경성변환

이 글은 독자들에게 혼란스럽거나 불명확할 수 있다. 특히 납은 유클리드 공간의 변형을 정확하게 가리키는 반면, 절은 유클리드 벡터 공간이나 좌표 벡터 공간의 경우만을 기술한다. "형식 정의" 섹션은 어떤 종류의 물체가 변수에 의해 표현되는지를 명시하지 않고 막연하게 "벡터"라고 부르며, 모든 종류의 벡터에 대해 기준과 도트 제품이 정의되어 있음을 암시한다. 기사에 대해 명확하게 설명할 수 있도록 도와주십시오. 토크 페이지에서 이에 대한 논의가 있을 수 있다. (2021년 8월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수학에서 경직된 변환(유클리드 변환 또는 유클리드 이소메트리라고도 함)은 모든 점 쌍 사이의 유클리드 거리를 보존하는 유클리드 공간의 기하학적 변환이다.^{[1][self-published source][2][3]}

경직된 변환에는 회전, 번역, 반사 또는 이러한 순서가 포함된다. 반사는 때로 유클리드 공간에서 물체의 손길도 보존하도록 요구함으로써 경직된 변환의 정의에서 제외된다.(반사는 손길도 보존하지 않을 것이다, 예를 들어 왼손은 오른손으로 변형할 것이다.) 애매함을 피하기 위해 손질을 보존하는 변환을 적절한 경직성 변환, 즉 로토트란스로 알려져 있다.^{[citation needed]} 적절한 강성 변환은 회전을 거쳐 번역을 하는 것으로 분해될 수 있는 반면, 부적절한 강성 변환은 번역을 따르는 부적절한 회전 또는 일련의 반사로 분해될 수 있다.

어떤 물체든 적절한 경직된 변환 후에 동일한 모양과 크기를 유지할 것이다.

모든 경직된 변환은 부착된 변환의 예다. 모든 (적절하고 부적절한) 강직성 변환의 집합은 유클리드 집단이라고 불리는 수학 집단으로, n차원 유클리드 공간에 대해 E(n)로 표시된다. 적절한 강성 변환의 집합을 특수 유클리드 그룹이라고 하며, SE(n)로 표시한다.

운동학에서는 SE(3)로 표시된 3차원 유클리드 공간에서 적절한 강성 변환을 사용하여 강체 신체의 선형 및 각도 변위를 나타낸다. 샤슬스의 정리대로라면, 모든 경직된 변형은 나사 변위로 표현할 수 있다.

형식 정의

경직된 변환은 어떤 벡터 v에 작용했을 때 형태의 변환된 벡터 T(v)를 생성하는 변환으로 공식적으로 정의된다.

T(v) = R v + t

여기서 R^T = R⁻¹(즉, R은 직교 변환이다), t는 원점의 번역을 제공하는 벡터다.

적절한 경직성 변환은 또한

데트(R) = 1

즉, R은 반사를 생성하지 않으며, 따라서 회전(방향-보존 직교 변환)을 나타낸다. 실제로 직교 변환 행렬이 반사를 생성할 때 결정 인자는 -1이다.

거리 공식

변환이 강직하다는 것을 확인하기 위해 점 사이의 거리 또는 측정지표가 필요하다. R에ⁿ 대한 유클리드 거리 공식은 피타고라스 정리의 일반화다. 공식은 두 점 X와 Y 사이에 제곱된 거리를 좌표 축을 따라 거리 제곱의 합으로 제공한다.

${\displaystyle d(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )^{2}=(X_{1}-Y_{1})^{2}+(X_{2}-Y_{2})^{2}+\dots +(X_{n}-Y_{n})^{2}=(\mathbf {X} -\mathbf {Y} )\cdot (\mathbf {X} -\mathbf {Y} ).}$

여기서 X=(X₁, X₂, …, X_n), Y=(Y₁, Y₂, …, Y_n), 점은 스칼라 제품을 나타낸다.

이 거리 공식을 사용하여, 강체 변환 g:Rⁿ→R은ⁿ 속성을 가진다.

${\displaystyle d(\mathbf {X}),g(\mathbf {Y} )^{2}=d(\mathbf {X},\mathbf {Y})^{2}.$

번역 및 선형 변환

벡터 공간의 번역은 공간의 모든 벡터에 벡터 d를 추가하는데, 이는 그것이 변환이라는 것을 의미한다.

g(v): v→v+d.

번역된 벡터 사이의 거리가 원래 벡터 사이의 거리와 같다는 것을 보여줌으로써 이것이 경직된 변형이라는 것을 쉽게 보여줄 수 있다.

${\displaystyle d(\mathbf {v} +\mathbf {d} ,\mathbf {w} +\mathbf {d} )^{2}=(\mathbf {v} +\mathbf {d} -\mathbf {w} -\mathbf {d} )\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} -\mathbf {w} -\mathbf {d} )=(\mathbf {v} -\mathbf {w} )\cdot (\mathbf {v} -\mathbf {w} )=d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )^{2}.}$

벡터 공간의 선형 변환 L: Rⁿ→ R은ⁿ 선형 조합을 보존한다.

${\displaystyle L(\mathbf {V} )=L(a\mathbf {v} +b\mathbf {w})=aL(\mathbf {v} )+bL(\mathbf {w}).}$

선형 변환 L은 행렬로 나타낼 수 있으며, 이는 다음을 의미한다.

L: v→[L]v,

여기서 [L]은 n×n 행렬이다.

선형 변환은 조건을 만족하면 경직된 변환이다.

${\displaystyle d([L]\mathbf {v}, [L]\mathbf {w})^{2}=d(\mathbf {v},\mathbf {w} )^{2},}$

그것은

${\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )\cdot ([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )=([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} ))\cdot ([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} )).}$

이제 두 벡터 v.w의 스칼라 제품을 매트릭스 연산 vw로^T 쓸 수 있다는 사실을 사용합시다. 여기서 T는 매트릭스가 전치되는 것을 나타내며, 우리는

${\displaystyle d([L]\mathbf {v}, [L]\mathbf {w})^{2}=(\mathbf {v} -\mathbf {w})^{T}[L]^{{{}}}T}[L](\mathbf {v} -\mathbf {w}).}$

따라서 선형 변환 L은 행렬이 조건을 만족하면 경직된다.

$[\displaystyle [L]^{T}[L]=[I],}$

여기서 [I]는 ID 매트릭스다. 이 조건을 만족하는 행렬을 직교 행렬이라고 한다. 이 조건은 실제로 이들 행렬의 열이 직교 단위 벡터여야 한다.

이 조건을 만족하는 행렬은 n×n 행렬의 직교 그룹이라 불리는 행렬 곱셈의 연산 하에 수학 그룹을 형성하고 O(n)를 나타낸다.

직교 행렬이 얻을 조건의 결정 인자 계산

${\displaystyle \det([L]^{T}[L])=\det[Detail]^{2}=\det[Detail]I]=1,}$

이는 행렬 [L]이 +1 또는 -1의 결정 인자를 가질 수 있음을 보여준다. 결정인자 -1이 있는 직교 행렬은 반사, 결정인자 +1이 있는 행렬은 회전이다. 직교 행렬의 집합은 단수 행렬 집합으로 분리된^n×n R의 두 다지관으로 구성되는 것으로 볼 수 있다.

회전 행렬의 집합을 특수 직교 그룹이라고 하며 SO(n)로 표시한다. 다지관의 구조를 가지고 있기 때문에 거짓말 그룹의 예다.

참조