다변량 파레토 분포

통계에서 다변량 파레토 분포는 일변량 파레토 분포의 다변량 확장이다.^[1]

Pareto Type I-IV와 Feler-Pareto를 포함한 몇 가지 다른 형태의 단변 파레토 분포가 있다.^[2] 다변량 파레토 분포는 이러한 유형 중 다수에 대해 정의되었다.

비바리산 파레토 분포

제1종 바이바리아테 파레토 분포

마디아(1962)는 다음과 같이 주어진 누적분포함수(CDF)를 가진 이변량 분포를 정의했다.^[3]

${\displaystyle F(x_{1},x_{2})=1-\sum _{i=1}^{2}\left({\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}\right)^{-a}+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}-1\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,i=1,2;a>0,}$\theta _{i}>0,i=1,2;a>0,}">

및 조인트 밀도 함수

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=(a+1)a(\theta _{1}\theta _{2})^{a+1}(\theta _{2}x_{1}+\theta _{1}x_{2}-\theta _{1}\theta _{2})^{-(a+2)},\qquad x_{i}\geq \theta _{i}>0,i=1,2;a>0.}$0,i=1,2;a>0.}">

한계 분포는 밀도 함수를 갖는 파레토 유형 1이다.

${\displaystyle f(x_{i}=a_{i}^{a}x_{i}^{-(a+1)},\qquad x_{i}\geq \theta_{i}0,i=1,2.}$0,i=1,2.}">

주변 분포의 평균과 분산은

${\displaystyle E[X_{i}]={\frac {a\theta _{a-1},a}1,\quad Var(X_{i}})={\frac {a\eta}^{2}}(a-1)^{2}},a-2(a-1);\quad i=1,2,},}$1;\quad Var(X_{i})={\frac {a\theta _{i}^{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}},a>2;\quad i=1,2,}">

그리고 > 2의 경우, X와₁₂ X는 양적으로 상관관계가 있다.

${\displaystyle \operatorname {cov} (X_{1},X_{2})={\frac {\theta _{1}\theta _{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}},{\text{ and }}\operatorname {cor} (X_{1},X_{2})={\frac {1}{a}}.}$

제2종 바이바리아테 파레토 분포

아놀드는^[4] 다음과 같이 이바리테 파레토 1형 보완 CDF를 대표할 것을 제안한다.

${\displaystyle {\f}{F}(x_{1},x_{2})=\좌측(1+\sum _{i=1}^{2}{\frac {x_{i}-\theta _{i}}{i}-}{i}-}{i}}}-{i}-a}}}}}}}\ta}}}.$\theta _{i},i=1,2.}">

위치 및 척도 매개변수가 다를 수 있는 경우, 보완 CDF는 다음과 같다.

${\displaystyle {\f}(x_{1},x_{2})=\좌측(1+\sum _{i=1}^{2}{\frac {x_{i}-\mu_{i}}{i}}{i}}{\sigma _{i}}\i}}^{-a},\i=1,2,}$\mu _{i},i=1,2,}">

파레토 타입 II 일변량 한계 분포를 가지고 있다. 이 분포는 아놀드에 의해 타입 II의 다변량 파레토 분포라고 불린다.(^[4]이 정의는 마르디아의 2변량 파레토 분포와 같지 않다.)^[3]

a > 1의 경우, 한계 평균은 다음과 같다.

${\displaystyle E[X_{i}]=\mu _{i}+{\frac {\sigma _{i}}{a-1},\qquad i=1,2,}$

> 2의 경우, 분산, 공분산 및 상관관계는 제1종류의 다변량 파레토와 동일하다.

다변량 파레토 분포

제1종 다변량 파레토 분포

마르디아의 제1종류의 다변량 파레토 분포는 다음과^[3] 같이 주어지는 관절 확률 밀도 함수를 가지고 있다.

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})=a(a+1)\cdots (a+k-1)\left(\prod _{i=1}^{k}\theta _{i}\right)^{-1}\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}-k+1\right)^{-(a+k)},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,a>0,\qquad (1)}$\theta _{i}>0,a>0,\qquad (1)}">

주변 분포는 (1)과 같은 형태를 가지며, 1차원 주변 분포는 파레토 1형 분포가 있다. 보완 CDF는

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}-k+1\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,i=1,\dots ,k;a>0.\cHB (2)}$\theta _{i}>0,i=1,\dots ,k;a>0.\quad (2)}">

한계 평균과 분산은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle E[X_{i}]={\frac {a\theta _{i}}{a-1}},{\text{ for }}a>1,{\text{ and }}Var(X_{i})={\frac {a\theta _{i}^{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}},{\text{ for }}a>2.}$1,{\text{ and }}Var(X_{i})={\frac {a\theta _{i}^{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}},{\text{ for }}a>2.}">

a > 2인 경우 공분산 및 상관 관계가 양수임

${\displaystyle \operatorname {cov} (X_{i},X_{j})={\frac {\theta _{i}\theta _{j}}{(a-1)^{2}(a-2)}},\qquad \operatorname {cor} (X_{i},X_{j})={\frac {1}{a}},\qquad i\neq j.}$

제2종 다변량 파레토 분포

아놀드는^[4] 다변량 Pareto Type I 보완 CDF를 다음과 같이 대표할 것을 제안한다.

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(1+\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}-\theta _{i}}{\theta _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,\quad i=1,\dots ,k.}$\theta _{i}>0,\quad i=1,\dots ,k.}">

위치 및 척도 매개변수가 다를 수 있는 경우, 보완 CDF는 다음과 같다.

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(1+\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\mu _{i},\quad i=1,\dots ,k,\qquad (3)}$\mu _{i},\quad i=1,\dots ,k,\qquad (3)}">

동일한 유형 (3)과 파레토 타입 II 단변량 한계 분포의 한계 분포를 가진다. 이 분포는 아놀드에 의해 타입 II의 다변량 파레토 분포라고 불린다.^[4]

a > 1의 경우, 한계 평균은 다음과 같다.

${\displaystyle E[X_{i}]=\mu _{i}+{\frac {\sigma _{i}}{a-1},\qquad i=1,\dots,k,}$

> 2의 경우, 분산, 공분산 및 상관관계는 제1종류의 다변량 파레토와 동일하다.

제4종 다변량 파레토 분포

무작위 벡터 X는 공동 생존 기능이 있는 경우 제4종류의^[4] k차원 다변량 파레토 분포를 가진다.

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(1+\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {x_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{1/\gamma _{i}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\mu _{i},\sigma _{i}>0,i=1,\dots ,k;a>0.\qquad (4)}$\mu _{i},\sigma _{i}>0,i=1,\dots ,k;a>0.\qquad (4)}">

k차원₁ 주변 분포(k₁<k)는 (4)와 같은 유형이며, 1차원 주변 분포는 파레토 Type IV이다.

다변량 펠러-파레토 분포

무작위 벡터 X는 다음과 같은 경우 k-차원 펠러-파레토 분포를 가진다.

${\displaystyle X_{i}=\mu _{i}+(W_{i}/Z)^{\cHB _{i},\qquad i=1,\cHB,k,\qquad (5)}$

어디에

${\displaystyle W_{i}\심 \감마(\beta _{i}1)\quad i=1,\dots,k,\qquad Z\sim \감마(\alpha ,1),}$

독립 감마 변수.^[4] 한계 분포와 조건 분포는 같은 유형(5)이다. 즉, 다변량 Feller-Pareto 분포이다. 1차원 한계 분포는 Feler-Pareto 유형이다.

참조