基本群

在代數拓撲中，基本群（或稱龐加萊群）是一個重要的同倫不變量。拓撲空間的基本群的元素是该空间中从某一點出发的環路的同倫等價類; 基本群的群運算是環路的同倫等价类的銜接运算。拓扑空间的基本形状, 或者孔洞的信息都可以在它的基本群中体现。所以基本群能用以研究兩個空間是否同胚，两个同胚的空间的基本群是同構的, 基本群也能分類一個連通空間的覆疊空間。关于拓扑空间${\displaystyle X}$ 的基本群的符号是${\displaystyle \pi _{1}(X)}$。

基本群的推廣之一是同倫群。基本群是最初和最简单的同倫群。

首先，讓我們考慮二維環面（或者可以想象成甜甜圈的表面）的例子作為熱身，固定其上一點${\displaystyle p}$。

從此點出發，則可以建構環路（即：從${\displaystyle p}$出發的並回到${\displaystyle p}$的閉曲線）。設想環路如橡皮筋可自由變形與拉長，只要起點與終點仍是${\displaystyle p}$ 且環路仍處在環面上即可。這種變形叫做同倫，若一環路可以從另一環路藉此變形而得到，則稱兩者同倫等價。我們只探討環路的同倫類。二維環面的基本群由環路的同倫類組成。

在上圖中，${\displaystyle a}$與${\displaystyle b}$並非同倫等價：無法連續地從一者變換到另一者而不將環路「扯斷」，它們代表基本群中的不同元素。藉著增加環繞圈數，可以獲得更多的同倫類。

顧名思義，基本群不只是一個集合，它帶還有群結構：二元運算由環路的銜接給出，即先走完第一條環路，再走第二條環路，使得兩段環路上的速率相同。基本群中的單位元素${\displaystyle e_{P}}$由靜止在${\displaystyle p}$點的環路代表，逆元由環路的逆行代表之，即：若一元素由環路${\displaystyle s:[0,1]\to \mathbb {T} ^{2}}$代表，則其逆元由${\displaystyle s\circ \tau :[0,1]\to \mathbb {T} ^{2}}$代表，其中${\displaystyle \tau (t)=1-t\quad (t\in [0,1])}$。

設${\displaystyle X}$為拓撲空間，${\displaystyle p}$為其中定點。一條連續道路是一個連續映射${\displaystyle \gamma :[0,1]\to X}$，而一個以${\displaystyle p}$為基點的環路是一條滿足${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)=p}$的連續道路。以下若不另外說明，則環路皆以${\displaystyle p}$為基點。

對兩條環路${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1}}$，如果存在一個連續函數（保持基點的同倫）${\displaystyle H:\;[0,1]^{2}\to X}$使得

• ${\displaystyle \forall t\in [0,1],\,H(t,0)=\gamma _{0}(t)}$
• ${\displaystyle \forall t\in [0,1],\,H(t,1)=\gamma _{1}(t)}$
• ${\displaystyle \forall x\in [0,1],\,H(0,x)=H(1,x)=p}$

則稱兩者同倫等價。

不難驗證此關係確為等價關係。因此我們可考慮環路對此關係的等價類，以${\displaystyle [\gamma ]}$表一環路${\displaystyle \gamma }$隸屬的等價類，亦稱同倫類。

現在定兩條環路${\displaystyle f,g}$的銜接為： ${\displaystyle (f*g)(t)=\left\{{\begin{matrix}f(2t),&\quad t\in [0,1/2]\\g(2t-1),&\quad t\in [1/2,1]\end{matrix}}\right.}$

直觀地說，此環路是先走${\displaystyle f}$再走${\displaystyle g}$，每一段都將速度加倍，以在單位時間內走完全程。可證明${\displaystyle [f*g]}$決定於${\displaystyle [f],[g]}$，因此可在環路的同倫類上定義二元運算「*」。不難看出此運算滿足結合律。

令單位元${\displaystyle e_{P}}$為環路${\displaystyle e_{P}(t)=p}$（即靜止於${\displaystyle p}$點的環路），並令環路${\displaystyle f:[0,1]\to X}$之逆為${\displaystyle f^{-1}(t)=f(1-t)}$（即${\displaystyle f}$逆行）。可證明${\displaystyle [f]\mapsto [f^{-1}]}$在同倫類上有明確定義，且同倫類在此運算下成為一個群。

此群稱為${\displaystyle X}$在基點${\displaystyle p}$的基本群，記為${\displaystyle \pi _{1}(X,p)}$。

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$對任何基點的基本群皆為平凡群。換言之，每個環路都可以連續地變形到基點。這類空間稱為單連通空間。
• 當${\displaystyle n\geq 2}$時，${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$為單連通。
• 圓環${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$之基本群為${\displaystyle \mathbb {Z} }$。其元素一一對應於${\displaystyle e_{m}:t\mapsto e^{2i\pi mt}}$，其中${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$表示環路繞行圓環的次數（計入方向）；群運算由${\displaystyle [e_{m}]\cdot [e_{n}]=[e_{m+n}]}$給出。一般而言，${\displaystyle n}$維環面的基本群同構於${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$。
• 基本群也可能含撓元：例如射影平面${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}$的基本群便同構於${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$。
• 基本群不一定可交換：例如挖去兩點的平面${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-\{a,b\}}$的基本群同構於兩個生成元的自由群，生成元分別對應於繞行${\displaystyle a}$與${\displaystyle b}$的環路。

事實上，可以證明對任何群${\displaystyle G}$皆存在一個拓撲空間，使其基本群同構於${\displaystyle G}$（此空間可以用二維CW複形構造，當群為有限展示時則能以四維流形構造）。可以證明，每個群都是某個緊豪斯多夫空間的基本群當且僅當不存在可測基數。^[1]

以下設${\displaystyle X}$為道路連通空間。${\displaystyle p,q\in X}$，則${\displaystyle \pi _{1}(X,p)}$同構於${\displaystyle \pi _{1}(X,q)}$。這是因為存在一條從${\displaystyle p}$到${\displaystyle q}$的道路${\displaystyle \gamma }$，依之定義映射

${\displaystyle [\alpha ]\mapsto [\gamma ]*[\alpha ]*[\gamma ]^{-1}}$

此映射給出從${\displaystyle \pi _{1}(X,q)}$至${\displaystyle \pi _{1}(X,p)}$的同構，其逆則為

${\displaystyle [\alpha ]\mapsto [\gamma ]^{-1}*[\alpha ]*[\gamma ]}$

由此可談論空間本身的基本群（两个基本群在同构的意义下相等），記為${\displaystyle \pi _{1}(X)}$。基本廣群理論也'可以簡練地解釋基本群對基點的獨立性。

設${\displaystyle f}$為空間${\displaystyle (X,p)\to (Y,q)}$的同倫等價，則${\displaystyle \pi _{1}(f)}$為同構。

推論.同胚的空間有相同的基本群。

${\displaystyle \pi _{1}(X\times Y,(p,q))=\pi _{1}(X,p)\times \pi _{1}(Y,q)}$

道路連通空間的第一個同調群是基本群的交換化。這是Hurwitz定理的特例。

基本群一般不易計算，因為須證明某些環路非同倫等價。當空間可分割為較單純的空間，而其基本群已知時，范坎彭定理（或塞弗特－范坎彭（Seifert-van Kampen）定理）可以將基本群表為一個歸納極限。

對一個拓撲空間${\displaystyle X}$，定義其「錐」${\displaystyle CX:=(I\times X)/(0\times X)}$，其中${\displaystyle I}$表閉區間${\displaystyle [0,1]}$。當${\displaystyle X=\mathbb {S} ^{1}}$時，${\displaystyle CX}$同胚於圓錐。

道路連通空間的錐是單連通的，我們也有自然包含映射${\displaystyle X\simeq 1\times X\subset CX}$。

設${\displaystyle f:X\to Y}$為連續映射，定義映射錐為

${\displaystyle C(f):={\dfrac {C(X)\sqcup Y}{[1,x]\sim f(x)}}}$。

例子：設${\displaystyle f}$為${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$到自身的映射${\displaystyle z\mapsto z^{2}}$，此時${\displaystyle C(f)=\mathbb {R} P^{2}}$。

錐定理斷言${\displaystyle C(f)}$的基本群同構於${\displaystyle \pi _{1}(Y)}$對${\displaystyle f_{*}(\pi _{1}(Y))}$的正規化的商

應用：實射影空間之基本群同構於${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$。

• 圖的基本群總是自由群。這點可藉著將圖沿其最小生成樹縮為一束${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$看出。
• 多面體的基本群可以展示為生成元與關係，使得每個關係由多面體的一個面給出。
• 可定向緊曲面的基本群帶一個有${\displaystyle 2g}$個生成元${\displaystyle a_{1},b_{1},\ldots ,a_{g},b_{g}}$及一個關係${\displaystyle a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1}a_{2}b_{2}a_{2}^{-1}b_{2}^{-1}\ldots a_{g}b_{g}a_{g}^{-1}b_{g}^{-1}=1}$的展示。整數${\displaystyle g}$決定於曲面的拓撲結構，稱為其虧格。

基本群的子群的共軛類一一對應於空間的覆疊的同構類，在此對應下，正規子群對應於伽羅瓦覆疊。

在覆疊空間理論中，業已證明了如果空間有單連通的覆疊空間（例如對局部單連通空間），則基本群同構於萬有覆疊空間的自同構群。

如果一個小範疇（即：對象與全體態射構成一集合）的所有態射皆可逆，則稱之為一個廣群。所有廣群與其間的函子構成一個範疇。群是只有一個對象的廣群。

設${\displaystyle G}$為一廣群，對其對象定義下述等價關係：

${\displaystyle x\sim \,y\iff \mathrm {Hom} (x,y)\neq \emptyset }$

得到的商集記作${\displaystyle \pi _{0}(G)}$（或曰連通分支），這是從廣群範疇到集合範疇的函子。

對每個拓撲空間，以下述方式函子地構造一廣群${\displaystyle \pi X}$：

設${\displaystyle X}$為拓撲空間，令${\displaystyle \pi X}$的對象為${\displaystyle X}$的點，從點${\displaystyle x}$至${\displaystyle y}$的態射是從${\displaystyle x}$到${\displaystyle y}$的道路的同倫類。同倫等價關係相容於道路的頭尾相接，故定義了一個廣群${\displaystyle \pi X}$，稱為${\displaystyle X}$的基本廣群。

Van Kampen定理在廣群的框架下有簡練的表述。

設${\displaystyle G}$為廣群，而${\displaystyle x}$為其對象（也稱作${\displaystyle G}$的點）。${\displaystyle \mathrm {Hom} (x,x)}$在態射合成下成為一個群，記之為${\displaystyle \pi _{1}(G,x)}$。註：由於基點選取問題，${\displaystyle \pi _{1}}$並不能定義一個從廣群範疇到群範疇的函子。

一個拓撲空間的基本群可以用基本廣群定義為${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0}):=\pi _{1}(\pi X,x_{0})}$。

基本群實則是第一個同倫群，這是符號${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$中「1」的由來。

基本群亦可抽象地定義為纖維函子的自同構群，此纖維函子對每個帶基點的覆疊映射${\displaystyle r:(Y,q)\to (X,p)}$給出纖維${\displaystyle r^{-1}(p)}$。

此定義可以推廣到代數幾何，而之前給出的環路定義則不可。在此我們將拓撲空間的覆疊映射代為平展態射，拓撲空間的基點代為概形上的一個幾何點${\displaystyle x}$，而纖維函子${\displaystyle F}$對一平展覆疊${\displaystyle f:Y\to X}$給出幾何纖維${\displaystyle \mathrm {Hom} _{X}(x,Y)}$。此推廣源出格羅滕迪克與夏瓦雷。

這套理論可以解釋函數域的伽羅瓦理論與黎曼曲面的覆疊理論之聯繫。

• Allen Hatcher, Algebraic Topology (2001), Cambridge University Press. ISBN 0521795400
• J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology (1999), Chicago University Press. ISBN 0226511839

• Allen Hatcher, Algebraic Topology自由下載（页面存档备份，存于互联网档案馆）
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1. ^ Adam Przezdziecki, Measurable cardinals and fundamental groups of compact spaces, Fundamenta Mathematicae 192 (2006), 87-92 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）