파라볼라 4각형

Quadrature of the Parabola
포물선 세그먼트.

파라볼라(그리스어: τετααγωωωωμμμμμμμμμμμμ))))))))))))))는 기하학에 관한 논문으로서 기원전 3세기에 아르키메데스가 저술하고 알렉산드리아 지인인 도시테우스에게 연설하였다. 그것은 포물선 부분(포물선과 선으로 둘러싸인 지역)의 면적이 특정 새겨진 삼각형의 4/3임을 보여주는 두 개의 증거로 절정을 이루는 포물선 24개의 명제를 담고 있다.

아르키메데스의 대표적인 작품으로, 특히 탈진법을 기발하게 사용한 점과 기하 급수적인 시리즈 2부작이다. 아르키메데스는 그 지역을 무한히 많은 삼각형으로 해부했을지도 모른다. 그 삼각형은 기하학적 진행을 형성한다.[1] 그런 다음 그는 결과 기하 급수적인 시리즈의 합계를 계산하고, 이것이 포물선 부분의 영역임을 증명한다. 이는 고대 그리스 수학에서 가장 정교한 환원성 ad luxyum 논법의 사용을 나타내며 아르키메데스의 해법은 카발리에리의 4차 공식에 의해 계승되어 17세기에 적분학이 개발될 때까지 타의 추종을 불허하는 것으로 남아 있었다.[2]

주정리

포물선 세그먼트는 포물선과 선으로 경계된 영역이다. 포물선 부분의 영역을 찾기 위해 아르키메데스는 어떤 새겨진 삼각형을 고려한다. 이 삼각형의 밑부분은 포물선의 주어진 화음이며, 세 번째 정점은 포물선의 점으로서 그 지점에서 포물선에 닿는 탄젠트가 화음과 평행하게 된다. 이 작품의 제안 1은 축에 평행하게 그려진 세 번째 꼭지점으로부터의 선이 화음을 동일한 세그먼트로 나눈다고 기술하고 있다. 주 정리는 포물선 부분의 면적이 새겨진 삼각형의 면적의 4/3이라고 주장한다.

본문의 구조

아르키메데스의 첫 번째 증거는 포물선 부분의 영역을 찾기 위해 레버의 원리를 이용한다.

파라볼라와 같은 원뿔형 부분은 한 세기 전 메나에흐무스 덕분에 아르키메데스 시대에 이미 잘 알려져 있었다. 그러나 미분학, 적분학 등이 등장하기 전에는 원뿔형의 면적을 쉽게 찾을 수 있는 수단이 없었다. 아르키메데스는 특히 포물선과 화음으로 경계된 영역에 초점을 맞추면서 이 문제에 대한 첫 번째 입증된 해결책을 제공한다.[3]

아르키메데스는 두 가지 주요 정리를 증명한다. 하나는 추상역학을 사용하고 다른 하나는 순수한 기하학을 사용한다. 첫 번째 증거에서 아르키메데스는 포물선과 삼각형의 가중된 부분이 풀크럼으로부터 특정 거리에서 레버의 팔을 따라 매달려 있는 중력 작용 하에서 평형 상태의 레버를 고려한다.[4] 삼각형의 무게중심이 알려졌을 때 레버의 평형은 같은 기저와 높이가 같은 삼각형의 면적을 기준으로 포물선 영역을 산출한다.[5] 이곳의 아르키메데스는 균형보다 낮은 수준의 무게중심을 가지고 있다는 점에서 '평면의 평형'에서 발견된 절차에서 벗어난다.[6] 두 번째와 더 유명한 증거는 순수한 기하학, 특히 기하학 계열의 합을 사용한다.

24가지 명제 중 처음 세 가지는 유클리드 원소(유클리드(유클리드)의 원소(원추 부분에 대한 유클리드(유클리드)의 잃어버린 작품)의 증거 없이 인용된다. 제4조와 제5조는 포물선의 기본적인 속성을 확립한다. 명제 6-17은 주요 정리의 기계적 증거를 제시하며, 명제 18-24는 기하학적 증거를 제시한다.

기하학적 증명

아르키메데스의 두 번째 증거는 포물선 부분을 임의의 수의 삼각형으로 해부한다.

포물선 세그먼트 분해

그 증거의 주요 개념은 포물선 부분을 오른쪽 그림에서 보듯이 무한히 많은 삼각형으로 분해하는 것이다. 이 삼각형들은 각각 큰 구획에 푸른 삼각형이 새겨져 있는 것과 같은 방식으로 자신의 포물선 부분에 새겨져 있다.

삼각형 영역

18세부터 21세까지의 명제에서 아르키메데스는 각 녹색 삼각형의 면적이 푸른 삼각형의 8분의 1이라는 것을 증명한다. 현대적인 관점에서 보면, 녹색 삼각형의 너비는 절반이고 높이는 4분의 1이기 때문이다.[7]

Quadrature Parabola Relative Sizes.svg

연장선상으로 보면, 각각의 노란 삼각형은 녹색 삼각형의 면적이 8분의 1이고, 빨간 삼각형은 각각 노란색 삼각형의 면적이 8분의 1이다. 소진법을 사용하여 포물선 부분의 총 면적이 다음과 같이 주어진다.

여기서 T는 큰 푸른 삼각형의 영역을 나타내고, 두 번째 항은 두 개의 녹색 삼각형의 총면적을 나타내며, 세 번째 항은 네 개의 노란 삼각형의 총면적을 나타낸다. 이것은 간단히 줄 수 있다.

시리즈의 합계

1/4 + 1/16 + 1/64 + ...라는 아르키메데스의 증거 = 1/3

증거를 완성하기 위해 아르키메데스는 다음과 같은 것을 보여준다.

위의 공식은 기하 급수다. 각 연속적인 용어는 전기의 4분의 1이다. 현대 수학에서, 그 공식은 기하학 계열의 합 공식의 특별한 경우다.

아르키메데스는 인접한 그림에 묘사된 완전히 기하학적 방법을 사용하여 합계를 평가한다.[8] 이 그림은 무한히 작은 사각형으로 해부된 단위 정사각형을 보여준다. 각 연속된 보라색 사각형은 이전 사각형의 4분의 1 면적을 가지며, 총 보라색 면적이 합이다.

그러나 보라색 사각형은 노란색 사각형 세트와 일치하므로 단위 사각형 면적의 1/3을 차지한다. 따라서 위의 시리즈는 4/3(1+1/3 = 4/3)으로 요약된다.

참고 항목

메모들

  1. ^ Swain, Gordon; Dence, Thomas (1998). "Archimedes' Quadrature of the Parabola Revisited". Mathematics Magazine. 71 (2): 123–130. doi:10.2307/2691014. ISSN 0025-570X. JSTOR 2691014.
  2. ^ Cusick, Larry W. (2008). "Archimedean Quadrature Redux". Mathematics Magazine. 81 (2): 83–95. doi:10.1080/0025570X.2008.11953535. ISSN 0025-570X. JSTOR 27643090. S2CID 126360876.
  3. ^ Towne, R. (2018). "Archimedes in the Clasroom". Master's Thesis. John Carroll University.
  4. ^ "Quadrature of the parabola, Introduction". web.calstatela.edu. Retrieved 2021-07-03.
  5. ^ "The Illustrated Method of Archimedes". Scribd. Retrieved 2021-07-03.
  6. ^ Dijksterhuis, E. J. (1987). "Quadrature of the Parabola". Archimedes. pp. 336–345.{{cite web}}: CS1 maint : url-status (링크)
  7. ^ 녹색 삼각형은 건축에 의한 청색 삼각형의 폭의 반을 가진다. 높이에 대한 진술은 포물선의 기하학적 특성에서 따르며, 현대적 분석적 기하학을 사용하여 증명하기 쉽다.
  8. ^ 엄밀히 말하면 아르키메데스는 이 시리즈의 부분적 합을 평가하고, 아르키메데스의 속성을 이용하여 부분적 합이 임의적으로 4/3에 가까워진다고 주장한다. 이것은 무한 시리즈를 합친다는 현대의 사상과 논리적으로 동등하다.

추가 읽기

외부 링크