p-adic 수

수학에서, 소수 p에 대한 p-adic 숫자 체계는 합리적 숫자 체계의 확장과 실제적이고 복잡한 숫자 체계로 다른 방식으로 합리적 숫자의 일반적인 산수를 확장한다. 그 확장은 "투명성" 또는 절대값의 개념에 대한 대체적인 해석에 의해 달성된다. 특히 p-adic 수 2개는 p의 높은 힘에 의해 차이가 분할될 때 근접한 것으로 간주되는데, 즉 힘이 높을수록 근접한 값이다. 이 속성은 p-adic 숫자들이 숫자 이론에서 강력한 응용을 갖는 것으로 판명되는 방식으로 결합 정보를 인코딩할 수 있게 한다. 예를 들어, 앤드류 와일즈의 페르마의 마지막 정리라는 유명한 증거에서 그렇다.^[1]

이 숫자들은 1897년 커트 헨젤에 의해 처음 설명되었지만,^[2] 뒤늦게나마 에른스트 쿠메르의 초기 작품들 중 일부는 p-adic 숫자를 암묵적으로 사용하는 것으로 해석될 수 있다.^{[note 1]} p-adic 숫자들은 주로 파워 시리즈 방법의 아이디어와 기술을 숫자 이론으로 끌어들이려는 시도에 의해 동기 부여되었다. 그들의 영향력은 이제 이것을 훨씬 넘어선다. 예를 들어, p-adic 분석 분야는 본질적으로 미적분학의 대체 형태를 제공한다.

대수구조 → 링 이론 링 이론
기본개념 반지. • 서브링 • 이상적 • 지수 링 • 분수 이상 • 분수의 총 링 • 제품 링 • 연관성 있는 알헤브라의 자유 제품 • 알헤브라의 텐서 제품 링 동형성 • 커널 • 내적 자동형성 • 프로베니우스 내형성 대수구조 • 모듈 • 연관 대수 • 그라데이션 링 • 비자발적 고리 • 링의 범주 • 초기 $링{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$ • 단자 링 $0{\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 0$=\mathb {Z} _{1$} 관련 구조물 • 현장 • 유한장 • 비 연상 고리 • 리 링 • 조던 링 • 의미 부여 • 세미필드
정류대수학 정류 링 • 통합 도메인 • 통합적으로 닫힌 도메인 • GCD 도메인 • 고유한 요인화 영역 • 주요 이상 영역 • 유클리드 영역 • 현장 • 유한장 • 컴포지션 링 • 다항 링 • 공식 파워 시리즈 링 대수적 수 이론 • 대수적 수 필드 • 정수 링 • 대수적 독립성 • 초월수 이론 • 초월도 p-adic 수 이론과 소수점 • 직접 한계/반복 한계 • 제로 링 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$} • Integers modulo pn $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle p{}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathbb{}}$ ${\$ • Prüfer p-링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle \mathb {Z}(p^{\inflt })}$ • Base-p circle ring $T{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ • 기본-p $정수{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$} • p-adic $rationals{\displaystyle \mathbb{}}$ Z${\displaystyle }$[ 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle p}$] ${\displaystyle \mathb {Z} [1/p]}$ • Base-p $실수{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$ • p-adic 정수 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ • p-adic number $Q{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ • p-adic 솔레노이드 $T{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 대수 기하학 • 아핀 버라이어티
비계산 대수 비커밋 링 • 디비전 링 • 반비례 반지 • 심플 링 • 정류자 비계산 대수 기하학 자유대수학 클리포드 대수 • 기하 대수학 연산자 대수
v t

보다 공식적으로, 주어진 prime p의 경우 p-adic 숫자의 필드 Q는_p 합리적인 숫자의 완성이다. 필드_p Q는 또한 미터법에서 파생된 위상으로서, 그 자체는 합리적인 숫자에 대한 대안적 평가인 p-adic 순서로부터 파생된다. 이 미터법 공간은 모든 Cauchy 시퀀스가 Q의_p 한 점으로 수렴한다는 의미에서 완전하다. 이것이_p Q에 미적분학의 발전을 가능하게 하는 것이며, p-adic 숫자 시스템에 힘과 효용을 부여하는 것은 이 분석적 구조와 대수적 구조의 상호작용이다.

"p-adic"의 p는 변수로서 prime(예: "2-adic number") 또는 prime 숫자를 나타내는 다른 표현으로 대체될 수 있다. "p-adic"의 "adic"은 dynadic 또는 triadic과 같은 단어들에서 발견되는 결말에서 유래한다.

합리적 수의 p-adic 확장

양수 이성수 r의 십진수 확장은 그 연속성을 나타낸다.

${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infit }a_{i}10^{-i}}}$

여기서 각 ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 < ${\displaystyle 0\leq a_{i}<10.}$ 분자에 의한 분자의 긴 분할에 의해 계산될 수 있으며, 이 팽창은 그 자체로서 다음과 같은 정리에 기초한다. 만약 r)nd{\displaystyle r={\tfrac{n}{d}}}은 이성적인 번호 10k≤ r<>10k+1,{\displaystyle 10^{k}\leq r<, 10^{k+1},}가 정수가 있는 것처럼 0<,<>10,{0<, a< 10분\displaystyle,}과 r-1s10k+s,{\displaystyle r=a\,10^{k}+s,}<>10k .{\displaystyle$s<10^{k}}}$ 10진수 확장은 이 결과를 나머지 s에 반복적으로 적용하여 얻으며, 반복에서 원래의 합리적 수 r의 역할을 가정한다.

합리적인 숫자의 p-adic 확장은 유사하게 정의되지만, 다른 분할 단계로 정의된다. 더$$ 정확히 말하면, 고정된 소수 p를 주어진다면$,$ $모든{\displaystyle }$ 0이 아닌 합리적 $숫자$ r ${\displaystyle$ r =${\displaystyle }$p ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{},}$ ${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac{n}{d}}}},$ 여기서 k는 (음수) 정수이고 n과 d는 p와의 동시적 정수다. 정수$$ k는 ${\displaystyle r_{}}$의 p-adic 평가로, v $p{\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}r}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle v_{p}(r),},$ ${\displaystyle p^{}}$- k ${\$ p$^{-k}$는 p-adic 절대값으로, ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ r $_{p}}}($평가가 클 때 절대값이 작다). 분할 단계는 글로 구성된다.

${\displaystyle r=a\,p^{k}+s}$

여기서 a는 ${\displaystyle 0\leq$ a$,}$ 및 s가 0인 정수 또는 < p- ${\$ s $_{p^{-k}}($, (s )> ${\displaysty v_{p}k}$k}})와 같은 합리적인 숫자다.

r의 p-adic 확장은 공식 파워 시리즈다.

${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infit }a_{i}p^{i}}}}}$

연이은 잔여물에 대한 분할 단계를 무한정 반복하여 획득한다. p-adic 확장에서 모든 ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 < $.$ ${\displaystyle 0\leq a_{i}<p$.$}$

$r{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ n ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\$1}{$1}}$이(가) 0인 상태에서$$ 결국 프로세스가 중지된다. 이 경우, 영상 시리즈는 0 계수로 항을 추적하여 완료되며, 기준 p에서 r을 나타낸다.

합리적인 수의 p-adic 확장의 존재와 계산은 다음과 같은 방법으로 베주트의 정체성을 산출한다. 위와 같이 $r{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{},}$ ${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},$ d 및 p가 동일하다면 ${\displaystyle t}$ +${\displaystyle u}$=${\displaystyle 1}$. ${\displaysty td+up=1$과 같은 정수 t와 u가 존재한다$.$$}$그래서$$

${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}}{d}}}=p^{k}nt+p^{k+1}{\frac {un}{d}}}}.}$

그 후, nt by p의 유클리드 분할이 주어진다.

${\displaystyle nt=qp+a,}$

< ${\displaystyle 0\leq$ a$<p.}$과(와) 함께 이것은 다음과 같은 분할 단계를 제공한다.

${\displaystyle {\displaysty}{lcl}r&=&p^{k}(qp+a)+p^{k+1}{\frac {un}{d}\\&ap^{k}+p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d},\\end{array}}}}}}}}$

그래서 계속.

${\displaystyle s=p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d}}}}$

새로운 이성적인 숫자야

The uniqueness of the division step and of the whole p-adic expansion is easy: if ${\displaystyle p^{k}a+p^{k+1}s=p^{k}a'+p^{k+1}s',}$ one has ${\displaystyle a-a'=p(s'-s).$$}$ p가 ${\displaystyle {}^{}}$를 -${\displaystyle {\prime }^{}}$. ${\displaystyle a-a'$로 나눈다는 뜻이다$$.${}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle$ $0$$\leq a<p$$}$ 0 a < ${\displaystyle$0$\leq$ a$},$ $<p.}$이(가) 참이어야 한다. $따라서$p가${\displaystyle }a$를${\displaystyle {}^{}}$ 때문에$a{\displaystyle }$=${\displaystyle {}^{}}$를 $증명$한다$.$$}$

합리적인 수의 p-adic 확장은 p-adic 절대값과 함께 convergent series의 정의를 적용하면, 합리적인 숫자로 수렴되는 시리즈다. 표준 p-adic 표기법에서 자릿수는 표준 base-p 시스템에서와 같은 순서로, 즉 베이스의 힘이 왼쪽으로 증가하는 순서로 표기된다. 이것은 숫자의 생산이 역전되어 왼손에 한도가 발생한다는 것을 의미한다.

합리적인 수의 p-adic 확장은 결국 주기적이다. 반대로, 나는 정도는 시리즈 ∑ k∞ 나는 p 나는,{\textstyle \sum_{i=k}^{\infty}a_{나는}p^{나는},}과 0≤ 나는 <, p{\displaystyle 0\leq a_{나는}<, p}전진(그p-adic 절대 값에 대한)에 유리수 만일 그것은 결국 주기적인;이 상황에서는, 시리즈는p-adic 확장의 합리적인 numbe.r 그 증거는 십진법 반복에 대한 유사한 결과와 유사하다.

예

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