극과 극

수학에서 부분 순서가 지정된 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ P$}$의 $부분{\displaystyle }$ 집합 S$${\$displaystyle$ S$}$의 최소값(약칭 inf; 복수 infima)은 그러한 요소가 존재한다면$$ $S{\displaystyle }$, ${\displaystyle S}$의 모든 요소보다 작거나 같은$$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystystyle P}$에서 가장 큰 요소다.^[1] 따라서 최대 하한(약칭 GLB)이라는 용어도 일반적으로 사용된다.^[1]

부분 순서가 지정된 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 부분 $집합{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$의 우월성(약칭 supp; 복수 우월성)은 그러한 요소가 존재할 경우$$ $S{\displaystyle }$, ${\displaystyle S}$의 모든 요소보다 크거나 같은$$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ P$}$의 최소 요소다.^[1] 결과적으로, 우월성을 최소 상한(또는 LUB)이라고도 한다.^[1]

최소치는 정밀하게 말하면 우월주의 개념과 이중적이다. 실수의 인피마와 우월성은 분석에서, 특히 르베그 통합에서 중요한 일반적인 특수 사례다. 그러나 일반적 정의는 임의의 부분 순서 집합을 고려하는 보다 추상적인 순서 이론의 설정에서 유효하다.

최소와 우월성의 개념은 최소와 최대와 유사하지만, 최소나 최대가 없을 수 있는 특수 세트를 더 잘 특성화하기 때문에 분석에 더 유용하다. 예를 들어, $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$+$$${\$ $\$$mathb {R} ^+}($$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle$ $0$$}$ 포함 안 함$)$의 어떤 주어진 요소가 단순히 절반으로 분할되어${\displaystyle {}^{}}R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ +${\displaystyle {}^{}}$. .$${$di$$}$에 남아 있는 더 작은 숫자가 될 수 있기$$ 때문에 양의 실수 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$+ {\$mathb$ {R}{}{+}}의 집합은 최소값이 없다.그러나 $splaystyle \mathb {R} ^{+}}$ 양수 실수의 최소치인 $0{\displaystyle \mathrm{},}$ ${\displaystyle 0}$이(가) 정확히 하나 있는데$$, 이는$$ 모든 양의 실수보다 작고 하한으로 사용될 수 있는 다른 실수보다 큰 것이다.

형식 정의

부분 순서가 $지정$된${\displaystyle \mathrm{집합}(}$P ,$≤$)의$$ $하위$ 집합 S {\$displaystyle$S$}$의 하한은 $다음$과 같은$$ P {\$displaystyle$ P}의 $요소{\displaystyle }$a {\$displaystyle$$$a$}$이다.

• ${\displaystyle }$$모든$ $x{\displaystyle x}$에 대한$$ ${\displaystyle \le }$ x ${\displaystyle a$$leq x$$}$

$S{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle S}$의 하한 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$을(를) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 최소값(또는 최대 하한값 또는 충족)이라고 한다$$.

• $P{\displaystyle }$, ${\displaystyle P,}$ $y$${\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$의 S ${\$displaystyle $y$$}$ 모든 하한 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ a}에 대해($$ ${\displaystyle a}$은 다른 하한보다 크거나 같음).

마찬가지로 $부분적$으로 순서가 지정된 집합$({\displaystyle P}$,$$)의$$부분 $집합$ S {\$displaystyle S$}의$$상한은 다음과 같은 $P{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $P}$의 요소$$$$ b ${\$$displaystyle$ $b$$}$이다$.$

• ${\displaystyle }$$b$${\displaystyle }$모든 ${\displaystyle x}$에 대한${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{for}}$ x ${\displaystyle b$ $x$$}$

$S{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle S}$의 상한 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$을(를) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S}의 $우월($또는 최소 상한 또는 결합)이라고 한다$$.

• ${\displaystyle P}$${\displaystyle }$, ${\displaystyle P,}$ $z$${\displaystyle }$$$${\displaystyle \ge }$ b ${\displaystyle z\geq$ b$}($${\displaystyle }$ ${\\displaystyle b}$은($$는$$) 다른 $상한$보다 작거나 같음)의 S {\$displaystystyle S}$의$$모든 상한 z {\$displaystystystyle z}$에 대해

존재와 고유성

인피마와 우월성이 반드시 존재하는 것은 아니다. $P{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $P}$의 하위 집합 S {\displaystyle S}이(가) 하한이 전혀 없거나$$ 하한 집합에 가장 큰 요소가 포함되어 있지 않은 경우 최소 $S{\displaystyle }${\$displaystyle$ $S}$의 존재는 실패할 수 있다$$. 그러나, 만약 최소나 우월성이 존재한다면, 그것은 독특하다.

따라서 특정 인피마가 존재하는 것으로 알려진 부분 순서 집합이 특히 흥미로워진다. 예를 들어 격자는 비어 있지 않은 모든 유한 부분 집합이 우월성과 최소값을 모두 갖는 부분 순서 집합이며, 완전한 격자는 모든 부분 집합이 우월성과 최소값을 모두 갖는 부분 순서 집합이다. 이러한 고려사항에서 발생하는 부분 순서 집합의 다양한 클래스에 대한 자세한 내용은 완전성 속성에 대한 기사를 참조하십시오.

부분 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 우월성이 존재한다면$$ 그것은 독특하다. $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 가장 큰 요소를 포함하는$$ 경우 해당 요소가 우월함이고, $그렇지{\displaystyle }$ 않으면 S ${\displaystyle S}($또는 존재하지 않음)에 속하지 않는다.$$ 마찬가지로, 최소치가 존재한다면, 그것은 독특하다. $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 최소 요소를 포함하는$$ 경우 해당 요소가 최소값이고, 그렇지 않으면 $최소값$이 S ${\displaystyle S}($또는 존재하지 않음)에 속하지 않는다.$$

최대 및 최소 요소와의 관계

부분$$ 순서가 정해진 $P{\displaystyle }$, ${\displaystyle P}$의 부분 $집합{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$의 최소값도 $반드시{\displaystyle }$ S${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ $S$$}$에 속하지는 않는다. 만일$$ 그렇다면 $S{\displaystyle }$ .${\displaystyle$ S$}$의 최소 또는 최소 요소도 $마찬가지$로 $S{\displaystyle }$ ${\displaystystystyle S$${\displaystyle \}}$에 속한다$$.$최대$ 또는 최대 S. {\$displaystyle$ S$.}$

예를 들어, 음수 실수 집합(0은 제외)을 고려하십시오. 이 집합에는 가장 큰 요소가 없다. 집합의 모든 요소에는 더 큰 다른 요소가 있기 때문이다. 예를 들어, 음수 실수 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ x$,}$의 경우 더 큰$$ 음수 실수 $x{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$,${\displaystyle {\tfrac$ {$x}{2}},}$이(가) 있다. 반면에, 0보다 크거나 같은 모든 실제 숫자는 확실히 이 집합의 상한이다. 따라서 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$은(는) 음수 실수의 최소 상한이므로$$ 우월성은 0이다. 이 세트에는 우월감이 있지만 가장 큰 요소는 없다.

그러나 최대와 최소 원소의 정의는 더 일반적이다. 특히, 한 세트는 많은 최대적이고 최소한의 요소들을 가질 수 있는 반면, 인피마와 슈프리마는 독특하다.

maxima와 minima는 고려 중인 하위 집합의 구성원이어야 하는 반면에, 하위 집합의 최소와 우월성은 하위 집합 자체의 구성원이 될 필요가 없다.

최소 상한

마지막으로, 부분적으로 정렬된 집합은 최소 상한 없이 많은 최소 상한을 가질 수 있다. 최소 상한은 상한이기도 한 엄격히 작은 요소가 없는 상한이다. 이것은 각각의 최소 상한선이 다른 모든 상한보다 작다고 말하는 것이 아니라 단지 더 크지 않다. "최소"와 "최소"의 구분은 주어진 순서가 전체 순서가 아닐 때에만 가능하다. 실제 숫자와 같이 완전히 순서가 정해진 세트에서, 개념은 같다.

예를 들어, $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을(를) 자연수의 모든 유한 부분 집합으로 하고$$ $정수{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$과(와)${\displaystyle {}^{}}양$의${\displaystyle {}^{}}$실수 R$$+ , {\$displaysty \mathb$의 $집합$과 함께$$S {\\$displaystystyle S}$의 모든 집합을 취함으로써 얻은 부분 순서 집합을 고려한다.$b {R} ^{+}}$은(는) 위와 같이 부분집합에 의해 정렬됨$$. 그렇다면 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {$Z}$과(와$$) $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$+ ${\$ 둘 다 모든 유한한 자연수 집합보다 클 것이 분명하다$$. 그러나 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$+ ${\$$displaystyle \mathb$$${$R}$$^{+}}$보다 작거나$$ 반대로 true도 아니다$.$ 두 집합 모두 최소 상한이지만 상위 집합은 없다.

최소 상한 속성

최소 상한 속성은 앞서 언급한 완전성 속성의 예로서 실수의 집합에 전형적이다. 이 성질을 데데킨드 완전성이라고 부르기도 한다.

순서 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 상한$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 모든 비어 있지 않은 부분 집합이 최소 상한도 갖는 속성을 가지고$$ 있는 경우$,$ S {\$displaystyle$ S$}$이(가) 최소 상한 값을 갖는다�