최대 요소 및 최소 요소

수학에서 특히 순서 이론에서 부분 순서의 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ 중 가장$$ 큰 요소는 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$의 다른 모든 요소보다 큰 S$$ ${\displaystyle$ $S$$}$의 요소다$.$ 최소 원소라는 용어는 dolly로 정의된다. 즉, $S{\displaystyle }$ ${\displaystylanele$의 요소다.$e S$${\displaystyle \}}$의 다른 모든 요소보다 작은 ${\displaystyle S}$

정의들

Let ${\displaystyle (P,\leq )}$ be a preordered set and let ${\displaystyle S\subseteq P.}$ An element ${\displaystyle g\in P}$ is said to be a greatest element of ${\displaystyle S}$ if ${\displaystyle g\in S}$ and if it also satisfies:

${\displaystyle }$$s$ 모든$$에 ${\displaystyle \mathrm{대한}}$$$ g $displaystyle$ s$\$$leq$ g$}$

위의 정의에서$$ ${\displaystyle \le }$ ${\$$geq \,}$ 대신$$ ${\displaystyle \ge }$ ${\$ \,\$leq$\}을(를) 사용하면 $S{\displaystyle }$ ${\\displaystyle S}$의 최소 요소 정의를 얻을$$ 수 있다.명시적으로 요소 l${\displaystyle }l{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle l\in P}$은(는) $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle l\in$ S$}$을(를) 충족하면$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 최소 요소라고 한다$$.

${\displaystyle l}$ 모든 $s{\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{for}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\$$displaystyle$s$.$ {\$displaystyle$ s$\in S.}$에 대한 l ${\displaystyle \le }$ s ${\$displaystyle $s$$.$

$({\displaystyle P}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (P,\leq )}$이(가) 부분적으로 정렬된 세트인 경우, $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은(는) 최대 하나의 가장 큰 요소를 가질$$ 수 있으며 최소 하나의 요소를 가질 수 있다.$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 가장 큰 요소가 존재하고$$ 고유할 때마다 $이{\displaystyle }$ $요소$를 S ${\displaystyle$ S$}$의 가장 큰 요소라고 부른다$.$$$S {\$displaystyle$ S$}$의 최소 요소는 이와 유사하게$$ 정의된다.

$({\displaystyle P}$, ${\displaystyle \le }$) ${\$$displaystyle$$(P,\$$leq$ $)}$이(가) 가장 큰 요소(최소 요소)를 가지고$$ 있는 경우, 이 요소를${\displaystyle }$($P$,${\displaystyle )}$ )의 상단(resp. a bottle${\displaystyle )}$이라고도 한다$.$$}$

상한/하한에 대한 관계

가장 큰 요소는 상한과 밀접한 관련이 있다.

Let ${\displaystyle (P,\leq )}$ be a preordered set and let ${\displaystyle S\subseteq P.}$ An upper bound of ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle (P,\leq )}$ is an element ${\displaystyle u}$ such that ${\displaystyle u\in P}$ and ${\displaystyle s\leq u}$ for 모든 $s{\displaystyle }$∈ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle$ s$.\in$ S$.}$ $중요하게$도, P$${\$displaystyle P$}에서 S ${\displaystyle$ S$}$의 $상한$은 S${\displaystyle .}${\$displaystyle$S.}의 요소가 될 필요가$$ 없다.

If ${\displaystyle g\in P}$ then ${\displaystyle g}$ is a greatest element of ${\displaystyle S}$ if and only if ${\displaystyle g}$ is an upper bound of ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle (P,\leq )}$ and ${\displaystyle g\in S.}$ In particular, any greatest element of $$${\displaystyle S}$ is also an upper bound of ${\displaystyle S}$ (in ${\displaystyle P}$) but an upper bound of ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle P}$ is a greatest element of ${\displaystyle S}$ if and only if it belongs to ${\displaystyle S.}$ In the particular case where ${\displaystyle P=S,}$${\displaystyle P=S,}$ the definition of "${\displaystyle u}$ is an upper bound of ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle S}$" becomes: ${\displaystyle u}$ is an element such that ${\displaystyle u\in S}$ and ${\displaystyle s\leq u}$ for all ${\displaystyle s\in S,}$ which is c이전에 주어진 가장 위대한 원소의 정의와 완전히 동일하다.$따라서{\displaystyle }$ g ${\displaystyle g}$이(가) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에서 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$의 상한인$$ 경우에만$$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 최대 요소가 된다$$$.$

If ${\displaystyle u}$ is an upper bound of ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle P}$ that is not an upper bound of ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle S}$ (which can happen if and only if ${\displaystyle u\not \in S}$) then ${\displaystyle u}$ can not be a greatest element of ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}($단, 일부 다른 요소가 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 가장 큰 요소일 수도 있다).$$특히, $S{\displaystyle }${\$displaystyle S$$}$이(가) 가장 큰 요소를 동시에 가지지 $않고{\displaystyle }$P {\$displaystyle$ P$$}에$$S {\$displaystyle$ S$}$의 일부 상한선이 존재할 수 있다$.$

집합에 어느 정도 상한이 있더라도 음의 실수의 예에서 알 수 있듯이 가장 큰 요소가 있을 필요는 없다.또한 이 예는 최소 상한(이 경우 숫자 0)의 존재도 가장 큰 요소의 존재를 의미하지 않는다는 것을 보여준다.

최대 요소 및 국소/절대 최대값과 대비

사전 정렬된 집합의 하위 집합 중 가장 큰 요소는 집합의 다른 요소보다 엄격히 작지 않은 최대 요소인 집합의 최대 요소와 혼동해서는 안 된다.

Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle P}$ ,${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (P,\leq )}$은(는) 사전 주문 집합이고 $S{\displaystyle }$⊆ ${\displaystyle P}$. ${\displaystyle$ S$\subseteq$ P$.} 요소$ m ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m\in S}$은(는) $다음$과 같은 조건이 충족되면$$ S ${\displaysty$ S$}$의 최대 요소라고 한다$$.

$s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S}$이(가) ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \le }$ s${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle m\leq$ s$,}$을(를) 충족할$$ 때마다 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le m}$. ${\displaystyle s\leq m.}$이(가) 반드시 충족되어야 한다.

If ${\displaystyle (P,\leq )}$ is a partially ordered set then ${\displaystyle m\in S}$ is a maximal element of ${\displaystyle S}$ if and only if there does not exist any ${\displaystyle s\in S}$ such that ${\displaystyle m\leq s}$ and ${\displaystyle s\neq m.}$ A maximal e$({\displaystyle P}$ ,$){\displaystyle (P,\leq )}$의 리멘트는 부분 $집합{\displaystyle }$ S ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle P}$. ${\displaystyle S:=P$의 최대 요소를 의미하는 것으로 정의된다$.$$}$

한 세트는 가장 큰 요소를 갖지 않고도 몇 개의 최대 요소를 가질 수 있다.상한 원소나 최대 원소처럼 가장 큰 원소도 존재하지 않을 수 있다.

완전히 순서가 정해진 경우 최대 원소와 최대 원소가 일치하며, 이를 최대값이라고도 하며, 함수 값의 경우 국소 최대값과의 혼동을 피하기 위해 절대 최대값이라고도 한다.^[1]이중항은 최소항과 절대항이다.그들은 함께 절대 극단이라고 불린다.비슷한 결론은 최소한의 요소를 가지고 있다.

최대 요소와 최대 요소를 구별하는 비교가능성의 역할

최대 요소 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ g$}$과(와) 사전$$ 정렬된 집합$P$,${\displaystyle }$