스펙트럼 이론

수학에서 스펙트럼 이론은 단일 사각 행렬의 고유 벡터와 고유값 이론을 다양한 수학 공간에서 연산자 구조에 대한 훨씬 광범위한 이론으로 확장하는 이론에 대한 포괄적 용어다.^[1] 그것은 선형대수학과 선형 방정식의 시스템 해법과 그 일반화에 대한 연구의 결과물이다.^[2] 이 이론은 연산자의 스펙트럼 특성이 스펙트럼 파라미터의 분석 기능과 관련되기 때문에 분석함수의 이론과 연결된다.^[3]

수학적 배경

스펙트럼 이론이라는 명칭은 데이비드 힐버트가 힐버트 우주 이론의 원래 공식화에서 도입되었는데, 이것은 무한히 많은 변수에서 2차적 형태로 주조되었다. 따라서 원래의 스펙트럼 정리는 타원체의 주요 축에 대한 정리의 한 버전으로 무한 차원 설정에서 구상되었다. 스펙트럼 이론이 원자 스펙트럼의 특징을 설명할 수 있는 양자역학에서의 후기 발견은 그러므로 우연한 일이었다. 힐버트 자신도 이 이론의 예기치 않은 적용에 놀라움을 금치 못하면서 "순전히 수학적인 관심에서 무한히 많은 변수에 대한 나의 이론을 발전시켰고, 나중에 물리학의 실제 스펙트럼에 대한 응용을 발견하게 될 것이라는 어떤 예증도 없이 그것을 '스펙트럴 분석'이라고 부르기까지 했다"고 언급했다.^[4]

스펙트럼 이론을 공식화하는 세 가지 주요한 방법이 있었는데, 각각의 방법은 다른 영역에서 사용된다고 한다. 힐베르트의 초기 제형 이후 추상적인 힐버트 공간의 후발달과 그 위에 놓인 단일 정상 연산자의 스펙트럼 이론은 폰 노이만의 연구로 예증된 물리학의 요건에 잘 들어맞았다.^[5] 이 추가 이론은 바나흐 알헤브라를 대체적으로 다루기 위해 세워졌다. 이러한 발전은 감화사례를 포괄하는 Gelfand 표현으로 이어지며, 더 나아가 비고정 고조파 분석으로 이어진다.

그 차이는 푸리에 분석과 연관 짓는 것에서 알 수 있다. 실제 라인의 푸리에 변환은 어떤 의미에서 분화 qua 미분 연산자의 스펙트럼 이론이다. 그러나 그 현상을 다루기 위해서는 이미 일반화된 고유 기능(예를 들어, 조작된 힐버트 공간을 이용하여)을 다루어야 한다. 반면에 그룹 대수학을 구성하는 것은 간단하며, 그 스펙트럼은 푸리에 변환의 기본 특성을 포착하고, 이것은 폰트랴긴 이중성을 이용하여 수행된다.

바나흐 공간에서 연산자의 스펙트럼 특성도 연구할 수 있다. 예를 들어 Banach 공간의 콤팩트 연산자는 행렬의 그것과 유사한 많은 스펙트럼 특성을 가지고 있다.

물리적 배경

진동 물리학의 배경은 다음과 같이 설명되어 왔다.^[6]

스펙트럼 이론은 화학에서의 원자와 분자에서 음향 파동체의 장애물에 이르기까지 다양한 물체의 국부적 진동에 대한 연구와 연결된다. 이러한 진동에는 주파수가 있는데, 문제는 그러한 국부적 진동이 언제 발생하는지, 그리고 주파수 계산을 어떻게 진행하는지를 결정하는 것이다. 이것은 모든 물체는 기본적인 어조뿐만 아니라 몸마다 근본적으로 다른 복잡한 일련의 오버톤을 가지고 있기 때문에 매우 복잡한 문제다.

그런 물리적인 사상은 기술적인 차원에서의 수학적 이론과는 아무런 관계가 없지만 간접적인 관여의 예는 있다(예를 들면 마크 ack의 질문. 드럼의 모양을 들을 수 있는가?). 힐베르트가 '스펙트럼'이라는 용어를 채택한 것은 힐 미분방정식에 관한 빌헬름 워터(Jean Dieudonné)의 1897년 논문이 (장 디우도네에 의해)에 기인했고, 20세기 초 10년 동안 그의 제자들이 그 중 에르하르트 슈미트(Erhard Schmidmidt)와 헤르만 웨일(Hermann Weille)을 들였다. 힐버트 공간의 개념적 기반은 에르하르트 슈미트와 프리게스 리에츠에 의해 힐버트의 아이디어로부터 발전되었다.^[7][8] 양자역학이 슈뢰딩거 방정식의 관점에서 공식화되었을 때, 원자 스펙트럼과의 연결이 이루어진 것은 거의 20년 후였다; Henri Poincaré가 말한 바와 같이 진동의 수학적 물리학과의 연관성은 이전부터 의심되어 왔었지만, 간단한 정량적 이유로 B에 대한 설명은 하지 않았다.앨머 ^[9]시리즈 스펙트럼 이론이 원자 스펙트럼의 특징을 설명할 수 있다는 양자역학에서의 후기 발견은 힐버트의 스펙트럼 이론의 대상이 되기 보다는 우연한 것이었다.

스펙트럼의 정의

일반 바나흐 공간 전체에 걸쳐 정의된 경계 선형 변환 T를 고려하십시오. 우리는 다음과 같은 변화를 만들어 낸다.

${\displaystyle R_{\\zeta }=\왼쪽(\zeta I-T\오른쪽)^{-1}.}$

여기 나는 신분 조작자이고 ζ은 복잡한 숫자다. 연산자 T의 역인 T는 다음과⁻¹ 같이 정의된다.

${\displaystyle TT^{-1}=T^{-1}T=I.}$

역이 존재하면 T를 정규라 한다. 그것이 존재하지 않는다면 T는 단수라 불린다.

이러한 정의에서 T의 분해능 집합은 R이_ζ 존재하고 경계가 되는 모든 복잡한 숫자의 집합이다. 이 세트는 흔히 ρ(T)로 표기된다. T의 스펙트럼은 모든_ζ 복잡한 숫자의 집합이다 r R이 존재하지 않거나 결합되지 않는다. 흔히 T의 스펙트럼은 σ(T)로 표시된다. ρ(T)에서 모든 ζ에 대한 함수 R_ζ(즉, R이_ζ 경계 연산자로 존재하는 곳이라면 어디에 있든지)을 T의 분해라고 한다. 따라서 T의 스펙트럼은 복잡한 평면에서 T의 분해능 집합의 보완물이다.^[10] T의 모든 고유값은 σ(T)에 속하지만 σ(T)는 비유전자값을 포함할 수 있다.^[11]

이 정의는 바나흐 공간에 적용되지만, 물론 다른 유형의 공간도 존재한다. 예를 들어 위상 벡터 공간은 바나흐 공간을 포함하지만 더 일반적일 수 있다.^[12][13] 반면에 바나흐 공간은 힐베르트 공간을 포함하고 있으며, 가장 큰 응용과 가장 풍부한 이론적 결과를 찾아내는 것이 바로 이러한 공간들이다.^[14] 적절한 제한으로 힐버트 공간의 변환 스펙트럼 구조에 대해 많은 것을 말할 수 있다. 특히, 자체 적응 연산자의 경우 스펙트럼은 실제 선에 위치하며 (일반적으로) 이산 고유값의 점 스펙트럼과 연속 스펙트럼의 스펙트럼 조합이다.^[15]

간략한 스펙트럼 이론

기능분석과 선형대수학에서 스펙트럼 정리는 연산자를 단순한 연산자의 합으로 단순한 형태로 표현할 수 있는 조건을 설정한다. 이 기사에 대해서는 완전히 엄격한 발표가 적절하지 않기 때문에, 우리는 비전문가가 좀 더 이해할 수 있다는 목적으로 정식 처우의 엄격함과 만족을 많이 피하는 접근법을 취한다.

이 항목은 운영자를 위한 브라켓 표기법 Dirac을 도입함으로써 설명하기 가장 쉽다.^[16][17] 예를 들어, 매우 특정한 선형 연산자 L은 다이디치 제품으로 기록될 수 있다.^[18][19]

${\displaystyle L=k_{1}\angle \langle b_{1},}$

"bra" ⟨b와₁ "ket" k₁⟩의 측면에서. 함수 f는 ket에 의해 f ⟩으로 설명된다. 좌표$x$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$, $…)$에 정의된 f($x)$ 함수는 다음과 $같이 표시된다$$.$

${\displaystyle f(x)=\langle x,f\angle }$

그리고 f의 크기 by

${\displaystyle \ \f\}=\langle f,f\rangle =\int \langle f,x\langle x,f\langle \,dx=\int f^{*(x)f(x)\,dx}$

여기서 '*'라는 표기법은 복잡한 결합을 의미한다. 이 내부 제품 선택은 매우 구체적인 내부 제품 공간을 정의하여 뒤에 나오는 인수의 일반성을 제한한다.^[14]

함수 f에 대한 L의 영향은 다음과 같이 설명된다.

${\displaystyle L f\rangele = k_{1}\rangele \langle b_{1} f\rangele }$

f에 대한 L의 효과를 나타내는 것은 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle f{}_{}}$⟩ ${\displaystyle k_{1}\rangele }$에 대표되는 내측 제품에 곱한$$ 새로운 함수 ${\displaystyle k{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \langle b_{1} f\rangele }$를 생성하는 것이다$.$

보다 일반적인 선형 연산자 L은 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle L=\lambda _{1} e_{1}\langle f_{1} +\lambda \langle f_{2} +\lambda \langle \langle f_{3}\langle \langle f_{3} +\dots ,}$

여기서 {${\displaystyle {\lambda }_{}}$ i${\displaystyle \}{}_{}}$ ${\displaystyle \{\\data _{i}\}}$은(는) 스칼라이고${\displaystyle }${ e $\}{\i}\langle$f_{$i}\}}$은(는) 기본이고${\displaystyle }${ ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $}{\}{\langle f_{i}\}\}$는 공간의 상호 기준이다. 기초와 상호기준의 관계는 부분적으로 다음과 같이 설명된다.

${\displaystyle \langle f_{i} e_{j}\angle =\langle _{ij}}$

그러한 형식주의가 적용된다면$,{\displaystyle }$ { ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ i${\displaystyle \}{}_{}}$ ${\displaystyle \{\,\lambda _{i}\}}$은(는) L의 고유값이며$,{\displaystyle }$ 기능 { ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $}{\displaystyle \{\i}\rangele$ \}은$($는) L의 고유값이다. 고유값은 L의 스펙트럼에 있다.^[20]

몇 가지 당연한 질문은 다음과 같다: 어떤 상황에서 이러한 형식주의가 작용하는지, 그리고 이와 같은 일련의 다른 운영자들이 L을 확장할 수 있는지? 기능 f는 고유특성의 관점에서 표현될 수 있는가(그것은 Schauder 기반이다), 그리고 어떤 상황에서 점 스펙트럼 또는 연속 스펙트럼이 발생하는가? 무한 차원 공간과 유한 차원 공간에 대한 형식은 어떻게 다른가, 아니면 다른가? 이러한 생각들이 더 넓은 차원의 공간으로 확장될 수 있을까? 그러한 질문에 대답하는 것은 스펙트럼 이론의 영역이며 기능 분석과 행렬 대수학에서 상당한 배경을 필요로 한다.

신원 확인

이 절은 브라켓 표기법을 사용하여 위 절의 거칠고 준비된 방식으로 계속되며, 엄격한 처리의 많은 중요한 세부 사항을 얼버무린다.^[21] 엄격한 수학적 치료법은 다양한 참고 자료에서 찾을 수 있다.^[22] 특히 공간의 치수 n은 유한할 것이다.

위 절의 브라켓 표기법을 사용하여 ID 연산자는 다음과 같이 표기할 수 있다.

${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n} e_{i}\랑글 \langle f_{i}}}}$

여기서 { ei ${\displaystyle e_{i}\rangele }$은($$는) 기본이고 {${\displaystyle }${ f ${\displaystyle i_{}}$ $displaystyle \langle f_{i}}}}$은($$는) 다음과 같은 관계를 만족하는 공간의 상호 기준이다.

${\displaystyle \langle f_{i} e_{j}\rangele =\regling _{ij}.}$

이 신분 연산의 표현을 신분 연산의 표현 또는 결의라고 한다.^[21][22] 이 공식적 표현은 ID의 기본 특성을 만족한다.

${\displaystyle I^{k}=I\,}$

모든 양의 정수 k에 유효하다.

${\displaystyle \psi }${\$displaystyle \psi \rangele$ $\}$ 공간의 기능에 ID의 해상도를 적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle I \psi \rangele =\sum \psi \rangele =\\sum \langle f_{i}\psi \langle f_}\sum \psi \rangele =\{i=1}{n}\c_{i}\rangele }$

기본 함수 { e_i }^[23]에 있어 ψ의 일반화된 푸리에 확장이다. 여기서 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle f{}_{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ⟩ ${\displaystyle c_{i}=\langle f_{i} \psi \angle$ $\}.$

형식에 대한 일부 연산자 방정식:

${\displaystyle O \psi \rangele = h\rangele }$

이 방정식은 공간 내에 h를 두고 형식적인 조작을 통해 위와 같은 기초에서 풀 수 있다.

${\displaystyle O \psi \rangele =\sum_{i=1}^{n}c_{{i}\li}\좌측(O e_{i}\rangele \rigle \rigle \langle f_{n}\langle \langle,},}}}}}}$

${\displaystyle \langle f_{j} O \psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\langle f_{j} O e_{i}\rangle =\sum _{i=1}^{n}\langle f_{j} e_{i}\rangle \langle f_{i} h\rangle =\langle f_{j} h\rangle ,\quad \forall j}$

그 말은 행렬 방정식은 알려지지 않은 계수 cj을 결정하는 것이 일반화된 푸리에 계수 면에서 ⟨는 운영자 방정식 h의 fjh⟩{\displaystyle\langle f_{j}h\rangle}과 월의 Oj나는 갈⟨ fj Oei⟩{\displaystyle O_{ji}=\langle f_{j}Oe_{나는}\rangle 매트릭스 요소}로 변환합니다.e 연산자 O.

스펙트럼 이론의 역할은 기초와 상호적 기초의 성격과 존재를 확립하는 데 발생한다. 특히, 기초는 일부 선형 연산자 L:의 고유 기능으로 구성될 수 있다.

${\displaystyle L e_{i}\rangele =\lambda _{i} e_{i}\rangele \,;}$

L의 스펙트럼에서 L의 고유값 { λ_i }과(와) 함께. 그런 다음 위의 아이덴티티 해상도는 L:의 디아드 확장을 제공한다.

${\displaystyle LI=L=\sum _{i=1}^{n}L e_{n}\angle \langle f_{i} =\sum \langle f_{i}}}\lambda _{i}\langle \langle f_{i}.}}}}}.}}$

분해능 연산자

스펙트럼 이론을 이용하여 분해 연산자 R:

${\displaystyle R=(\lambda I-L)^{-1},\,}$

L의 고유특성과 고유값 측면에서 평가될 수 있으며, L에 해당하는 Green의 함수를 찾을 수 있다.

공간의 일부 임의 함수에 R을 적용하는 중, $예$를 들어 $▼$ {\$displaystyle \varphi$ $\},$

${\displaystyle R \varphi \rangle =(\lambda I-L)^{-1} \varphi \rangle =\\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\lambda _{i} e_{i}\langle \langle f_{langle \varphi}.$

이 함수는 L의 각 고유값에서 복합 λ 평면에 극을 가진다. 따라서 잔류물의 미적분을 사용하여 다음을 수행하십시오.

${\displaystyle {1}{2\pi i}\point _{C}R \varphi \rangle d\\lambda =-\sum _{i=1}{n} e_{i}\langle \langle f_{i} \varphi \rangele =-\rangele ,}$

여기서 선 적분은 L의 모든 고유값을 포함하는 등고선 C 위에 있다.

우리의 기능이 일부 좌표_j {x}에 걸쳐 정의된다고 가정합시다. 즉,

${\displaystyle \langle x,\varphi \rangle =\varphi(x_{1},x_{2},...)}$

표기법 소개

$\displaystyle \langle x,y\rangele =\cHB(x-y),}$

여기서 Δ(x - y) = Δ(x₁₁₂ - y, x₂ - y, x₃₃ - y, ...)는 Dirac 델타 함수,^[24] 우리는 쓸 수 있다.

$\displaystyle \langle x,\varphi \rangle =\int \langle x,y\langle \langle y,\varphi \rangle dy.}$

다음: