完全数

完全数（perfect number），又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等於它本身，完全数不可能是楔形數、平方數、佩爾數或費波那契數。

例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，${\displaystyle {{{1}+{2}}+{3}}=6}$，恰好等於本身。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，${\displaystyle {{{{{1}+{2}}+{4}}+{7}}+{14}}=28}$，也恰好等於本身。后面的数是496、8128。

十進位的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數，它們不是虧數就是盈數。

古希腊数学家欧几里得是通过${\displaystyle 2^{n-1}\times (2^{n}-1)}$ 的表达式发现前四个完全数的。

当${\displaystyle n=2:}$${\displaystyle {{{2}^{1}}\times {\left({{{2}^{2}}-{1}}\right)}}=6}$

当${\displaystyle n=3:}$${\displaystyle {{{2}^{2}}\times {\left({{{2}^{3}}-{1}}\right)}}=28}$

当${\displaystyle n=5:}$${\displaystyle {{{2}^{4}}\times {\left({{{2}^{5}}-{1}}\right)}}=496}$

当${\displaystyle n=7:}$${\displaystyle {{{2}^{6}}\times {\left({{{2}^{7}}-{1}}\right)}}=8128}$

一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式：${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$，其中${\displaystyle 2^{n}-1}$是素数，此事實的充分性由欧几里得证明，而必要性則由歐拉所證明。

比如，上面的${\displaystyle 6}$和${\displaystyle 28}$对应着${\displaystyle n=2}$和${\displaystyle 3}$的情况。我们只要找到了一个形如${\displaystyle 2^{n}-1}$的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完美数。

尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是${\displaystyle 12p+1}$或${\displaystyle 36p+9}$的形式，其中${\displaystyle p}$是素数。

首十個完全數是（ A000396）：

1. 6（1位）
2. 28（2位）
3. 496（3位）
4. 8128（4位）
5. 33550336（8位）
6. 8589869056（10位）
7. 137438691328（12位）
8. 2305843008139952128（19位）
9. 2658455991569831744654692615953842176（37位）
10. 191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位）

古代数学家根据當時已知的四个完全数做了很多假设，大部分都是错误的。其中的一个假设是：因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数，第 5 个完全数应该是第 5 个素数，即当 ${\displaystyle n=11}$ 的时候，可是 ${\displaystyle 2^{11}-1=23\times 89}$ 并不是素数。因此 ${\displaystyle n=11}$ 不是完全数。另外两个错误假设是：

• 头四个完全数分别是 1、2、3、4 位数，第五个应该是 5 位数。
• 完全数应该是交替以 6 或 8 结尾。

事实上，第五个完全数 ${\displaystyle 33550336=2^{12}(2^{13}-1)}$ 是 ${\displaystyle 8}$ 位数。

对于第二个假设，第五个完全数确实是以 ${\displaystyle 6}$ 结尾，但是1588年，意大利數學家彼得羅·卡塔爾迪計出第六个完全数 ${\displaystyle 8589869056}$，仍是以 ${\displaystyle 6}$ 结尾，只能說歐幾里得的公式給出的完全數以 ${\displaystyle 6}$ 和 ${\displaystyle 8}$ 结尾。卡塔爾迪證明了此結論。此外，還計出第七個完全數137,438,691,328。^[1][2][3]

对完全数的研究，至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。

每一个梅森素数给出一个偶完全数；反之，每個偶完全數給出一個梅森素數，這結果稱為歐幾里得－歐拉定理。到 2018 年 12 月为止，共发现了 51 个完全数，且都是偶数。最大的已知完全數為 ${\displaystyle 2^{82589932}\times (2^{82589933}-1)}$ 共有 ${\displaystyle 49724095}$ 位數。

以下是目前已發現的完全數共有的性質。

• 偶完全数都是以6或28结尾^[4][5]。
• 在十二進制中，除了6跟28以外的偶完全數都以54結尾，甚至除了6, 28, 496以外的偶完全數都以054或854結尾。^{[原創研究？][查证请求][來源請求]}而如果存在奇完全數，它在十二進制中必定以1, 09, 39, 69或99結尾^[6]。
• 在六進制中，除了6以外的偶完全數都以44結尾，甚至除了6, 28以外的偶完全數都以144或344結尾。^{[原創研究？][查证请求][來源請求]}而如果存在奇完全數，它在六進制中必定以01, 13, 21或41結尾^[6]。
• 除了6以外的偶完全数，把它的各位数字相加，直到变成個位数，那么这个個位数一定是1^{[4][5][註 1]}：

${\displaystyle 28}$ → ${\displaystyle 2+8=10}$ → ${\displaystyle 1+0=1}$
${\displaystyle 496}$ → ${\displaystyle 4+9+6=19}$ → ${\displaystyle 1+9=10}$ → ${\displaystyle 1+0=1}$

• 所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，从${\displaystyle 2^{p-1}}$到${\displaystyle 2^{2p-2}}$：

${\displaystyle 6=2^{1}+2^{2}}$
${\displaystyle 28=2^{2}+2^{3}+2^{4}}$
${\displaystyle 496=2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8}}$
${\displaystyle 8128=2^{6}+2^{7}+...+2^{12}}$

• 每个偶完全数都可以写成连续自然数之和^{[註 2]}：

${\displaystyle 6=1+2+3}$
${\displaystyle 28=1+2+3+4+5+6+7}$
${\displaystyle 496=1+2+3+...+30+31}$
${\displaystyle 8128=1+2+3+...+126+127}$

• 除6以外的偶完全数，还可以表示成连续奇立方数之和（被加的项共有${\displaystyle {\sqrt {2^{p-1}}}}$)^{[註 3]}：

${\displaystyle 28=1^{3}+3^{3}}$
${\displaystyle 496=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}}$
${\displaystyle 8128=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+15^{3}}$
${\displaystyle 33550336=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+127^{3}}$

• 每个完全数的所有约数（包括本身）的倒数之和，都等于2：（這可以用通分證得。因此每個完全數都是歐爾調和數。）

${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {6+3+2+1}{6}}=2}$
${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {28+14+7+4+2+1}{28}}=2}$

• 它们的二进制表达式也很有趣：（因為偶完全數形式均如${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$）

${\displaystyle (6)_{10}=(110)_{2}}$
${\displaystyle (28)_{10}=(11100)_{2}}$
${\displaystyle (496)_{10}=(111110000)_{2}}$
${\displaystyle (8128)_{10}=(1111111000000)_{2}}$
${\displaystyle (33550336)_{10}=(1111111111111000000000000)_{2}}$
${\displaystyle (8589869056)_{10}=(111111111111111110000000000000000)_{2}}$
${\displaystyle (137438691328)_{10}=(1111111111111111111000000000000000000)_{2}}$

截至2024年6月30日，用计算机已经证实：在10²²⁰⁰以下，没有奇完全数；至今还证明了，如果奇完全数存在，则它至少包含11个不同素数（包含一個不少於7位數的質因子）但不包含3，亦不會是立方數。一般猜测：奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限？至今都不能回答。

美國數學家卡爾·帕梅朗斯提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。^[7]

• N > 10^2200[8]
• N是以下形式：

${\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\ldots p_{k}^{2e_{k}},}$

其中：

• q，p₁，…，p_k是不同的素数（Euler）。
• q ≡ α ≡ 1 (mod 4)（Euler）。
• N的最小素因子必须小于${\displaystyle {\frac {k-1}{2}}.}$^[9]。
• ${\displaystyle e_{1}}$≡${\displaystyle e_{2}}$...≡${\displaystyle e_{k}}$ ≡ 1（mod 3）的关系不能满足（McDaniel 1970）。
• 要么q^α > 10⁶²，要么对于某个j有${\displaystyle p_{j}^{2e_{j}}}$ > 10^62[8]。
• ${\displaystyle N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}}$^[10][11]

• N必须可以写成12n+1，468n+117或324n+81（n为整数）的形式。^[6]
• N不能被105整除。^[12]
• N的最大素因子必须大于10^8[13]，并低于 ${\displaystyle (3N)^{1/3}}$。^[14]。
• N的第二大素因子必须大于10⁴，并低于${\displaystyle (2N)^{1/5}}$。^[15][16] 。
• N的第三大素因子必须大于100。^[17]
• N至少要有101个素因子，其中至少10个是不同的。^[8][18] 如果3不是素因子之一，则至少要有12个不同的素因子。^[19]

• 如果对于所有的i，都有${\displaystyle e_{i}}$ ≤ 2，那么：
  • N的最小素因子必须大于739（Cohen 1987）。
  • α ≡ 1（mod 12）或α ≡ 9 (mod 12)（McDaniel 1970）。

這個定理說明若存在奇完全數，其形式必如${\displaystyle 12m+1}$或${\displaystyle 36q+9}$。最初的證明在1953年由雅克·圖查德（英语：Jacques Touchard）首先證明，1951年巴爾塔薩·范德波爾用非線性偏微分方程得出證明。茱蒂·霍爾德納在《美國數學月刊》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。

證明會使用這四個結果：（下面的n,k,j,m,q均為正整數）

• 歐拉證明了奇完全數的形式必如${\displaystyle 4j+1}$。^[20]
• ${\displaystyle \sigma (n)}$表示${\displaystyle n}$的正因數之和。完全數的定義即為${\displaystyle 2n=\sigma (n)}$。
  ${\displaystyle \sigma (n)}$為積性函數
• 引理（甲）：若${\displaystyle n=6k-1}$（${\displaystyle k}$是正整數），則${\displaystyle n}$非完全數。
• 引理（乙）：若${\displaystyle n=4k-1}$（${\displaystyle k}$是正整數），則${\displaystyle n}$非完全數。

引理的證明（甲）：

使用反證法，設${\displaystyle n}$為完全數，且${\displaystyle n\equiv -1{\pmod {6}}}$。

${\displaystyle n\equiv -1{\pmod {3}}}$。因為3的二次剩餘只有0,1，故${\displaystyle n}$非平方數，因此其正因數個數為偶數。

${\displaystyle n}$有正因數${\displaystyle d}$，則可得：

${\displaystyle d\equiv 1{\pmod {3}}}$且${\displaystyle n/d\equiv -1{\pmod {3}}}$；或

${\displaystyle d\equiv -1{\pmod {3}}}$且${\displaystyle n/d\equiv 1{\pmod {3}}}$。

因此，${\displaystyle (n/d+d)\equiv 0{\pmod {3}}}$。故${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d<{\sqrt {n}}}d+n/d\equiv 0{\pmod {3}}}$。

但${\displaystyle 2n\equiv 2(-1)\equiv 1{\pmod {3}}}$，矛盾。

故${\displaystyle n}$的形式只可能為${\displaystyle 6k+1}$或${\displaystyle 6k+3}$。

引理的證明（乙）：

使用反證法，設${\displaystyle n}$為完全數，且${\displaystyle n\equiv -1{\pmod {4}}}$。

${\displaystyle n\equiv -1{\pmod {4}}}$。因為4的二次剩餘只有0,1，故${\displaystyle n}$非平方數，因此其正因數個數為偶數。

${\displaystyle n}$有正因數${\displaystyle d}$，則可得：

${\displaystyle d\equiv 1{\pmod {4}}}$且${\displaystyle n/d\equiv -1{\pmod {4}}}$；或

${\displaystyle d\equiv -1{\pmod {4}}}$且${\displaystyle n/d\equiv 1{\pmod {4}}}$。

因此，${\displaystyle (n/d+d)\equiv 0{\pmod {4}}}$。故${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d<{\sqrt {n}}}d+n/d\equiv 0{\pmod {4}}}$。

但${\displaystyle 2n\equiv 2(-1)\equiv 2{\pmod {4}}}$，矛盾。

故${\displaystyle n}$的形式只可能為${\displaystyle 4k+1}$。

若${\displaystyle n=6k+1}$，根據歐拉的結果，${\displaystyle n=4j+1}$，綜合兩者，得${\displaystyle n=12m+1}$。

若${\displaystyle n=6k+3}$，${\displaystyle n=4j+1}$，得${\displaystyle n=12m+9=3(4m+3)}$。若${\displaystyle m}$非3的倍數，3和${\displaystyle 4m+3}$互質。

因為${\displaystyle \sigma (n)}$為積性函數，可得${\displaystyle \sigma (n)=\sigma (3)\sigma (4m+3)=4\sigma (4m+3)\equiv 0{\pmod {4}}}$。

但${\displaystyle 2n=2(4j+1)\equiv 2{\pmod {4}}}$，出現了矛盾。故知${\displaystyle m}$是3的倍數。代入${\displaystyle m=3q}$，可得${\displaystyle n=36q+9}$。

• Odd Perfect Numbers（页面存档备份，存于互联网档案馆）, Gagan Tara Nanda

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20. ^ [1]^{[永久失效連結]}

• 高合成數
• 婚約數
• 親和數
• 盈數
• 虧數
• 梅森素数
• 半完全數
• 佩服數
• 超完全數
• 梅森素数与完全数集合
• 笛卡爾數

• Hazewinkel, Michiel (编), Perfect number, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Perfect numbers – History and Theory（页面存档备份，存于互联网档案馆）
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