건전성

논리학에서, 더 정확히는 연역적 추리에서는, 만약 그것이 형식적으로 유효하고 그 전제가 ^[1]사실이라면, 주장은 타당하다.건전성은 또한 수학 논리학에서 관련된 의미를 가지며, 논리 시스템은 시스템에서 증명될 수 있는 모든 공식들이 시스템의 의미에 관해 논리적으로 유효할 경우에만 건전하다.

정의.

연역적 추론에서, 건전한 주장은 타당하고 모든 전제조건이 참이다(그리고 결과적으로 결론도 참이다).그 전제가 참이라고 가정하고 결론이 참이어야 한다면 논쟁은 유효하다.건전한 논의의 예로는 다음과 같은 잘 알려진 삼단논법이 있습니다.

(구내)

모든 사람은 죽는다.

소크라테스는 남자다.

(결석)

그러므로, 소크라테스는 죽는다.

결론의 논리적 필요성 때문에, 이 주장은 타당하다; 그리고 그 주장은 타당하고 그 전제가 사실이기 때문에, 그 주장은 타당하다.

그러나 주장은 타당하지 않고 타당할 수 있습니다.예를 들어 다음과 같습니다.

모든 새는 날 수 있다.

펭귄은 새입니다.

그러므로 펭귄은 날 수 있다.

이 주장은 전제가 참이라고 가정할 때 결론이 참이어야 하므로 유효하다.하지만 첫 번째 전제는 틀렸다.모든 새들이 날 수 있는 것은 아니다.논거가 건전하려면 논거가 유효하고 전제가 ^[2]참이어야 합니다.

수리논리에 사용

논리 시스템

수학 논리학에서 논리 시스템은 시스템에서 증명될 수 있는 모든 공식이 시스템의 의미에 관해 논리적으로 유효한 경우에만 건전성을 갖는다.대부분의 경우,^[3] 이것은 진실을 보존하는 속성을 가진 규칙들로 귀결된다.건전성의 반대는 완전성이라고 알려져 있다.

$A_{1},A_{2},...,A_{n}$ , $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ $An(\$ 의 경우 구문 수반 ${\(\displaystyle$ \ $vdash$ 및 의미 수반 ${\(\displaystyle \models)$ 의 $\models$ 논리 시스템이 건전합니다. $A_{n}$ 개의 $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ 언어로 된 문장( $A_{1},A_{2},...,A_{n}\vdash C$ 1, $A_{1},A_{2},...,A_{n}\vdash C$ , $A_{1},A_{2},...,A_{n}\vdash C$ $A_{1},A_{2},...,A_{n}\vdash C$ n $A_{1},A_{2},...,A_{n}\vdash C$ C { $displaystyle A_{1}, A_{2}$ 의 $A_{1},A_{2},...,A_{n}\vdash C$ ) $A_{n}\vdash$ C $A_{1},A_{2},...,A_{n}\vdash C$ $A_{1},A_{2},...,A_{n}\models C$ 으로 $A_{1},A_{2},...,A_{n}\models C$ $A_{1},A_{2},...,A_{n}\models C$ $A_{1},A_{2},...,A_{n}\models C$ $A_{1},A_{2},...,A_{n}\models C$ $A_{1},A_{2},...,A_{n}\models C$ ({ $displaystyle A_{1}, A_{2})...$ $A_{n}\models$ C $A_{1},A_{2},...,A_{n}\models C$ 즉, 모든 이론이 동일할 때 시스템은 건전합니다.

건전성은 수리 논리의 가장 기본적인 특성 중 하나이다.건전성 속성은 바람직한 논리 시스템을 카운트하는 첫 번째 이유를 제공합니다.완전성 속성은 모든 타당성(진실성)이 입증 가능하다는 것을 의미합니다.그것들은 모두 타당성이 입증될 수 있다는 것을 암시한다.

대부분의 건전성 증명은 ^{[citation needed]}사소한 것이다.예를 들어, 공리 체계에서 건전성의 증명은 공리의 타당성을 검증하는 것과 같으며 추론 규칙은 타당성(또는 더 약한 속성인 진실)을 보존한다.시스템이 힐베르트식 추론을 허용한다면, 공리와 하나의 추론 규칙, 즉 모더스 포넨의 타당성만 검증하면 된다.(경우에 따라서는 대체)

건전성 특성은 크게 두 가지 종류가 있다: 약한 건전성과 강한 건전성. 그리고 전자는 후자의 제한된 형태이다.

건전성

연역체계의 건전성은 그 연역체계에서 증명 가능한 문장이 그 이론의 기초가 되는 언어에 대한 의미론의 모든 해석이나 구조에서도 참이라는 특성이다.기호에서, 여기서 S는 연역 체계이고, L은 L의 의미 이론과 함께, P는 L의 문장이다: 만약 _Sp P이면, 그리고 또한 _Lp P이다.

견고한 건전성

연역체계의 강력한 건전성은 연역체계의 기초가 되는 언어의 문장 P가 그 언어의 문장 집합 γ에서 파생될 수 있는 것 또한 그 집합의 논리적 결과라는 특성이다. 즉, of의 모든 구성원을 참으로 만드는 어떤 모델도 P를 참으로 만든다는 것이다.여기서 γ는 L의 문장 집합이다: γ _Sp P일 경우 ⊨ _Lp p P일 경우 soundness p notice notice notice notice notice notice notice , , , , , , , , , , , , soundness soundness soundness soundness soundness soundness soundness soundness soundness soundness soundness soundness soundness soundness soundness soundness soundness soundness soundness soundness soundness soundness soundness soundness soundness

산술건전성

만약 T가 담론의 대상이 자연수로 해석될 수 있는 이론이라면, 우리는 T의 모든 이론이 실제로 표준 수학 정수에 대해 사실이라면 T는 산술적으로 건전한 것이라고 말한다.상세한 것에 대하여는, 「일관성이론」을 참조해 주세요.

완전성과의 관계

건전성 속성의 반대는 의미적 완전성 속성이다.한 쌍의 문장 δ의 의미적 결과인 문장 P를 그 집합에서 추론 시스템에서 도출할 수 있다면 의미론적 연역체계가 강하게 완성된다.기호: γ p P, γ ⊢ P. 1차 논리의 완전성은 Gödel에 의해 최초로 명시적으로 확립되었다.단, 주요 결과의 일부는 스콜렘의 초기 연구에 포함되어 있었다.

비공식적으로, 연역체계의 건전성 정리는 모든 입증 가능한 문장이 참이라는 것을 표현한다.완전성은 모든 참된 문장이 입증 가능하다는 것이다.

괴델의 첫 번째 불완전성 정리는 일정량의 산수를 하기에 충분한 언어에는 그 언어의 상징성에 대한 의도된 해석에 관해 완전하고 일관되고 효과적인 연역체계가 있을 수 없다는 것을 보여준다.따라서 모든 음향 연역 시스템이 (동형사상까지) 모델의 클래스가 의도된 것으로 제한되는 이 특별한 완성도에서 완전한 것은 아니다.원래의 완전성 증명은 의도된 모델의 일부 특별한 적절한 하위 클래스가 아닌 모든 클래식 모델에 적용됩니다.

「」를 참조해 주세요.

건전성(대화증명)

레퍼런스

^ Smith, Peter (2010). "Types of proof system" (PDF). p. 5.
^ Gensler, Harry J., 1945- (January 6, 2017). Introduction to logic (Third ed.). New York. ISBN 978-1-138-91058-4. OCLC 957680480.{{cite book}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
^ Mindus, Patricia (2009-09-18). A Real Mind: The Life and Work of Axel Hägerström. Springer Science & Business Media. ISBN 978-90-481-2895-2.

참고 문헌

Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0.
Copi, Irving (1979), Symbolic Logic (5th ed.), Macmillan Publishing Co., ISBN 0-02-324880-7
불로스, 버지스, 제프리Computability and Logic, 4th Ed, 캠브리지, 2002.

외부 링크

인터넷 철학 백과사전의 타당성과 건전성.

[1] Smith, Peter (2010). "Types of proof system" (PDF). p. 5.

[2] Gensler, Harry J., 1945- (January 6, 2017). Introduction to logic (Third ed.). New York. ISBN 978-1-138-91058-4. OCLC 957680480.{{cite book}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)

[3] Mindus, Patricia (2009-09-18). A Real Mind: The Life and Work of Axel Hägerström. Springer Science & Business Media. ISBN 978-90-481-2895-2.

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