ \ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&16\ \ \ \\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.{\mathbf {\color {Red}1}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&160\ \\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.1\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&160\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}113}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}47}}\\\end{array}}}$

• 第三位

前次結果		估商 估為 ${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}4}}}$。夠除，隔位置商。		減積 ${\displaystyle -4\times 113=-{\color {Blue}452}}$
	→		→
${\displaystyle 3100}$"${\displaystyle 4700000}$		${\displaystyle 31{\mathbf {\color {Red}4}}0}$"${\displaystyle 4700000}$		${\displaystyle 3140}$"${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}018}}0000}$
${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.1\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.1{\mathbf {\color {Red}4}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.14\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}452}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}18}}\\\end{array}}}$

• 第四位

前次結果		估商 估為 ${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}1}}}$。夠除，隔位置商。		減積 ${\displaystyle -1\times 113=-{\color {Blue}113}}$
	→		→
${\displaystyle 31400}$"${\displaystyle 180000}$		${\displaystyle 314{\mathbf {\color {Red}1}}0}$"${\displaystyle 180000}$		${\displaystyle 31410}$"${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}067}}000}$
${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.14\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.82\ \ }}\\&180\\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.14{\mathbf {\color {Red}1}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.82\ \ }}\\&180\\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.141\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.82\ \ }}\\&180\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}113}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}67}}\\\end{array}}}$

• 第五位

前次結果		估商 估為 ${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}5}}}$。夠除，隔位置商。		減積 ${\displaystyle -5\times 113=-{\color {Blue}565}}$
	→		→
${\displaystyle 314100}$"${\displaystyle 67000}$		${\displaystyle 3141{\mathbf {\color {Red}5}}0}$"${\displaystyle 67000}$		${\displaystyle 314150}$"${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}105}}00}$
${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.141\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.933\ \ }}\\&67\ \ \\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.141{\mathbf {\color {Red}5}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.933\ \ }}\\&670\\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.1415\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.933\ \ }}\\&670\\&{\underline {-565}}\\&105\\\end{array}}}$

• 第六位。注意，這位是不夠除，挨位置商。

前次結果		估商 估為 ${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}9}}}$。不夠除，挨位置商。		減積 ${\displaystyle -9\times 113=-{\color {Blue}1017}}$
	→		→
${\displaystyle 314150}$"${\displaystyle 10500}$		${\displaystyle 31415{\mathbf {\color {Red}9}}}$"${\displaystyle 10500}$		${\displaystyle 314159}$"${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}0033}}0}$
${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.1415\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.9895\ \ }}\\&105\ \ \\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.1415{\mathbf {\color {Red}9}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.9895\ \ }}\\&1050\\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.14159\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.9895\ \ }}\\&105\ \ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}1017}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}33}}\\\end{array}}}$

• 第七位。

前次結果		估商 估為 ${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}2}}}$。夠除，隔位置商。		減積 ${\displaystyle -2\times 113=-{\color {Blue}226}}$
	→		→
${\displaystyle 31415900}$"${\displaystyle 330}$		${\displaystyle 314159{\mathbf {\color {Red}2}}0}$"${\displaystyle 330}$		${\displaystyle 31415920}$"${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}104}}}$
${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.14159\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.99967\ \ }}\\&33\ \ \\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.14159{\mathbf {\color {Red}2}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.99967\ \ }}\\&330\\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.141592\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.99967\ \ }}\\&330\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}226}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}104}}\\\end{array}}}$

得 ${\displaystyle 355\div 113=3.141592..0.000104}$

修正商

計算過程中，若發現所估的商過大，則要退商；若估商太小，則要補商。

其基本想法是，將一些可能的除算先計算出結果，並將商與除數化作口訣，來加速計算除法。

除數為一位的稱為單歸法，除數為多位的，則為歸除法。

目前可知最早的記載為朱世傑所撰《算學啟蒙》卷上《歸除歌訣》：「 一歸如一進、見一進成十；
二一添作五、逢二進成十、四進二十、六進三十、八進四十；
三一三十一、三二六十二、逢三進成十、六進二十、九進三十；
四一二十二、四二添作五、四三七十二、逢四進成十、八進二十；
五歸添一倍、逢五進成十；
六一下加四、六二三十二、六三添作五、六四六十四、六五八十二、逢六進成十；
七一下加三、七二下加六、七三四十二、七四五十五、七五七十一、七六八十四、逢七進成十；
八一下加二、八二下加四、八三下加六、八四添作五、八五六十二、八六七十四、八七八十六、逢八進成十；
九歸隨身下、逢九進成十
」

整個歌訣的作用為，「羅列所有被除數及除數的首數的可能，得出商數和餘數」。
以三一三十一為例，第一個數字為三，是除數的首數為三，第二個數字為一，是被除數首數為一，數字雖為 1，但計算的是 ${\displaystyle 1\times 10}$ 。 而三十一意指商為 3 ，餘為 1。同樣的，三二六十二是指${\displaystyle 20\div 3=6..2}$。逢三進成十是指${\displaystyle 30\div 3=10..0}$。
有些語句是用下加幾來表示，是指商數不變（與被除數首數相同），餘數則為那個幾。以七二下加六為例，${\displaystyle 20\div 7=2..6}$。 五歸添一倍是指「用 5 去除一個數，相當於此數加倍」（如：${\displaystyle 30\div 5=6}$）

其中，部分口訣，也成了成語。如二一添作五意味兩者平分，三一三十一意味三者平分。

其他版本

也有幾種不同的版本，如簡化版：「
一歸如一進，見一進成十；
二一添作五，逢二進成十；
三一三十一，三二六十二，逢三進成十；
四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四進成十；
五歸添一倍，逢五進成十；
六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六進成十；
七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七進成十；
八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八進成十；
九歸隨身下，逢九進成十。
」

或者，改為更易理解的語句，如將「三一三十一」改為「三一三餘一」，「逢三進成十」改為「逢三進一」。如：「
一歸：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九。
二歸：逢二進一，逢四進二，逢六進三，逢八進四，二一添作五。
三歸：逢三進一，逢六進二，逢九進三，三一三餘一，三二六餘二。
四歸：逢四進一，逢八進二，四二添作五，四一二餘二，四三七餘二。
五歸：逢五進一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八。
六歸：逢六進一，逢十二進二，六三添作五，六一下加四，六二三餘二，六四六餘四，六五八餘二。
七歸：逢七進一，逢十四進二，七一下加三，七二下加六，七三四餘二，七四五餘五，七五七餘一，七六八餘四。
八歸：逢八進一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六餘二，八六七餘四，八七八餘六。
九歸：逢九進一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八。
」

以約率為例。

（例） ${\displaystyle 22\div 7}$

七歸

置數		七二下加六 商設為 ${\displaystyle 2}$ 下一檔 ${\displaystyle +6}$		逢七進一 商${\displaystyle +1}$ 本檔${\displaystyle -1}$。		七一下加三 商設為 ${\displaystyle 1}$ 下一檔 ${\displaystyle +3}$		七三四餘二 商設為 ${\displaystyle 4}$ 下一檔 ${\displaystyle +2}$
	→		→		→		→
${\displaystyle }$"${\displaystyle 2200}$		${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}2}}}$"${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}8}}00}$		${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}31}}}$"${\displaystyle 00}$		${\displaystyle 3{\mathbf {\color {Red}1}}}$"${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}3}}0}$		${\displaystyle 31{\mathbf {\color {Red}4}}}$"${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}2}}}$
${\displaystyle {\begin{array}{lr}7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}2}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}14}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}8}}\\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}3}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\&-14\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}7}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}\\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.{\mathbf {\color {Red}1}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ }}\\&{\underline {-21\ \ }}\\&10\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}7}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}3}}\\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.1{\mathbf {\color {Red}4}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ }}\\&{\underline {-21.7\ \ }}\\&30\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}28}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}2}}\\\end{array}}}$

得 ${\displaystyle 22\div 7=3.14..0.02}$

跟單歸法類似，也是藉助九歸歌。可以理解成使用九歸歌來估商。

以 ${\displaystyle 12345\div 321}$ 為例，可以先用 300 來估商，因此使用口訣中的三歸口訣。口訣已完成了 300 的減積（如「三一三餘一」中，餘一的部分已加入下一檔）。但 21 的部分仍未減積。因此歸除法區分兩個觀念：除數的首數稱為歸，除數的首數以外的數稱為除。除數為 321 的話，稱作3歸21除，意味着用 3歸求商及其減積，再以 21 來完成乘下的減積。

減積後，有可能發現的估商需要調整。若過小，需要增商，這部分口訣中已包含「逢 n 進為十」；若過大，則需退商，則有退商口訣：

• 一歸：無除起一下還一
• 二歸：無除起一下還二
• 三歸：無除起一下還三
• 四歸：無除起一下還四
• 五歸：無除起一下還五
• 六歸：無除起一下還六
• 七歸：無除起一下還七
• 八歸：無除起一下還八
• 九歸：無除起一下還九

這口訣有明顯規律：「無除起（也有作「退」）一下還 n」，無需特別記憶。

另外，也有可能發現在某些情況（即除數、被除數差不多大，卻又不夠除時）下，無法估商，則使用撞歸口訣：

• 一歸：見一無除撞九一
• 二歸：見二無除撞九二
• 三歸：見三無除撞九三
• 四歸：見四無除撞九四
• 五歸：見五無除撞九五
• 六歸：見六無除撞九六
• 七歸：見七無除撞九七
• 八歸：見八無除撞九八
• 九歸：見九無除撞九九

這口訣也有明顯規律：「見 n 無除撞（也有作「作」）九 n」，無需特別記憶。它的意思是，在「除數、被除數的首數同為 n，卻又不夠除，直接估商為 9，下一檔要 +n」時。當首數相同，卻又無法進 1 （代表 10），則估商就從 9 開始。減積後，需要在下一檔 +n 。

以密率為例，因為除數為 ${\displaystyle 113}$，故稱之為「一歸十三除」，相關口訣如下：

• 九歸口訣：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九。
• 退商口訣：無除起一下還一。
• 撞歸口訣：見一無除撞九一。

（例）${\displaystyle 355\div 113}$

• 第一位

一歸十三除

置數		逢三進三 商為 ${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}3}}}$		以十三除減積 ${\displaystyle -3\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}39}}}$。
	→		→
${\displaystyle 0}$"${\displaystyle 3550000000}$		${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}3}}}$"${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}0}}550000000}$		${\displaystyle 3}$"${\displaystyle 0{\mathbf {\color {Red}16}}0000000}$
${\displaystyle {\begin{array}{lr}&\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {){\mathbf {\color {Red}355}}}}\\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}3}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355}}\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}300}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}55}}\\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355}}\\&-300\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}39}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}16}}\\\end{array}}}$

• 第二位

一歸十三除

前次結果		逢一進一 商為 ${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}1}}}$		以十三除減積 ${\displaystyle -1\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}13}}}$。
	→		→
${\displaystyle 30}$"${\displaystyle 160000000}$		${\displaystyle 3{\mathbf {\color {Red}1}}}$"${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}0}}60000000}$		${\displaystyle 31}$"${\displaystyle 0{\mathbf {\color {Red}47}}000000}$
${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3\ \ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&16\ \ \ \\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.{\mathbf {\color {Red}1}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&160\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}100}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}0}}60\\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.1\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&160\ \\&-100\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}13\ }}}}\\&{\mathbf {\color {Red}47\ }}\\\end{array}}}$

• 第三位

一歸十三除

前次結果		逢四進四 商為 ${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}4}}}$		以十三除減積 ${\displaystyle -4\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}52}}}$。
	→		→
${\displaystyle 310}$"${\displaystyle 4700000}$		${\displaystyle 31{\mathbf {\color {Red}4}}}$"${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}0}}700000}$		${\displaystyle 314}$"${\displaystyle 0{\mathbf {\color {Red}18}}0000}$
${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.1\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-3503}}\\&47\\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.1{\mathbf {\color {Red}4}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}4}}00\ }}\\&70\ \\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.14\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\&-400\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}52}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}18}}\ \\\end{array}}}$

• 第四位

一歸十三除

前次結果		逢一進一 商為 ${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}1}}}$		以十三除減積 ${\displaystyle -1\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}13}}}$。
	→		→
${\displaystyle 3140}$"${\displaystyle 180000}$		${\displaystyle 314{\mathbf {\color {Red}1}}}$"${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}0}}80000}$		${\displaystyle 3141}$"${\displaystyle 0{\mathbf {\color {Red}67}}000}$
${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.14\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35482\ }}\\&18\ \\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.141\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35482\ \ \ }}\\&180\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}100}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}0}}80\\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.141\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35482\ \ \ }}\\&180\ \\&-100\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}13\ }}}}\\&{\mathbf {\color {Red}67}}\ \\\end{array}}}$

• 第五位

一歸十三除

前次結果		逢六進六 商為 ${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}6}}}$		以十三除減積 ${\displaystyle {\begin{array}{ll}-6\times 13&=-6\times (10+3)\\&=-{\mathbf {\color {Blue}60}}-{\mathbf {\color {Purple}18}}\\\end{array}}}$		加回減積		退商 無除起一下還一 商${\displaystyle -1}$為 ${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}5}}}$，下一檔${\displaystyle +1}$		以十三除減積 ${\displaystyle -5\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}65}}}$。
	→		→		→		→		→
${\displaystyle 31410}$"${\displaystyle 67000}$		${\displaystyle 3141{\mathbf {\color {Red}6}}}$"${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}0}}7000}$		${\displaystyle 31416}$"${\displaystyle 0{\mathbf {\color {Red}1}}000}$		${\displaystyle 31416}$"${\displaystyle 0{\mathbf {\color {Red}7}}000}$		${\displaystyle 3141{\mathbf {\color {Red}5}}}$"${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}1}}7000}$		${\displaystyle 31415}$"${\displaystyle 1{\mathbf {\color {Red}05}}00}$
${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.141\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ }}\\&67\ \\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.141{\mathbf {\color {Red}6}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&{\underline {-600\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}0}}70\ \\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.1416\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&{\underline {-600\ }}\\&70\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}60}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}10}}\ &{\mathbf {\color {Purple}<18}}\\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.1416\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&{\underline {-600\ }}\\&70\ \\&-60\ \\&{\underline {+{\mathbf {\color {Blue}60}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}70}}\ \\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.141{\mathbf {\color {Red}5}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&{\underline {-500\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}70\ \\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.141{\mathbf {\color {Red}5}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&-500\ \\&{\underline {-65\ }}\\&1{\mathbf {\color {Red}05}}\ \\\end{array}}}$

• 第六位

一歸十三除

前次結果		見一無除撞九一 商為 ${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}9}}}$，下一檔 ${\displaystyle +1}$		以十三除減積 ${\displaystyle -9\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}117}}}$。
	→		→
${\displaystyle 31415}$"${\displaystyle 10500}$		${\displaystyle 31415{\mathbf {\color {Red}9}}}$"${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}1}}500}$		${\displaystyle 314159}$"${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}033}}0}$
${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.1415\ \ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3549895\ \ \ }}\\&105\ \ \ \\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.1415{\mathbf {\color {Red}9}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3549895\ \ \ }}\\&1050\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}9}}00\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}50\ \\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.14159\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3549895\ \ \ }}\\&1050\ \\&-900\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}117}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}33}}\ \\\end{array}}}$

• 第七位

一歸十三除

前次結果		逢三進三 商為 ${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}3}}}$		以十三除減積 ${\displaystyle {\begin{array}{ll}-3\times 13&=-3\times (10+3)\\&=-{\mathbf {\color {Blue}30}}-{\mathbf {\color {Purple}9}}\\\end{array}}}$		加回減積		退商 無除起一下還一 商${\displaystyle -1}$為 ${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}2}}}$，下一檔${\displaystyle +1}$		以十三除減積 ${\displaystyle -5\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}65}}}$。
	→		→		→		→		→
${\displaystyle 3141590}$"${\displaystyle 330}$		${\displaystyle 314159{\mathbf {\color {Red}3}}}$"${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}0}}30}$		${\displaystyle 3141593}$"${\displaystyle 0{\mathbf {\color {Red}0}}0}$		${\displaystyle 3141593}$"${\displaystyle 0{\mathbf {\color {Red}3}}0}$		${\displaystyle 314159{\mathbf {\color {Red}2}}}$"${\displaystyle {\mathbf {\color {Red}1}}30}$		${\displaystyle 3141592}$"${\displaystyle 1{\mathbf {\color {Red}04}}}$
${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.14159\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ }}\\&33\ \\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.14159{\mathbf {\color {Red}3}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}3}}00\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}0}}30\ \\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.141593\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&-300\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}3}}0\ }}\\&0{\mathbf {\color {Red}0}}0\ &{\mathbf {\color {Purple}<9}}\\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.141593\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&-300\ \\&-30\ \\&{\underline {+{\mathbf {\color {Blue}3}}0\ }}\\&0{\mathbf {\color {Red}3}}0\ \\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.14159{\mathbf {\color {Red}2}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}2}}00\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}30\ \\\end{array}}}$		${\displaystyle {\begin{array}{lr}&3.14159{\mathbf {\color {Red}2}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&-200\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}26}}\ }}\\&1{\mathbf {\color {Red}04}}\ \\\end{array}}}$

得 ${\displaystyle 355\div 113=3.141592..0.000104}$。

或稱累減除法、大扒皮，首見於《九章詳註比類算法大全》，是一種不用九九乘法而用累減的計算方式。

開平方必須至少三副都是至少十三檔算盤, 一副是根, 一副是廉, 一副是隅

還原驗算法

一、交換律

   加法算式:被加數+加數=和數
   驗算公式:加數+被加數=和數
   減法算式:被減數-減數=差數
   驗算公式:被減數-差數=減數
   乘法算式：被乘數*乘數=積
   驗算公式：乘數*被乘數=積

二、逆運算

   加法算式:被加數+加數=和數
   驗算公式:和數-加數=被加數  或  和數-被加數=加數
   減法算式:被減數-減數=差數
   驗算公式:差數+減數=被減數
   乘法算式：被乘數*乘數=積
   驗算公式：積/被乘數=乘數
   除法算式：被除數/除數=商(及餘數)
   驗算公式：(除數*商)+餘數=被除數

三、尾錯復尾

   只再計算最後幾位數一次

九餘數法

只能驗加法,減法,乘法和乘冪

範例一、 123+456=599

        123=1+2+3=6(mod 9)
        456=4+5+6=6(mod 9)
        599=5+9+9=5(mod 9)
       因6+6=3(mod 9)不等於5(mod 9), 所以計算錯誤,正確答案是579

範例二、 123*456=68934

         123=1+2+3=6(mod 9)
         456=4+5+6=6(mod 9)
         68934=6+8+9+3+4=3(mod 9)
       因6*6=0(mod 9)不等於3(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是56088

範例三、 22*68*53=369780

         22=4(mod 9)
         68=5(mod 9)
         53=8(mod 9)
         369780=3+6+9+7+8+0=6(mod 9)
        因4*5*8=7(mod 9)不等於6(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是79288

範例四、 23^4=367981

         23^4=(-4)^4=4(mod 9)
         367981=34=7(mod 9)
       因4(mod 9)不等於7(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是279841

   九餘數法不能查到答案是換位錯誤(error of transposition)的問題, 例如計算岀567, 但正確答案是576便會顯示正確。勿過度倚賴九餘數法。
         

九除法

十一除法

二除法

珠算競技可分為珠算競技和心算競技兩大類，心算競技是運用珠算式心算技巧。

• 珠算全球資訊網 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 中華民國兒童珠算協會／中華珠算心算教育協會 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 世界珠心算網 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

• 算盤
• 籌算
• 心算
• 《算法統宗》