양자화(신호처리)

신호를 양자화하는 가장 간단한 방법은 원래 아날로그 진폭에 가장 가까운 디지털 진폭 값을 선택하는 것입니다.이 예에서는 원래 아날로그 신호(녹색), 양자화 신호(검은색 점), 양자화 신호로부터 재구성된 신호(노란색) 및 원래 신호와 재구성된 신호 사이의 차이(빨간색)를 보여 줍니다.원래 신호와 재구성된 신호의 차이는 양자화 오류이며, 이 간단한 양자화 방식에서는 입력 신호의 결정론적 함수입니다.

양자화(quantization)는 수학 및 디지털 신호 처리에서 큰 집합(종종 연속 집합)의 입력 값을 종종 유한한 수의 요소를 가진 작은 집합의 출력 값으로 매핑하는 과정입니다.반올림 및 절단은 양자화 프로세스의 전형적인 예입니다.디지털 형태로 신호를 표현하는 과정은 일반적으로 반올림을 포함하므로 양자화는 거의 모든 디지털 신호 처리에서 어느 정도 관여한다.양자화는 기본적으로 모든 손실 압축 알고리즘의 핵심을 형성합니다.

입력값과 그 양자화된 값의 차이(반올림 오류 등)를 양자화 오류라고 합니다.양자화를 실행하는 장치 또는 알고리즘 함수를 양자화기라고 합니다.아날로그-디지털 변환기는 양자화기의 한 예입니다.

예

예를 들어, $실수$ x(\ $style$ x $)$ 를 $x$ 가장 가까운 정수 값으로 반올림하면 매우 기본적인 유형의 정량자(균일한 수량자)가 형성됩니다.양자화 스텝사이즈가 일부 값 $\Delta$ (\ $displaystyle\Delta)$ 와 $\Delta$ 동일한 전형적인 (중간 판독) 균일한 양자화기는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

=

델타 }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor

여기서 표기법 $"\displaystyle\lfloor\loor"$ 는 $\lfloor \ \rfloor$ 바닥의 기능을 나타냅니다.

양자화기의 기본 속성은 가능한 출력 값 멤버의 카운터블 세트가 가능한 입력 값 집합보다 작다는 것입니다.출력값 집합의 멤버는 정수, 유리 또는 실제 값을 가질 수 있습니다.가장 가까운 정수로 단순 반올림할 경우 스텝사이즈 $\Delta$ (\ $displaystyle \Delta$ })는 $\Delta$ 1입니다. $\Delta =1$ $\Delta =1$ { $displaystyle \Delta =1}$ 또는 $\Delta =1$ $\Delta$ { $displaystyle \Delta$ }이 $\Delta$ (가) 다른 정수 값과 같으면 이 양자화기에는 실수 값 입력과 정수 값 출력이 있습니다.

그 양자화 단계 크기(Δ)은 신호에 변화가 양자화되는 것에 비해서는 상대적으로가 평균 제곱 오차 그런 사용하면 반올림 연산에 의해 생산된 약 2/12{\displaystyle\Delta ^{2}/12}Δ 걸 보여 주는 것 .[1][2][3][4][5][6]제곱 오차도 양자화 nois라고 불린다 평균은 간단하다.e파워이다.양자화기에 1비트를 더하면 δ의 값이 반감되어 노이즈 파워가 계수 δ만큼 감소한다.데시벨의 경우 노이즈 파워의 변화는 $\scriptstyle 10\cdot \log _{10}(1/4)\ \approx \ -6\ \mathrm {dB} .$ $\scriptstyle 10\cdot \log _{10}(1/4)\ \approx \ -6\ \mathrm {dB} .$ 1 $\scriptstyle 10\cdot \log _{10}(1/4)\ \approx \ -6\ \mathrm {dB} .$ / $\scriptstyle 10\cdot \log _{10}(1/4)\ \approx \ -6\ \mathrm {dB} .$ $\scriptstyle 10\cdot \log _{10}(1/4)\ \approx \ -6\ \mathrm {dB} .$ - $\scriptstyle 10\cdot \log _{10}(1/4)\ \approx \ -6\ \mathrm {dB} .$ 입니다 $.{$ $displaystyle \script style$ 10 \ $cdot$ \ $log$ _ { $10$ ( $1$ / $4$ ) $\ about$ \ $6$ \ $mathrm$ { $dB$ } } 。

양자화기의 가능한 출력값의 세트는 계수 가능하기 때문에, 양자화기는 분류 단계(또는 전진 양자화 단계)와 재구성 단계(또는 역 양자화 단계)라고 불릴 수 있는 2개의 별개의 단계로 분해할 수 있다.이 단계에서 입력값을 정수 양자화 단계에 매핑한다.인덱스 $(\displaystyle$ k $)$ 및 $k$ 재구성 단계는 $인덱스$ k(\ $displaystyle$ k $)$ 를 $k$ 입력 값의 출력 근사치인 재구성 $y_{k}$ $(\$ })에 $y_{k}$ 매핑합니다.위에서 설명한 균일한 양자화 예에서 순방향 양자화 단계는 다음과 같이 표현될 수 있다.

k=\left\lfloor {\frac {x}{\Delta }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor

델타 }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor

그리고 이 예제 양자화기의 재구성 단계는 단순합니다.

y_{k}=k\cdot \Delta

k

y_{k}=k\cdot \Delta

y_{k}=k\cdot \Delta

y_{k}=k\cdot \Delta

y_{k}=k\cdot \Delta

display

y_{k}=k\cdot \Delta

（ \

displaystyle

y

_

{ k }

= k

\

cdot

\

Delta

y_{k}=k\cdot \Delta

）。

이 분해는 양자화 동작의 설계 및 분석에 유용하며, 양자화된 데이터가 통신 채널을 통해 어떻게 전달될 수 있는지를 보여줍니다. 소스 인코더는 전진 양자화 단계를 수행하고 통신 채널을 통해 인덱스 정보를 전송할 수 있으며, 디코더는 재구성 단계를 수행할 수 있습니다.원래 입력 데이터의 출력 근사치를 생성합니다.일반적으로 순양자화 단계는 입력 데이터를 양자화 지표 데이터의 정수 공간에 매핑하는 함수를 사용할 수 있으며, 역양자화 단계는 개념적으로(또는 문자 그대로) 각 양자화 지수를 대응하는 재구성 값에 매핑하는 테이블 룩업 연산일 수 있다.이 2단계 분해는 벡터 및 스칼라 양자화에도 동일하게 적용됩니다.

수학적 특성

양자화는 다대소 매핑이기 때문에 본질적으로 비선형이며 되돌릴 수 없는 프로세스입니다(즉, 동일한 출력값이 여러 입력값으로 공유되기 때문에 일반적으로 출력값만 주어졌을 때 정확한 입력값을 회복하는 것은 불가능합니다).

가능한 입력값의 집합은 무한히 클 수 있으며 연속적일 수 있으며 따라서 셀 수 없습니다(모든 실수의 집합이나 제한된 범위 내의 모든 실수의 집합 등).가능한 출력 값 집합은 유한하거나 셀 수 있을 정도로 무한할 ^[6]수 있습니다.양자화와 관련된 입력 및 출력 세트는 비교적 일반적인 방법으로 정의할 수 있습니다.예를 들어, 벡터 양자화는 다차원(벡터 값) 입력 ^[7]데이터에 양자화를 적용하는 것입니다.

종류들

아날로그와 ^[8]비교하여 4가지 양자화 수준의 2비트 해상도.

8레벨의 3비트 해상도

아날로그-디지털 변환기

아날로그-디지털 변환기(ADC)는 샘플링과 양자화의 두 가지 프로세스로 모델링할 수 있습니다.샘플링은 시간 가변 전압 신호를 일련의 실수의 이산 시간 신호로 변환합니다.양자화는 각 실수를 유한한 이산값 집합의 근사치로 대체한다.일반적으로 이러한 이산 값은 고정 소수점 단어로 표시됩니다.임의의 수의 양자화 레벨이 가능하지만 공통 워드 길이는 8비트(256레벨), 16비트(65,536레벨) 및 24비트(1,680만레벨)입니다.숫자의 시퀀스를 양자화하면 양자화 오류 시퀀스가 생성되며, 확률적 동작 때문에 양자화 노이즈라고 불리는 가산 랜덤 신호로 모델링되기도 합니다.양자화기가 사용하는 레벨이 많을수록 양자화 노이즈 파워는 낮아집니다.

환율 왜곡 최적화

레이트 왜곡 최적화 양자화는 손실 데이터 압축 알고리즘의 소스 코딩에서 발생합니다.이 알고리즘의 목적은 통신 채널 또는 기억 매체에 의해 지원되는 비트환율 한도 내에서 왜곡을 관리하는 것입니다.이 맥락에서 양자화 분석에는 양자화기의 출력을 나타내기 위해 사용되는 데이터 양(일반적으로 자릿수, 비트 또는 비트환율로 측정됨)과 양자화 프로세스에 의해 발생하는 정밀도 손실(왜곡이라고 함)이 포함됩니다.

미드라이저 및 미드트레드 균일한 양자화기

서명된 입력 데이터에 대한 대부분의 균일한 양자화기는 미드라이저와 미드트레드의 두 가지 유형 중 하나로 분류할 수 있습니다.이 용어는 값 0 주위의 영역에서 발생하는 현상을 기반으로 하며, 계량기의 입출력 함수를 계단으로 보는 것과 유사합니다.미드트레드 양자화기는 제로값 재구성 레벨(계단의 트레드에 대응)을 가지며, 미드라이저 양자화기는 제로값 분류 임계값(^[9]계단의 라이저에 대응)을 가진다.

미드트레드 양자화에는 반올림이 포함됩니다.미드트레드 균일한 양자화 공식은 이전 섹션에서 설명합니다.

미드라이저 양자화에는 절단이 포함됩니다.미드라이저 균일한 양자화기의 입출력 공식은 다음과 같습니다.

x

델타 }}\

right

\rfloor +{\frac {1}{2}}\right

분류규칙이 주어지는

\displaystyle k=\left\lfloor\frac {x}{\델타 }}\right\rfloor}

재건 규칙은

y_{k}=\Delta \cdot \left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)

k

=

y_{k}=\Delta \cdot \left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)

k

y_{k}=\Delta \cdot \left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)

+

y_{k}=\Delta \cdot \left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)

2

y_{k}=\Delta \cdot \left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)

）{

displaystyle y_{k

}=\

Delta \cdot \left(k+{\tfrac

{

1}{2}}\right

미드라이저 균일한 양자화기에는 0 출력 값이 없습니다. 즉, 최소 출력 크기는 스텝 크기의 절반입니다.반면 미드트레드 양자화기의 출력 레벨은 제로입니다.일부 애플리케이션에서는 제로 출력 신호 표현이 필요할 수 있습니다.

일반적으로 미드라이저 또는 미드트레드 양자화기는 실제로 균일한 양자화기가 아닐 수 있습니다. 즉, 양자화기의 분류 간격의 크기가 모두 동일하지 않거나 가능한 출력 값 사이의 간격이 모두 동일하지 않을 수 있습니다.미드라이저 양자화기의 구별되는 특징은 정확히 0인 분류 임계값을 갖는다는 것이며 미드스레드 양자화기의 구별되는 특징은 정확히 ^[9]0인 재구성 값을 갖는다는 것이다.

데드존 양자화기

데드존 양자화기는 대칭 동작이 0에 가까운 미드 스레드 양자화기의 한 종류입니다.이러한 양자화기의 제로 출력값 주위의 영역을 데드존 또는 데드밴드라고 부릅니다.데드존은 때때로 노이즈 게이트 또는 스켈치 기능과 같은 용도로 사용될 수 있습니다.특히 압축 어플리케이션의 경우 데드존에는 다른 스텝의 폭과 다른 폭이 주어질 수 있습니다.그렇지 않으면 균일한 양자화기의 경우 정방향 양자화^[10]^[11]^[12] 규칙을 사용하여 데드존 폭을 임의의 $값$ (\ $displaystyle$ w $)$ 으로 $w$ 설정할 수 있습니다.

k=\operatorname {sgn}(x)\cdot \max \left(0,\left\lfloor {\frac {\left|x\right|-w/2}{\Delta }}+1\right\rfloor \right)

k=\operatorname {sgn}(x)\cdot \max \left(0,\left\lfloor {\frac {\left|x\right|-w/2}{\Delta }}+1\right\rfloor \right)

k=\operatorname {sgn}(x)\cdot \max \left(0,\left\lfloor {\frac {\left|x\right|-w/2}{\Delta }}+1\right\rfloor \right)

k=\operatorname {sgn}(x)\cdot \max \left(0,\left\lfloor {\frac {\left|x\right|-w/2}{\Delta }}+1\right\rfloor \right)

(

k=\operatorname {sgn}(x)\cdot \max \left(0,\left\lfloor {\frac {\left|x\right|-w/2}{\Delta }}+1\right\rfloor \right)

)

k=\operatorname {sgn}(x)\cdot \max \left(0,\left\lfloor {\frac {\left|x\right|-w/2}{\Delta }}+1\right\rfloor \right)

(

k=\operatorname {sgn}(x)\cdot \max \left(0,\left\lfloor {\frac {\left|x\right|-w/2}{\Delta }}+1\right\rfloor \right)

,

k=\operatorname {sgn}(x)\cdot \max \left(0,\left\lfloor {\frac {\left|x\right|-w/2}{\Delta }}+1\right\rfloor \right)

-

k=\operatorname {sgn}(x)\cdot \max \left(0,\left\lfloor {\frac {\left|x\right|-w/2}{\Delta }}+1\right\rfloor \right)

/

k=\operatorname {sgn}(x)\cdot \max \left(0,\left\lfloor {\frac {\left|x\right|-w/2}{\Delta }}+1\right\rfloor \right)

+

k=\operatorname {sgn}(x)\cdot \max \left(0,\left\lfloor {\frac {\left|x\right|-w/2}{\Delta }}+1\right\rfloor \right)

k=\operatorname {sgn}(x)\cdot \max \left(0,\left\lfloor {\frac {\left|x\right|-w/2}{\Delta }}+1\right\rfloor \right)

) {

k=\operatorname {sgn}(x)\cdot \max \left(0,\left\lfloor {\frac {\left|x\right|-w/2}{\Delta }}+1\right\rfloor \right)

k = \

operatorname {sgn}(x

) \

cdot \

max \

left

(

0

, \

lfloor

\

frac

\

frac

{ \

left x

\

right

- w / 2 } { \

delta }

+ 1 \

light

\

loor

)

$\operatorname {sgn}$ 서 함수 $\operatorname {sgn}$ sgn $\displaystyle$ \ $operatorname$ {sgn $\operatorname {sgn}$ ( )은 기호 함수(일명 $\operatorname {sgn}$ 기호 함수)입니다.이러한 데드존 양자화기에 대한 일반적인 재구성 규칙은 다음과 같다.

y_{k}=\operatorname {sgn}(k)\cdot \left({\frac {w}{2}}+\Delta \cdot (|k|-1+r_{k})\right)

k

y_{k}=\operatorname {sgn}(k)\cdot \left({\frac {w}{2}}+\Delta \cdot (|k|-1+r_{k})\right)

y_{k}=\operatorname {sgn}(k)\cdot \left({\frac {w}{2}}+\Delta \cdot (|k|-1+r_{k})\right)

(

y_{k}=\operatorname {sgn}(k)\cdot \left({\frac {w}{2}}+\Delta \cdot (|k|-1+r_{k})\right)

)

y_{k}=\operatorname {sgn}(k)\cdot \left({\frac {w}{2}}+\Delta \cdot (|k|-1+r_{k})\right)

(

y_{k}=\operatorname {sgn}(k)\cdot \left({\frac {w}{2}}+\Delta \cdot (|k|-1+r_{k})\right)

2 + k

y_{k}=\operatorname {sgn}(k)\cdot \left({\frac {w}{2}}+\Delta \cdot (|k|-1+r_{k})\right)

y_{k}=\operatorname {sgn}(k)\cdot \left({\frac {w}{2}}+\Delta \cdot (|k|-1+r_{k})\right)

y_{k}=\operatorname {sgn}(k)\cdot \left({\frac {w}{2}}+\Delta \cdot (|k|-1+r_{k})\right)

-

1

+

y_{k}=\operatorname {sgn}(k)\cdot \left({\frac {w}{2}}+\Delta \cdot (|k|-1+r_{k})\right)

k ) {

displaystyle

y _ { k } = \

operatorname

{

sgn

} (

k

) \

cdot

\ leftw\

frac

{

w

} + \

Delta

\

cdot

(

k

- 1 + r _ k \ r _ r _ k \ r _ k )

}

) ,

$r_{k}$ 서 r k $(\$ 는 $r_{k}$ 스텝크기의 분수로 0 ~1 범위의 재구성 오프셋 값입니다.일반적으로 0 주위에 대칭이고 0에서 피크 값에 도달하는 일반적인 확률 밀도 함수(PDF)를 사용하여 입력 데이터를 양자화할 때 0 $0\leq r_{k}\leq {\tfrac {1}{2}}$ r $0\leq r_{k}\leq {\tfrac {1}{2}}$ $0\leq r_{k}\leq {\tfrac {1}{2}}$ $0\leq r_{k}\leq {\tfrac {1}{2}}$ 2 ${\$ 0 $\leq r_{k}\leq {tfrac {1}{2}}}$ 입니다 $0\leq r_{k}\leq {\tfrac {1}{2}}$ . $r_{k}$ k $(\$ 는 $r_{k}$ 일반적으로 k $(\displaystyle$ k $)$ 에 $k$ 의존하며, 아래에 설명된 최적 조건을 충족하기 위해 선택할 수 $r_{k}$ , 대부분의 경우 ${\tfrac {1}{2}}$ 1 2 $(\displaystyle {1}{$ 2 ${\tfrac {1}{2}}$ 와 $y_{0}=0$ 같이 상수로 설정됩니다(이 $y_{0}=0$ 에서는 y $=$ $y_{0}=0$ (\ $displaystyle y_0})$ 만기 t $).$ o $\operatorname {sgn}$ \ $displaystyle \operatorname {sgn$ $r_{0}$ 의 정의이므로 r 0 ${\$ 은 $r_{0}$ (는) $r_{0}$ 을 받지 않습니다.)

매우 일반적으로 사용되는 특수한 경우(예: 재무회계 및 초등수학에 일반적으로 사용되는 체계)는 $모든$ k $style$ k에 대해w $w=\Delta$ = \ $displaystyle$ w = \ $Delta }$ 및 $w=\Delta$ $r_{k}={\tfrac {1}{2}}$ k $r_{k}={\tfrac {1}{2}}$ $r_{k}={\tfrac {1}{2}}$ \ 2 $r_{k}={\tfrac {1}{2}}$ \ \ $displaystyle r_{k$ } = $displaytfrac {1}{2}}}$ 를 $r_{k}={\tfrac {1}{2}}$ $w=\Delta$ 하는 것입니다. 이 경우, 데드존도 정량화됩니다.이 양자화기의 중앙 정지 구역은 다른 모든 단계와 동일한 너비를 가지며 모든 재구성 값도 동일한 간격입니다.

노이즈 및 오류 특성

선택 첨가 소음 모델

양자화 오류 분석의 일반적인 가정은 부가 백색 노이즈와 유사한 방식으로 신호 처리 시스템에 영향을 미친다는 것이다. 즉, 신호와 거의 상관관계가 없고 전력 스펙트럼 ^[2]^[6]^[13]^[14]밀도가 거의 평평하다.가산 노이즈 모델은 디지털 필터링 시스템의 양자화 오차 효과 분석에 일반적으로 사용되며, 이러한 분석에서 매우 유용할 수 있습니다.부드러운 PDF로 ^[2]^[15]고해상도 양자화(신호 강도에 비해 작은 $\Delta$ \ $displaystyle \Delta ）$ 의 $\Delta$ 경우 유효한 모델인 것으로 나타났습니다.

추가 소음 거동이 항상 유효한 가정은 아니다.양자화 오류(여기서 설명한 바와 같이 양자화 오류)는 결정적으로 신호와 관련이 있으며 신호와는 완전히 독립적이지 않습니다.따라서 주기적인 신호는 주기적인 양자화 노이즈를 발생시킬 수 있습니다.또한 경우에 따라서는 디지털 신호 처리 시스템에 한계 사이클이 나타날 수도 있습니다.양자화 오류로부터 효과적으로 독립할 수 있는 한 가지 방법은 양자화 ^[6]^[14]전에 신호에 랜덤(또는 의사 랜덤) 노이즈를 추가하는 디더화(노이즈 쉐이핑에 의한 경우도 있습니다)를 실행하는 것입니다.

양자화 오류 모델

일반적인 경우 원래 신호는 1개의 LSB(List Significant Bit)보다 훨씬 큽니다.이 경우 양자화 오차는 신호와 큰 상관관계가 없으며 분포가 거의 균일합니다.양자화에 반올림을 사용하는 경우 양자화 오차의 평균은 0이고 루트 평균 제곱(RMS) 값은 이 분포의 표준 편차이며, 1 $\scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {12}}}\mathrm {LSB} \ \approx \ 0.289\,\mathrm {LSB}$ $\scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {12}}}\mathrm {LSB} \ \approx \ 0.289\,\mathrm {LSB}$ S $\scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {12}}}\mathrm {LSB} \ \approx \ 0.289\,\mathrm {LSB}$ 0. $\scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {12}}}\mathrm {LSB} \ \approx \ 0.289\,\mathrm {LSB}$ $\scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {12}}}\mathrm {LSB} \ \approx \ 0.289\,\mathrm {LSB}$ S $\scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {12}}}\mathrm {LSB} \ \approx \ 0.289\,\mathrm {LSB}$ \ $displaystyle$ \ script style \ $frac {1}{\sqrt {12}}\ mathrm {LSB$ \ } \ \ $\scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {12}}}\mathrm {LSB} \ \approx \ 0.289\,\mathrm {LSB}$ . $28$ 。e error의 평균은 $\scriptstyle {\frac {1}{2}}\mathrm {LSB}$ 이 $.\$ $mathrm {LSB$ RMS 값은 $\scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}\mathrm {LSB}$

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