해밀턴 사이클 다항식

수학에서, n×n 매트릭스의 해밀턴 사이클 다항식은 그 항목에서 다항식이며, 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {ham}(A)=\sum _{n}\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}}}}}$

여기서 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$는 정확히 하나의 주기를 갖는 n-permutions 집합이다$$.

이것은 지시된 그래프에서 해밀턴 사이클의 존재를 결정하는 데 유용한 대수적 옵션이다.

주어진 역추적 고리에서 추출한 호중량으로 가중치 있는 디그그래프에 대한 해밀턴 사이클의 호중량(모두 동일한 통일성)의 곱의 합으로 디그그래프의 해밀턴 사이클 수를 일반화한 것이다.한편, 간접 가중 그래프의 경우 고정 에지(i,j)를 포함하는 해밀턴 주기(i,j)의 에지 가중치 산물의 합은 (i,j)의 가중치 산물 및 (i,j)의 산물로 표현될 수 있으며, 행과 열을 모든 퍼머트(permut)에 적용하여 가중 인접 행렬의 (i,j)에서 받은 해밀턴 주기 다항목으로 표현될 수 있다.ation mapping i를 1에, j를 2에 각각 매핑한 다음, 1번째 행과 2번째 열을 제거한다.

(Knezevic & Cohen (2017))에서는 다음과 같이 나타났다.

${\displaystyle \operatorname {ham}(A)=\sum _{J\{J\2,\dots,n\}\det(-A_{J})\opername {per}(A_{\bar {J})}$

where ${\displaystyle A_{J}}$ is the submatrix of ${\displaystyle A}$ induced by the rows and columns of ${\displaystyle A}$ indexed by ${\displaystyle J}$, and ${\displaystyle {\bar {J}}}$ is the complement of ${\displaystyle J}$ in ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$,반면 빈 하위 거주자의 결정 요인은 1로 정의된다.

Due to this and Borchardt's identities, for a non-singular n×n Cauchy matrix ${\displaystyle C(x,y)}$ ${\displaystyle \operatorname {ham} (C(x,y))$$={\det }(-D_{1}^{2}C^{*2}(x,y)D_{2}^{2}+I_{/1})\operatorname {det} (C(x,y))}$ where ${\displaystyle D_{1},D_{2}}$ are diagonal matrices that make ${\displaystyle D_{1}C(x,y)D_{2}}$ unitary (in a real field or a field of a finite characteristic, or orthogonal in the field of complex numbers), $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$( ${\displaystyle x}$, y$){\displaystyle C^{*2}(x,y)}$는 C${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$, y$){\displaystyle C(x,y)}$의 Hadamard (entry-wise) 제곱이고$,$ $I{\displaystyle {}_{}}$/ ${\$는 인덱스 엔트리가 0으로 대체된 ID n×n-matrix이다.

In a field of characteristic 2 the equality ${\displaystyle \operatorname {ham} (A)=\sum _{J\subseteq \{2,\dots ,n\}}\det(-A_{J})\operatorname {per} (A_{\bar {J}})}$ turns into ${\di$$splaystyle \operatorname {ham} (A)=\sum _{J\subseteq \{2,\dots ,n\}}\det(A_{J})\det(A_{\bar {J}})}$ what therefore provides an opportunity to polynomial-time calculate the Hamiltonian cycle polynomial of any unitary matrix ${\displaystyle U}$ (i.e. such that ${\displaystyle U^{T}U=I}$ where ${\displaystyle I}$ is the identity n×n-matrix), because in such a field each minor of a unitary matrix coincides with its algebraic complement: ${\displaystyle \operatorname {ham} (U)={\det }^{2}(U+I_{/1})}$ where ${\displaystyle I_{/1}}$ is the identity n×n-matrix with the entry of indexes 1,1 repl0점 차로따라서 다항식 시간이 특성 2의 분야로부터 가중치 인접 행렬을 단일화하고 0이 아닌 해밀턴 주기 다항식을 갖는 디그그래프의 호에 가중치를 할당할 수 있다면, 디그그래프는 해밀턴식이다.따라서 해밀턴 사이클 문제는 다항식 시간에 그러한 그래프에서 계산할 수 있다.

특성 2에서 n×n-매트릭스의 해밀턴 사이클 다항식은 k가 그 등급인 n > 2k일 경우 또는 비자발적이고 n > 2일 경우 0이다.

Besides, in an arbitrary ring ${\displaystyle R}$ whose characteristic isn't an even natural number, for any skew-symmetric n×n-matrix ${\displaystyle A}$ there exists a power series in a formal variable ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle U(\varepsilon )=\sum _{n=0}$$^{\infty }U_{n}\varepsilon ^{n}}$ such that it's a unitary n×n-matrix over ${\displaystyle R\left(\varepsilon \right)}$ and ${\displaystyle U_{0}=I}$, ${\displaystyle U_{1}=A}$, while for any ${\displaystyle U(\varepsilon )}$ satisfying these conditions ${\displays$$tyle \operatorname {ham} (A)}$ equals the coefficient at the ${\displaystyle n}$-th power of ${\displaystyle \varepsilon }$ in the power series ${\displaystyle \operatorname {ham} (U(\varepsilon ))}$. And for any ring ${\displaystyle R}$ of an even characteristic the same is true when the diagonal of${\$$T}}$은 2의 배수다.공식 변수 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\varepsilon$ $\}$에 의한 특성 q 링의 무한 확장(필수적인 것은 아님)에 대한 유니터리 n×n 매트릭스의 해밀턴 사이클 다항식까지 $계산$이 # ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $\varepsilon }$임을$$ 암시한다.$tyle _{q}}$P-complete problem if ${\displaystyle q}$ isn't 2 and computing the Hamiltonian cycle polynomial of a ${\displaystyle k}$-semi-unitary matrix (i.e. an n×n-matrix ${\displaystyle V}$ such that ${\displaystyle \operatorname {rank} (V^{T}V-I\,)=k}$) over such an extension of any r특성 2의 ing은 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ k$}$ $$> 0에 대한 # ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ {\displaystyle $_$${2}}$ P-완전$$$$ 문제($모든{\displaystyle }$ k$$${\$$displaystyle k}$ 행과$$$$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 열을 제거하여 단일 행렬에서 수신할 수 있기 때문이다).For ${\displaystyle k=1}$ the latter statement can be re-formulated as the #${\displaystyle _{2}}$P-completeness of computing, for a given unitary n×n-matrix ${\displaystyle U}$ over a field of characteristic 2, the n×n-matrix ${\displaystyle H(U)}$ whose i,j-th entry is the Hamiltonian cycle polynomi행과 열을 1과 2에 대한 순열 지도 j와 2에 적용한 다음 1번째 행과 2번째 열(즉, i = j의 경우 정점 i에서 정점 j까지의 가중치 digraph의 해밀턴 경로의 호 가중치 곱의 합계)을 제거하여$$ $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$로부터 받은 행렬의 al.This matrix satisfies the matrix equation ${\displaystyle U(H(U))^{T}=H(U)U^{T}}$, while ${\displaystyle \operatorname {ham} \left({\begin{matrix}$$U&{Ua}\\a^{$$T}&1\end{matrix}\right)=(a_{1}^{2}+...$$+a_{n}^{2})\operatorname {ham} (U)}$ where ${\displaystyle a}$ is an arbitrary n-vector (what can be interpreted as the polynomial-time computability of the Hamiltonian cycle polynomial of any 1-semi-unitary m×m-matrix ${\displaystyle A}$ such that ${\displaystyle AA^{T}=I+bb^{$$여기$서 $b{\displaystyle }$$$${\displaystyle b}$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ A$}$의 $m{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ $m}$ -th$$ 열이며$$, $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) ID m×m-matrix)이다.

또한 특성 2에서 해밀턴 사이클 다항식은 불변 매트릭스 압축(일부적으로 결정 인자에 불변하는 가우스 수정과 유사함)을 가지고 있으며, 모든 t×t-matrix $X$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ 햄 ${\displaystyle (X}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaysty \operatorname {ham}(X)=0}$을 고려한다는 점을 고려할 필요가 있다.${\displaystyle }$동일한 세 개의 행을 가진$$ ${\displaystyle X}$ 또는 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$ $$2인 경우 i-th 행과 j-th 행이 동일하고 i-th 및 j-th 열도 동일하도록 한 쌍의 인덱스 i,j.

따라서 행렬이 인덱스 i와 j를 포함하는 두 개의 동일한 행을 가진 경우, 그 중 하나를 세 번째 열에 추가하는 것은 특성 2에서 이 다항식을 변경하지 않으며, 가우스 스타일이 i, i-th 및 j-th 열을 제외한 i-th 열의 모든 항목(영(0이 아닐 경우)을 제거하고 i-th 열과 j-th 행(설명 방식)을 제거할 수 있다.위의 침대) – 초기 행렬의 해밀턴 주기 다항식은 초기 j,i-th 항목과 곱한 새 다항식과 같다.

또한 특성 2와 2열 이상의 행렬에서 해밀턴 주기 다항식은 i번째 열과 j번째 행이 동일한 행렬의 j번째 열에 i번째 열을 추가해도 변경되지 않으며, 특히 무엇이 ID를 산출한다.

${\displaystyle \det(D+D^{-1})\operatorname {ham} \left({\begin{matrix}V&A\\B&U\end{matrix}\right)=\operatorname {ham}\{ham}\{\begin{matrix}V&V+D&A\\\V+D^{-1}&V+D^{-1}+D>A\\B&B&U\end{매트릭스}\오른쪽)}$

n×$n-매트릭스{\displaystyle }$ U ${\displaystyle$ U$\},$ m$$×$m-매트릭스{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V}$ 및 $대각선{\displaystyle }$ D ${\displaystyle D$ m×n-매트릭스 $A{\displaystyle }$ ${\displaysty A}$ 및$$ n×m-매트릭스 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}$의 경우$.$

$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$이(가) 단일화된 경우, V D${\displaystyle }$+ D ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T^{}}$+ A ${\displaystyle T^{}}$= ${\displaystyle I}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$DV$^{$$T}+AA^{T}=I+D^{2$}}$$및$$ B ${\displaystyle D}$= U ${\displaystyle A^{}}$ T ${\$$UA^{T}$는$$$I{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ I}이$($가) ID m×m-m 매트릭스인$$ 곳이며, (2m+n)×(2m+n) 매트릭스를 평등의 우측에 단일하고 그 해밀턴 사이클 다항식을 계산 가능하게 하므로, 다항식 시간 내에 위에 주어진 해밀턴 사이클 다항식을 일반화한다.또한, 제곱 행렬 X의 특성 2에서 Y ( ) ${\$gt;$Y\\Y&X\end{matrix}\right)}$은(위에서 설명한 방식으로) i번째 행과 j번째 열을 제거하여 X+Y에서 수신한 행렬의 해밀턴 주기 다항식을 곱한 모든 비균등 지수 i,j의 쌍에 걸친 합계의 제곱이다.따라서 위의 동등성 A = B 및 U = V를 입력하면 다항식 시간에 해밀턴 주기 다항식을 계산할 수 있는 단일 행렬의 클래스의 또 다른 확장이 수신된다.

위에서 언급한 압축 변환과는 별도로 특성 2에서는 다음 관계가 매트릭스의 해밀턴 주기 다항식과 그 부분 역행($A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {11}_{}}$ ${\$ $및$ A ${\displaystyle {22}_{}}${\$displaystyle A_{22})$이 정사각형이고$$ $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {11}_{}}$ ${\$이 역행하는 경우에도 유효하다.e:

${\displaystyle \designname {ham} \lefts\refts{properA_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{매트릭스}\right)={\det }^{2}\왼쪽(A_{11}\right)\operatorname {ham} \left({\begin{매트릭스})A_{11}^{-1}&A_{11}^{-1}A_{12}\\A_{21}A_{11}^{-1}&A_{22}+A_{21}}A_{11}^{-1}A_{12}\end{매트릭스}\오른쪽)}$

그리고 해밀턴 사이클 다항식이 행렬의 대각선 입력에 의존하지 않기 때문에 임의 대각선 행렬을 추가해도 이 다항식도 변경되지 않는다.이 두 가지 유형의 변환은 행렬을 압축하지 않고 그 크기를 변경하지 않고 유지한다.그러나, 다수의 경우, 위에서 언급한 압축 연산자 중 일부에 의해 매트릭스의 크기를 줄일 수 있다.

따라서 다항식 시간에 수행되고 특성 2에서 해밀턴 주기 다항식을 보존하는 다양한 매트릭스 압축 연산자가 있으며, 이 연산자는 전치 변환과 함께 순차적 적용(작업자가 매트릭스를 그대로 둘 때마다 사용됨)은 각 매트릭스에 대해 t로 정의할 수 있는 일정한 한계를 갖는다.압축-폐쇄 연산자행렬의 클래스에 적용할 때, 그 운영자는 한 클래스를 다른 클래스에 매핑한다.그것(Knezevic &, 코헨(2017년))에서 증명되었듯이, 만약 단일 매트릭스의 클래스의 compression-closure}P-완전 그 후 해밀턴 주기 다항식 다항 시간의 이 특성의 어떤 밭에 계산할 수 있는은 무엇이 이 equali을 암시한다 이 다항식을 계산 일부로#2{\displaystyle_{2}가 포함되어 있습니다.tyRP = NP.

참조

• Knezevic, Anna; Cohen, Greg (2017), Some facts on Permanents in Finite Characteristics, arXiv:1710.01783, Bibcode:2017arXiv171001783K.

• Kogan, Grigoriy (1996), "Computing permanents over fields of characteristic 3: where and why it becomes difficult", 37th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS '96): 108–114, doi:10.1109/SFCS.1996.548469, ISBN 0-8186-7594-2

• Cohen, Greg (2010), A new algebraic technique for polynomial-time computing the number modulo 2 of Hamiltonian decompositions and similar partitions of a graph's edge set, arXiv:1005.2281, Bibcode:2010arXiv1005.2281C