키르히호프의 회로 법칙

키르히호프의 회로 법칙은 전기 회로의 덩어리 소자 모델에서 전류와 전위차(일반적으로 전압이라고 함)를 다루는 두 가지 동등성입니다. 그것들은 독일 물리학자 구스타프 키르히호프에 의해 1845년에 처음으로 기술되었습니다.^[1] 이것은 게오르크 옴의 연구를 일반화하고 제임스 클러크 맥스웰의 연구보다 먼저 이루어졌습니다. 전기공학에서 널리 사용되는 이들은 키르히호프의 법칙 또는 간단히 키르히호프의 법칙이라고도 불립니다. 이 법칙들은 시간과 주파수 영역에서 적용될 수 있으며 네트워크 분석의 기초를 형성합니다.

키르히호프의 두 법칙은 저주파 한계에서 맥스웰 방정식의 상관 관계로 이해될 수 있습니다. DC 회로와 전자기 복사 파장이 회로에 비해 매우 큰 주파수의 AC 회로에 대해 정확합니다.

키르히호프의 현행법

접점으로 들어오는 전류는 접점에서 나가는 전류와 동일합니다. $i 2 + i 3 = i 1 + i 4$

키르히호프의 제1법칙 또는 키르히호프의 접합 법칙이라고도 불리는 이 법칙은 전기 회로의 어떤 노드(접합)에 대하여 그 노드로 흐르는 전류의 합은 그 노드에서 나오는 전류의 합과 같다는 것을 말합니다.

한 점에서 만나는 전도체 네트워크에 있는 전류의 대수적 합은 0입니다.

전류가 노드를 향하거나 노드로부터 멀어지는 방향을 반영하는 부호화된(양 또는 음) 양임을 상기시키면서, 이 원리는 다음과 같이 간단히 설명할 수 있습니다.

\sum _{k=1}^{n}{I}_{k}=0

여기서

n

은 노드를 향하거나 노드에서 멀어지는 전류가 흐르는 총 분기 수이다.

키르히호프의 회로 법칙은 원래 실험 결과에서 얻어졌습니다. 그러나 전하는 전류의 산물이고 전류가 흐르는 시간이기 때문에 현행법은 전하량 보존의 연장선상에 있다고 볼 수 있습니다. 지역의 순 요금이 일정하면 현행법은 지역의 경계를 유지하게 됩니다.^[2]^[3] 이는 현행법이 전선과 부품의 순전하가 일정하다는 사실에 의존하고 있다는 것을 의미합니다.

사용하다

Kirchhoff의 현행법의 매트릭스 버전은 SPICE와 같은 대부분의 회로 시뮬레이션 소프트웨어의 기초가 됩니다. 현재의 법칙은 옴의 법칙과 함께 사용되어 결절 분석을 수행합니다.

현행법은 일방적이든 쌍방향이든, 능동적이든 수동적이든, 선형적이든 비선형적이든 네트워크의 특성에 관계없이 모든 일괄 네트워크에 적용됩니다.

키르히호프 전압 법칙

루프 주위의 모든 전압의 합은 0입니다.
$v 1 + v 2 + v 3 + v 4 = 0$

키르히호프의 제2법칙, 또는 키르히호프의 고리규칙이라고도 불리는 이 법칙은 다음과 같습니다.

폐루프 주변의 전위차(전압)의 방향합은 0입니다.

키르히호프의 현행법과 마찬가지로 전압 법칙은 다음과 같이 기술할 수 있습니다.

\sum_{k=1}^{n}V_{k}=0

여기서 $n$ 은 측정된 전압의 총 개수입니다.

키르히호프 전압법칙의 유도

유사한 유도는 물리학에 관한 파인만 강의, 제2권, 22장: 교류 회로에서 찾을 수 있습니다.^[3]

임의의 회로를 생각해 보세요. (시변하는) 자기장이 각 구성 요소에 포함되고 회로 외부 영역의 자기장이 무시할 수 있도록 덩어리 구성 요소를 사용하여 회로를 근사합니다. 이 가정에 근거하여 맥스웰-패러데이 방정식은 다음과 같은 사실을 밝힙니다.

\nbla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t} =\mathbf {0

외지에 각 구성 요소가 유한한 부피를 가지면 외부 영역이 단순하게 연결되므로 전기장은 해당 영역에서 보수적입니다. 따라서, 회로의 어떤 루프에 대해서도, 우리는 다음을 발견합니다.

\sum _{i}V_{i}=-\sum _{i}\int _{\mathcal {P}_{i}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\point \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =0

여기서

{\textstyle {\mathcal {P}}_{i}}

{\

는

{\textstyle {\mathcal {P}}_{i}}

각 구성 요소의 외부를 둘러싼 경로로, 한 터미널에서 다른 터미널로 이동합니다.

이 유도는 $a$ 에서 $b$ {\ $displaystyle$ b $}$ 까지의 $a$ 전압 상승에 대해 다음과 같은 정의를 사용합니다 $b$

V_{a\to b}=-\int _{\mathcal {P}}_{a\to b}}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l

그러나 전기 전위(따라서 전압)는 헬름홀츠 분해와 같은 다른 방법으로 정의할 수 있습니다.

일반화

저주파 한계에서 어떤 루프 주변의 전압 강하도 0입니다. 여기에는 회로 소자와 도체에 의해 설명되는 루프에 국한되지 않고 공간에 임의로 배열된 가상 루프가 포함됩니다. 저주파 한계에서 이것은 맥스웰 방정식 중 하나인 패러데이 유도 법칙의 상관 관계입니다.

이는 "정전기"와 관련된 상황에서 실제적으로 적용됩니다.

한계

Kirchhoff의 회로 법칙은 집중 소자 모델의 결과이며 둘 다 해당 회로에 적용할 수 있는 모델에 따라 달라집니다. 모형이 적용되지 않을 때는 법칙이 적용되지 않습니다.

현행법은 전선, 접합부 또는 뭉친 구성 요소의 순전하가 일정하다는 가정에 의존합니다. 두 개의 와이어가 용량성으로 연결된 경우와 같이 회로 부품 간의 전기장이 무시할 수 없는 경우에는 그렇지 않을 수 있습니다. 이것은 집중 소자 모델이 더 이상 적용될 수 없는 고주파 AC 회로에서 발생합니다.^[4] 예를 들어, 전송 선로에서는 도체 내 전하 밀도가 지속적으로 변화할 수 있습니다.

전송선로에서는 도체의 여러 부분에 있는 순전하가 시간에 따라 변합니다. 직접적인 물리적 의미에서 이것은 KCL에 위배됩니다.

반면 전압 법칙은 시간에 따라 변하는 자기장의 작용이 인덕터와 같은 개별 구성 요소에 국한된다는 사실에 의존합니다. 실제로 유도기에서 발생하는 유도 전기장은 국한되지 않지만 누출된 전기장은 무시할 수 있는 경우가 많습니다.

집중 소자를 이용한 실제 회로 모델링

회로에 대한 lumped element 근사치는 저주파에서 정확합니다. 더 높은 주파수에서 누출된 플럭스와 전도체의 다양한 전하 밀도가 크게 됩니다. 기생 성분을 사용하여 그러한 회로를 모델링하는 것은 어느 정도 가능합니다. 주파수가 너무 높으면 유한 요소 모델링이나 다른 기술을 사용하여 직접 필드를 시뮬레이션하는 것이 더 적절할 수 있습니다.

두 법칙을 모두 사용할 수 있도록 회로를 모델링하려면 물리적 회로 요소와 이상적인 집중 요소의 구별을 이해하는 것이 중요합니다. 예를 들어, 전선은 이상적인 전도체가 아닙니다. 이상적인 전도체와 달리, 전선은 서로 유도 및 용량 결합이 가능하며, 유한한 전파 지연을 가질 수 있습니다. 실제 도체는 용량 결합을 모델링하기 위해 도체 사이에 분포된 기생 용량 또는 유도 결합을 모델링하기 위해 기생(상호) 인덕턴스를 고려하여 집중 요소 측면에서 모델링할 수 있습니다.^[4] 와이어에는 자체 인덕턴스도 있습니다.

예

2개의 전압원과 3개의 저항으로 구성된 전기 네트워크를 가정합니다.

첫 번째 법칙에 따르면:

i_{1}-i_{2}-i_{3}=0

폐쇄 회로에 두 번째

법칙

을₁ 적용하고 옴의 법칙을 사용하여 전압을 대체하면 다음을 얻을 수 있습니다.

-R_{2}i_{2}+{\mathcal {E}}_{1}-R_{1}i_{1}=0

두 번째 법칙은 다시 옴의 법칙과 결합되어

폐회로

에₂ 적용됩니다.

-R_{3}i_{3}-{\mathcal {E}}_{2}-{\mathcal {E}}_{1}+R_{2}i_{2}=0

이것은 $i 1$ , $i 2$ , $i$ 의₃ 선형 방정식 체계를 산출합니다.

{\begin{cases}i_{1}-i_{2}-i_{3}&=0\\-R_{2}i_{2}+{\mathcal {E}}_{1}-R_{1}i_{1}&=0\\-R_{3}i_{3}-{\mathcal {E}}_{2}-{\mathcal {E}}_{1}+R_{2}i_{2}&=0\end{cases}}

에 해당하는 것.

{\begin{cases}i_{1}+(-i_{2})+(-i_{3})&=0\\R_{1}i_{1}+R_{2}i_{2}+0i_{3}&={\mathcal {E}}_{1}\\0i_{1}+R_{2}i_{2}-R_{3}i_{3}&={\mathcal {E}}_{1}+{\mathcal {E}}_{2}\end{cases}}

가정하에

{\begin{aligned}R_{1}&=100\오메가,&R_{2}&=200\오메가,&R_{3}&=300\오메가,\{\mathcal {E}_{1}&=3{\text{V}},&{\mathcal {E}_{2}&=4{\text{V}\end{align}}

해결책은.

{\begin{case}i_{1}={\frac{1}{1100}}{\text{A}}\\[6pt]i_{2}={\frac {4}{275}}{\text{A}}\\[6pt]i_{3}=-{\frac {3}{220}}{\text{A}\end{case}}

전류 $i$ 는₃ 음의 부호를 갖는데, 이는 $i$ 의₃ 가정된 방향이 틀렸다는 것을 의미하며 $실제로 3$ $i$ 는₃ i라 표시된 빨간색 화살표의 반대 방향으로 흐르고 있습니다. $R$ 의₃ 전류는 왼쪽에서 오른쪽으로 흐릅니다.

참고 항목

참고문헌

^ Oldham, Kalil T. Swain (2008). The doctrine of description: Gustav Kirchhoff, classical physics, and the "purpose of all science" in 19th-century Germany (Ph. D.). University of California, Berkeley. p. 52. Docket 3331743.
^ Athavale, Prashant. "Kirchoff's current law and Kirchoff's voltage law" (PDF). Johns Hopkins University. Retrieved 6 December 2018.
^ ^a ^b "The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 22: AC Circuits". feynmanlectures.caltech.edu. Retrieved 2018-12-06.
^ ^a ^b Ralph Morrison, 계측 Wiley-Interscience의 접지 및 차폐 기술(1986) ISBN 0471838055

Paul, Clayton R. (2001). Fundamentals of Electric Circuit Analysis. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-37195-5.
Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0810-8.
Graham, Howard Johnson, Martin (2002). High-speed signal propagation : advanced black magic (10. printing. ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. ISBN 0-13-084408-X.{{cite book}}: CS1 maint: 다중 이름: 저자 목록 (링크)

외부 링크

전기회로의 교훈 1권 DC 무료 전자책과 전기회로 시리즈의 교훈으로부터 나눗셈 회로와 키르히호프의 법칙 장

[1] Oldham, Kalil T. Swain (2008). The doctrine of description: Gustav Kirchhoff, classical physics, and the "purpose of all science" in 19th-century Germany (Ph. D.). University of California, Berkeley. p. 52. Docket 3331743.

[2] Athavale, Prashant. "Kirchoff's current law and Kirchoff's voltage law" (PDF). Johns Hopkins University. Retrieved 6 December 2018.

[:0-3] "The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 22: AC Circuits". feynmanlectures.caltech.edu. Retrieved 2018-12-06.

[GSTI-4] Ralph Morrison, 계측 Wiley-Interscience의 접지 및 차폐 기술(1986) ISBN 0471838055

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